Theorem mpocnfldadd 14519

Description: The addition operation of the field of complex numbers. Version of cnfldadd 14520 using maps-to notation, which does not require ax-addf 8117. (Contributed by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mpocnfldadd	|- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) = ( +g ` ℂfld )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem mpocnfldadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8119	. . 3 |- CC e. _V
2	1, 1	mpoex 6358	. 2 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) e. _V
3		cnfldstr 14516	. . 3 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.
4		plusgslid 13140	. . 3 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
5		snsstp2 3818	. . . 4 |- { <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. }
6		ssun1 3367	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
7		ssun1 3367	. . . . . 6 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
8		df-cnfld 14515	. . . . . 6 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
9	7, 8	sseqtrri 3259	. . . . 5 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) C_ ℂfld
10	6, 9	sstri 3233	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } C_ ℂfld
11	5, 10	sstri 3233	. . 3 |- { <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. } C_ ℂfld
12	3, 4, 11	strslfv 13072	. 2 |- ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) e. _V -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) = ( +g ` ℂfld ) )
13	2, 12	ax-mp 5	1 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) = ( +g ` ℂfld )

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   u. cun 3195   {csn 3666   {ctp 3668   <.cop 3669   o. ccom 4722   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   e. cmpo 6002   CCcc 7993   1c1 7996   + caddc 7998   x. cmul 8000   <_ cle 8178   - cmin 8313   3c3 9158  ;cdc 9574   *ccj 11345   abscabs 11503   ndxcnx 13024   Basecbs 13027   +g cplusg 13105   .rcmulr 13106   *rcstv 13107  TopSetcts 13111   lecple 13112   distcds 13114   UnifSetcunif 13115   MetOpencmopn 14499  metUnifcmetu 14500  ℂ_fldccnfld 14514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-z 9443  df-dec 9575  df-uz 9719  df-rp 9846  df-fz 10201  df-cj 11348  df-abs 11505  df-struct 13029  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-starv 13120  df-tset 13124  df-ple 13125  df-ds 13127  df-unif 13128  df-topgen 13288  df-bl 14504  df-mopn 14505  df-fg 14507  df-metu 14508  df-cnfld 14515

This theorem is referenced by:  cnfldadd  14520  gsumfzfsumlemm  14545