Theorem nnoddm1d2 12271

Description: A positive integer is odd iff its successor divided by 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnoddm1d2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nnoddm1d2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9404	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		oddp1d2 12251	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4		peano2nn 9061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
5	4	nnred 9062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6		2re 9119	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
8		nnre 9056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
9		1red 8100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
10		nngt0 9074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
11		0lt1 8212	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
13	8, 9, 10, 12	addgt0d 8607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
14		2pos 9140	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
15	14	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
16	5, 7, 13, 15	divgt0d 9021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((𝑁 + 1) / 2))
17	16	anim1i 340	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (0 < ((𝑁 + 1) / 2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
18	17	ancomd 267	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
19		elnnz 9395	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
20	18, 19	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ)
21	20	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
22		nnz 9404	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
23	21, 22	impbid1 142	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
24	3, 23	bitrd 188	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4048  (class class class)co 5954  ℝcr 7937  0cc0 7938  1c1 7939   + caddc 7941   < clt 8120   / cdiv 8758  ℕcn 9049  2c2 9100  ℤcz 9385   ∥ cdvds 12148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-n0 9309  df-z 9386  df-dvds 12149

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0b  15577