Theorem mpocnfldadd 14594

Description: The addition operation of the field of complex numbers. Version of cnfldadd 14595 using maps-to notation, which does not require ax-addf 8154. (Contributed by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mpocnfldadd	|- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) = ( +g ` ℂfld )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem mpocnfldadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8156	. . 3 |- CC e. _V
2	1, 1	mpoex 6379	. 2 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) e. _V
3		cnfldstr 14591	. . 3 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.
4		plusgslid 13213	. . 3 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
5		snsstp2 3824	. . . 4 |- { <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. }
6		ssun1 3370	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
7		ssun1 3370	. . . . . 6 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
8		df-cnfld 14590	. . . . . 6 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
9	7, 8	sseqtrri 3262	. . . . 5 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) C_ ℂfld
10	6, 9	sstri 3236	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } C_ ℂfld
11	5, 10	sstri 3236	. . 3 |- { <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. } C_ ℂfld
12	3, 4, 11	strslfv 13145	. 2 |- ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) e. _V -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) = ( +g ` ℂfld ) )
13	2, 12	ax-mp 5	1 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) = ( +g ` ℂfld )

Syntax hints:   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   u. cun 3198   {csn 3669   {ctp 3671   <.cop 3672   o. ccom 4729   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   e. cmpo 6020   CCcc 8030   1c1 8033   + caddc 8035   x. cmul 8037   <_ cle 8215   - cmin 8350   3c3 9195  ;cdc 9611   *ccj 11417   abscabs 11575   ndxcnx 13097   Basecbs 13100   +g cplusg 13178   .rcmulr 13179   *rcstv 13180  TopSetcts 13184   lecple 13185   distcds 13187   UnifSetcunif 13188   MetOpencmopn 14574  metUnifcmetu 14575  ℂ_fldccnfld 14589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-rp 9889  df-fz 10244  df-cj 11420  df-abs 11577  df-struct 13102  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-starv 13193  df-tset 13197  df-ple 13198  df-ds 13200  df-unif 13201  df-topgen 13361  df-bl 14579  df-mopn 14580  df-fg 14582  df-metu 14583  df-cnfld 14590

This theorem is referenced by:  cnfldadd  14595  gsumfzfsumlemm  14620