Theorem mplsubgfi 15094

Description: The set of polynomials is closed under addition, i.e. it is a subgroup of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplsubg.p	|- P = ( I mPoly R )
mplsubg.u	|- U = ( Base ` P )
mplsubg.i	|- ( ph -> I e. Fin )
mplsubg.r	|- ( ph -> R e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfi	|- ( ph -> U e. (SubGrp ` S ) )

Proof of Theorem mplsubgfi

Dummy variables j u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.p	. . . 4 |- P = ( I mPoly R )
2		mplsubg.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
3		mplsubg.u	. . . 4 |- U = ( Base ` P )
4		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
5	1, 2, 3, 4	mplbasss 15089	. . 3 |- U C_ ( Base ` S )
6	5	a1i 9	. 2 |- ( ph -> U C_ ( Base ` S ) )
7		mplsubg.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Fin )
8		mplsubg.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Grp )
9	2, 1, 3, 7, 8	mplsubgfilemm 15091	. 2 |- ( ph -> E. j j e. U )
10	7	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> I e. Fin )
11	8	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> R e. Grp )
12		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> u e. U )
13		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> v e. U )
14		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
15	2, 1, 3, 10, 11, 12, 13, 14	mplsubgfilemcl 15092	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( u ( +g ` S ) v ) e. U )
16	15	ralrimiva 2623	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U )
17	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> I e. Fin )
18	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> R e. Grp )
19		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. U )
20		eqid 2238	. . . . 5 |- ( invg ` S ) = ( invg ` S )
21	2, 1, 3, 17, 18, 19, 20	mplsubgfileminv 15093	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( invg ` S ) ` u ) e. U )
22	16, 21	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) )
23	22	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. u e. U ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) )
24	2, 7, 8	psrgrp 15078	. . 3 |- ( ph -> S e. Grp )
25	4, 14, 20	issubg2m 13994	. . 3 |- ( S e. Grp -> ( U e. (SubGrp ` S ) <-> ( U C_ ( Base ` S ) /\ E. j j e. U /\ A. u e. U ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) ) ) )
26	24, 25	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( U e. (SubGrp ` S ) <-> ( U C_ ( Base ` S ) /\ E. j j e. U /\ A. u e. U ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) ) ) )
27	6, 9, 23, 26	mpbir3and 1211	1 |- ( ph -> U e. (SubGrp ` S ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   Basecbs 13354   +g cplusg 13433   Grpcgrp 13807   invgcminusg 13808  SubGrpcsubg 13972   mPwSer cmps 15047   mPoly cmpl 15048

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-ixp 6981  df-en 7023  df-fin 7025  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-fz 10414  df-struct 13356  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-ip 13451  df-tset 13452  df-ple 13453  df-ds 13455  df-hom 13457  df-cco 13458  df-rest 13597  df-topn 13598  df-0g 13614  df-topgen 13616  df-pt 13617  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-subg 13975  df-prds 14172  df-pws 14205  df-psr 15049  df-mplcoe 15050

This theorem is used by:  mpl0fi  15095  mplnegfi  15098  mplgrpfi  15099