Theorem mplsubgfi 14968

Description: The set of polynomials is closed under addition, i.e. it is a subgroup of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplsubg.p	|- P = ( I mPoly R )
mplsubg.u	|- U = ( Base ` P )
mplsubg.i	|- ( ph -> I e. Fin )
mplsubg.r	|- ( ph -> R e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfi	|- ( ph -> U e. (SubGrp ` S ) )

Proof of Theorem mplsubgfi

Dummy variables j u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.p	. . . 4 |- P = ( I mPoly R )
2		mplsubg.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
3		mplsubg.u	. . . 4 |- U = ( Base ` P )
4		eqid 2234	. . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
5	1, 2, 3, 4	mplbasss 14963	. . 3 |- U C_ ( Base ` S )
6	5	a1i 9	. 2 |- ( ph -> U C_ ( Base ` S ) )
7		mplsubg.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Fin )
8		mplsubg.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Grp )
9	2, 1, 3, 7, 8	mplsubgfilemm 14965	. 2 |- ( ph -> E. j j e. U )
10	7	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> I e. Fin )
11	8	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> R e. Grp )
12		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> u e. U )
13		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> v e. U )
14		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
15	2, 1, 3, 10, 11, 12, 13, 14	mplsubgfilemcl 14966	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( u ( +g ` S ) v ) e. U )
16	15	ralrimiva 2617	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U )
17	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> I e. Fin )
18	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> R e. Grp )
19		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. U )
20		eqid 2234	. . . . 5 |- ( invg ` S ) = ( invg ` S )
21	2, 1, 3, 17, 18, 19, 20	mplsubgfileminv 14967	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( invg ` S ) ` u ) e. U )
22	16, 21	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) )
23	22	ralrimiva 2617	. 2 |- ( ph -> A. u e. U ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) )
24	2, 7, 8	psrgrp 14952	. . 3 |- ( ph -> S e. Grp )
25	4, 14, 20	issubg2m 13990	. . 3 |- ( S e. Grp -> ( U e. (SubGrp ` S ) <-> ( U C_ ( Base ` S ) /\ E. j j e. U /\ A. u e. U ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) ) ) )
26	24, 25	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( U e. (SubGrp ` S ) <-> ( U C_ ( Base ` S ) /\ E. j j e. U /\ A. u e. U ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) ) ) )
27	6, 9, 23, 26	mpbir3and 1207	1 |- ( ph -> U e. (SubGrp ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   C_ wss 3214   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   Grpcgrp 13797   invgcminusg 13798  SubGrpcsubg 13968   mPwSer cmps 14921   mPoly cmpl 14922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-er 6780  df-map 6897  df-ixp 6947  df-en 6989  df-fin 6991  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-fz 10362  df-struct 13298  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-ip 13392  df-tset 13393  df-ple 13394  df-ds 13396  df-hom 13398  df-cco 13399  df-rest 13538  df-topn 13539  df-0g 13555  df-topgen 13557  df-pt 13558  df-prds 13564  df-pws 13587  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-minusg 13801  df-subg 13971  df-psr 14923  df-mplcoe 14924

This theorem is referenced by:  mpl0fi  14969  mplnegfi  14972  mplgrpfi  14973