Theorem mplsubgfi 14848

Description: The set of polynomials is closed under addition, i.e. it is a subgroup of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplsubg.p	|- P = ( I mPoly R )
mplsubg.u	|- U = ( Base ` P )
mplsubg.i	|- ( ph -> I e. Fin )
mplsubg.r	|- ( ph -> R e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfi	|- ( ph -> U e. (SubGrp ` S ) )

Proof of Theorem mplsubgfi

Dummy variables j u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.p	. . . 4 |- P = ( I mPoly R )
2		mplsubg.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
3		mplsubg.u	. . . 4 |- U = ( Base ` P )
4		eqid 2232	. . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
5	1, 2, 3, 4	mplbasss 14843	. . 3 |- U C_ ( Base ` S )
6	5	a1i 9	. 2 |- ( ph -> U C_ ( Base ` S ) )
7		mplsubg.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Fin )
8		mplsubg.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Grp )
9	2, 1, 3, 7, 8	mplsubgfilemm 14845	. 2 |- ( ph -> E. j j e. U )
10	7	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> I e. Fin )
11	8	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> R e. Grp )
12		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> u e. U )
13		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> v e. U )
14		eqid 2232	. . . . . 6 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
15	2, 1, 3, 10, 11, 12, 13, 14	mplsubgfilemcl 14846	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( u ( +g ` S ) v ) e. U )
16	15	ralrimiva 2615	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U )
17	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> I e. Fin )
18	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> R e. Grp )
19		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. U )
20		eqid 2232	. . . . 5 |- ( invg ` S ) = ( invg ` S )
21	2, 1, 3, 17, 18, 19, 20	mplsubgfileminv 14847	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( invg ` S ) ` u ) e. U )
22	16, 21	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) )
23	22	ralrimiva 2615	. 2 |- ( ph -> A. u e. U ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) )
24	2, 7, 8	psrgrp 14832	. . 3 |- ( ph -> S e. Grp )
25	4, 14, 20	issubg2m 13898	. . 3 |- ( S e. Grp -> ( U e. (SubGrp ` S ) <-> ( U C_ ( Base ` S ) /\ E. j j e. U /\ A. u e. U ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) ) ) )
26	24, 25	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( U e. (SubGrp ` S ) <-> ( U C_ ( Base ` S ) /\ E. j j e. U /\ A. u e. U ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) ) ) )
27	6, 9, 23, 26	mpbir3and 1207	1 |- ( ph -> U e. (SubGrp ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   C_ wss 3210   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   Fincfn 6974   Basecbs 13204   +g cplusg 13282   Grpcgrp 13705   invgcminusg 13706  SubGrpcsubg 13876   mPwSer cmps 14801   mPoly cmpl 14802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-of 6265  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-1o 6646  df-er 6766  df-map 6883  df-ixp 6933  df-en 6975  df-fin 6977  df-sup 7274  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-dec 9709  df-uz 9853  df-fz 10342  df-struct 13206  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-iress 13212  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-ip 13300  df-tset 13301  df-ple 13302  df-ds 13304  df-hom 13306  df-cco 13307  df-rest 13446  df-topn 13447  df-0g 13463  df-topgen 13465  df-pt 13466  df-prds 13472  df-pws 13495  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-grp 13708  df-minusg 13709  df-subg 13879  df-psr 14803  df-mplcoe 14804

This theorem is referenced by:  mpl0fi  14849  mplnegfi  14852  mplgrpfi  14853