Theorem nnoddm1d2 11918

Description: A positive integer is odd iff its successor divided by 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnoddm1d2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nnoddm1d2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9275	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		oddp1d2 11898	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4		peano2nn 8934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
5	4	nnred 8935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6		2re 8992	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
8		nnre 8929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
9		1red 7975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
10		nngt0 8947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
11		0lt1 8087	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
13	8, 9, 10, 12	addgt0d 8481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
14		2pos 9013	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
15	14	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
16	5, 7, 13, 15	divgt0d 8895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((𝑁 + 1) / 2))
17	16	anim1i 340	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (0 < ((𝑁 + 1) / 2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
18	17	ancomd 267	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
19		elnnz 9266	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
20	18, 19	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ)
21	20	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
22		nnz 9275	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
23	21, 22	impbid1 142	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
24	3, 23	bitrd 188	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  ℝcr 7813  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   < clt 7995   / cdiv 8632  ℕcn 8922  2c2 8973  ℤcz 9256   ∥ cdvds 11797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-n0 9180  df-z 9257  df-dvds 11798

This theorem is referenced by: (None)