ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulreap GIF version

Theorem mulreap 10872
Description: A product with a real multiplier apart from zero is real iff the multiplicand is real. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulreap ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต # 0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))

Proof of Theorem mulreap
StepHypRef Expression
1 rereb 10871 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = ๐ด))
213ad2ant1 1018 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต # 0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = ๐ด))
3 recl 10861 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
43recnd 7985 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
543ad2ant1 1018 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต # 0) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
6 simp1 997 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต # 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 recn 7943 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
87anim1i 340 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต # 0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0))
983adant1 1015 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต # 0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0))
10 mulcanap 8621 . . 3 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = ๐ด))
115, 6, 9, 10syl3anc 1238 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต # 0) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = ๐ด))
127adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
134adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
14 ax-icn 7905 . . . . . . . . . . . 12 i โˆˆ โ„‚
15 imcl 10862 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1615recnd 7985 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 7937 . . . . . . . . . . . 12 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
1814, 16, 17sylancr 414 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
1918adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
2012, 13, 19adddid 7981 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (๐ต ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
21 replim 10867 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2221adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2322oveq2d 5890 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = (๐ต ยท ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
24 mul12 8085 . . . . . . . . . . . 12 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = (๐ต ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2514, 24mp3an1 1324 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = (๐ต ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
267, 16, 25syl2an 289 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = (๐ต ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2726oveq2d 5890 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (๐ต ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
2820, 23, 273eqtr4d 2220 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
2928fveq2d 5519 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)) = (โ„œโ€˜((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
30 remulcl 7938 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
313, 30sylan2 286 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
32 remulcl 7938 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
3315, 32sylan2 286 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
34 crre 10865 . . . . . . . 8 (((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)))
3531, 33, 34syl2anc 411 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)))
3629, 35eqtr2d 2211 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)))
3736eqeq1d 2186 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด)))
38 mulcl 7937 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
397, 38sylan 283 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
40 rereb 10871 . . . . . 6 ((๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด)))
4139, 40syl 14 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด)))
4237, 41bitr4d 191 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
4342ancoms 268 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
44433adant3 1017 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต # 0) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
452, 11, 443bitr2d 216 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต # 0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4003  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  โ„cr 7809  0cc0 7810  ici 7812   + caddc 7813   ยท cmul 7815   # cap 8537  โ„œcre 10848  โ„‘cim 10849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-2 8977  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator