Theorem mulreap 11607

Description: A product with a real multiplier apart from zero is real iff the multiplicand is real. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulreap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))

Proof of Theorem mulreap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rereb 11606	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
2	1	3ad2ant1 1049	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
3		recl 11596	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 8344	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		simp1 1028	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		recn 8302	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	anim1i 340	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
9	8	3adant1 1046	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
10		mulcanap 8983	. . 3 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
11	5, 6, 9, 10	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
12	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	4	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
14		ax-icn 8264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
15		imcl 11597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
16	15	recnd 8344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
17		mulcl 8296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
18	14, 16, 17	sylancr 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
20	12, 13, 19	adddid 8340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴)))))
21		replim 11602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
23	22	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
24		mul12 8445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))) = (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴))))
25	14, 24	mp3an1 1365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))) = (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴))))
26	7, 16, 25	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))) = (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴))))
27	26	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴)))) = ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴)))))
28	20, 23, 27	3eqtr4d 2281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) = ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴)))))
29	28	fveq2d 5694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (ℜ‘((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))))))
30		remulcl 8297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
31	3, 30	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
32		remulcl 8297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
33	15, 32	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
34		crre 11600	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (ℜ‘((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))))) = (𝐵 · (ℜ‘𝐴)))
35	31, 33, 34	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))))) = (𝐵 · (ℜ‘𝐴)))
36	29, 35	eqtr2d 2272	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)))
37	36	eqeq1d 2247	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐴)))
38		mulcl 8296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
39	7, 38	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
40		rereb 11606	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ → ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐴)))
41	39, 40	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐴)))
42	37, 41	bitr4d 191	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))
43	42	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))
44	43	3adant3 1048	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))
45	2, 11, 44	3bitr2d 216	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169  ici 8171   + caddc 8172   · cmul 8174   # cap 8899  ℜcre 11583  ℑcim 11584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-2 9342  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587

This theorem is referenced by: (None)