Theorem nnoddm1d2 12429

Description: A positive integer is odd iff its successor divided by 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnoddm1d2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nnoddm1d2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9473	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		oddp1d2 12409	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4		peano2nn 9130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
5	4	nnred 9131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6		2re 9188	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
8		nnre 9125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
9		1red 8169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
10		nngt0 9143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
11		0lt1 8281	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
13	8, 9, 10, 12	addgt0d 8676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
14		2pos 9209	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
15	14	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
16	5, 7, 13, 15	divgt0d 9090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((𝑁 + 1) / 2))
17	16	anim1i 340	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (0 < ((𝑁 + 1) / 2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
18	17	ancomd 267	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
19		elnnz 9464	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
20	18, 19	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ)
21	20	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
22		nnz 9473	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
23	21, 22	impbid1 142	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
24	3, 23	bitrd 188	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℝcr 8006  0cc0 8007  1c1 8008   + caddc 8010   < clt 8189   / cdiv 8827  ℕcn 9118  2c2 9169  ℤcz 9454   ∥ cdvds 12306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-n0 9378  df-z 9455  df-dvds 12307

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0b  15737