Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numltc GIF version

Theorem numltc 9314
 Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numlt.1 𝑇 ∈ ℕ
numlt.2 𝐴 ∈ ℕ0
numlt.3 𝐵 ∈ ℕ0
numltc.3 𝐶 ∈ ℕ0
numltc.4 𝐷 ∈ ℕ0
numltc.5 𝐶 < 𝑇
numltc.6 𝐴 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
numltc ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)

Proof of Theorem numltc
StepHypRef Expression
1 numlt.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ
2 numlt.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
3 numltc.3 . . . . 5 𝐶 ∈ ℕ0
4 numltc.5 . . . . 5 𝐶 < 𝑇
51, 2, 3, 1, 4numlt 9313 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
61nnrei 8836 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ℝ
76recni 7884 . . . . . 6 𝑇 ∈ ℂ
82nn0rei 9095 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℝ
98recni 7884 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
10 ax-1cn 7819 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
117, 9, 10adddii 7882 . . . . 5 (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1))
127mulid1i 7874 . . . . . 6 (𝑇 · 1) = 𝑇
1312oveq2i 5832 . . . . 5 ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
1411, 13eqtri 2178 . . . 4 (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
155, 14breqtrri 3991 . . 3 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · (𝐴 + 1))
16 numltc.6 . . . . 5 𝐴 < 𝐵
17 numlt.3 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
18 nn0ltp1le 9223 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵))
192, 17, 18mp2an 423 . . . . 5 (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵)
2016, 19mpbi 144 . . . 4 (𝐴 + 1) ≤ 𝐵
211nngt0i 8857 . . . . 5 0 < 𝑇
22 peano2re 8005 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
238, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐴 + 1) ∈ ℝ
2417nn0rei 9095 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
2523, 24, 6lemul2i 8790 . . . . 5 (0 < 𝑇 → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)))
2621, 25ax-mp 5 . . . 4 ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵))
2720, 26mpbi 144 . . 3 (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)
286, 8remulcli 7886 . . . . 5 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ
293nn0rei 9095 . . . . 5 𝐶 ∈ ℝ
3028, 29readdcli 7885 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) ∈ ℝ
316, 23remulcli 7886 . . . 4 (𝑇 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ
326, 24remulcli 7886 . . . 4 (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ
3330, 31, 32ltletri 7977 . . 3 ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · (𝐴 + 1)) ∧ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵))
3415, 27, 33mp2an 423 . 2 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵)
35 numltc.4 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
3632, 35nn0addge1i 9132 . 2 (𝑇 · 𝐵) ≤ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)
3735nn0rei 9095 . . . 4 𝐷 ∈ ℝ
3832, 37readdcli 7885 . . 3 ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷) ∈ ℝ
3930, 32, 38ltletri 7977 . 2 ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵) ∧ (𝑇 · 𝐵) ≤ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷))
4034, 36, 39mp2an 423 1 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821  ℝcr 7725  0cc0 7726  1c1 7727   + caddc 7729   · cmul 7731   < clt 7906   ≤ cle 7907  ℕcn 8827  ℕ0cn0 9084 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162 This theorem is referenced by:  decltc  9317  numlti  9325
 Copyright terms: Public domain W3C validator