Theorem mulreap 10828

Description: A product with a real multiplier apart from zero is real iff the multiplicand is real. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulreap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))

Proof of Theorem mulreap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rereb 10827	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
2	1	3ad2ant1 1013	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
3		recl 10817	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 7948	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant1 1013	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		simp1 992	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		recn 7907	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	anim1i 338	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
9	8	3adant1 1010	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
10		mulcanap 8583	. . 3 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
11	5, 6, 9, 10	syl3anc 1233	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
12	7	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	4	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
14		ax-icn 7869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
15		imcl 10818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
16	15	recnd 7948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
17		mulcl 7901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
18	14, 16, 17	sylancr 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	18	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
20	12, 13, 19	adddid 7944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴)))))
21		replim 10823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
22	21	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
23	22	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
24		mul12 8048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))) = (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴))))
25	14, 24	mp3an1 1319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))) = (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴))))
26	7, 16, 25	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))) = (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴))))
27	26	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴)))) = ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴)))))
28	20, 23, 27	3eqtr4d 2213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) = ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴)))))
29	28	fveq2d 5500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (ℜ‘((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))))))
30		remulcl 7902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
31	3, 30	sylan2 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
32		remulcl 7902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
33	15, 32	sylan2 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
34		crre 10821	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (ℜ‘((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))))) = (𝐵 · (ℜ‘𝐴)))
35	31, 33, 34	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))))) = (𝐵 · (ℜ‘𝐴)))
36	29, 35	eqtr2d 2204	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)))
37	36	eqeq1d 2179	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐴)))
38		mulcl 7901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
39	7, 38	sylan 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
40		rereb 10827	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ → ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐴)))
41	39, 40	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐴)))
42	37, 41	bitr4d 190	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))
43	42	ancoms 266	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))
44	43	3adant3 1012	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))
45	2, 11, 44	3bitr2d 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  ici 7776   + caddc 7777   · cmul 7779   # cap 8500  ℜcre 10804  ℑcim 10805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-2 8937  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808

This theorem is referenced by: (None)