ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numltc GIF version

Theorem numltc 9407
Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numlt.1 𝑇 ∈ ℕ
numlt.2 𝐴 ∈ ℕ0
numlt.3 𝐵 ∈ ℕ0
numltc.3 𝐶 ∈ ℕ0
numltc.4 𝐷 ∈ ℕ0
numltc.5 𝐶 < 𝑇
numltc.6 𝐴 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
numltc ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)

Proof of Theorem numltc
StepHypRef Expression
1 numlt.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ
2 numlt.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
3 numltc.3 . . . . 5 𝐶 ∈ ℕ0
4 numltc.5 . . . . 5 𝐶 < 𝑇
51, 2, 3, 1, 4numlt 9406 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
61nnrei 8926 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ℝ
76recni 7968 . . . . . 6 𝑇 ∈ ℂ
82nn0rei 9185 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℝ
98recni 7968 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
10 ax-1cn 7903 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
117, 9, 10adddii 7966 . . . . 5 (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1))
127mulid1i 7958 . . . . . 6 (𝑇 · 1) = 𝑇
1312oveq2i 5885 . . . . 5 ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
1411, 13eqtri 2198 . . . 4 (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
155, 14breqtrri 4030 . . 3 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · (𝐴 + 1))
16 numltc.6 . . . . 5 𝐴 < 𝐵
17 numlt.3 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
18 nn0ltp1le 9313 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵))
192, 17, 18mp2an 426 . . . . 5 (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵)
2016, 19mpbi 145 . . . 4 (𝐴 + 1) ≤ 𝐵
211nngt0i 8947 . . . . 5 0 < 𝑇
22 peano2re 8091 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
238, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐴 + 1) ∈ ℝ
2417nn0rei 9185 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
2523, 24, 6lemul2i 8880 . . . . 5 (0 < 𝑇 → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)))
2621, 25ax-mp 5 . . . 4 ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵))
2720, 26mpbi 145 . . 3 (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)
286, 8remulcli 7970 . . . . 5 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ
293nn0rei 9185 . . . . 5 𝐶 ∈ ℝ
3028, 29readdcli 7969 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) ∈ ℝ
316, 23remulcli 7970 . . . 4 (𝑇 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ
326, 24remulcli 7970 . . . 4 (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ
3330, 31, 32ltletri 8062 . . 3 ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · (𝐴 + 1)) ∧ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵))
3415, 27, 33mp2an 426 . 2 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵)
35 numltc.4 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
3632, 35nn0addge1i 9222 . 2 (𝑇 · 𝐵) ≤ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)
3735nn0rei 9185 . . . 4 𝐷 ∈ ℝ
3832, 37readdcli 7969 . . 3 ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷) ∈ ℝ
3930, 32, 38ltletri 8062 . 2 ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵) ∧ (𝑇 · 𝐵) ≤ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷))
4034, 36, 39mp2an 426 1 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 105  wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   · cmul 7815   < clt 7990  cle 7991  cn 8917  0cn0 9174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252
This theorem is referenced by:  decltc  9410  numlti  9418
  Copyright terms: Public domain W3C validator