Theorem numltc 9752

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numlt.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ
numlt.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numlt.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numltc.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numltc.4	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numltc.5	⊢ 𝐶 < 𝑇
numltc.6	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
numltc	⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)

Proof of Theorem numltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numlt.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ
2		numlt.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		numltc.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
4		numltc.5	. . . . 5 ⊢ 𝐶 < 𝑇
5	1, 2, 3, 1, 4	numlt 9751	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
6	1	nnrei 9263	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ
7	6	recni 8302	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
8	2	nn0rei 9524	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
9	8	recni 8302	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
10		ax-1cn 8236	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	7, 9, 10	adddii 8300	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1))
12	7	mulridi 8292	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 · 1) = 𝑇
13	12	oveq2i 6069	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
14	11, 13	eqtri 2255	. . . 4 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
15	5, 14	breqtrri 4141	. . 3 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · (𝐴 + 1))
16		numltc.6	. . . . 5 ⊢ 𝐴 < 𝐵
17		numlt.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
18		nn0ltp1le 9657	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵))
19	2, 17, 18	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵)
20	16, 19	mpbi 145	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵
21	1	nngt0i 9284	. . . . 5 ⊢ 0 < 𝑇
22		peano2re 8425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
23	8, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℝ
24	17	nn0rei 9524	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
25	23, 24, 6	lemul2i 9216	. . . . 5 ⊢ (0 < 𝑇 → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)))
26	21, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵))
27	20, 26	mpbi 145	. . 3 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)
28	6, 8	remulcli 8304	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ
29	3	nn0rei 9524	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
30	28, 29	readdcli 8303	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) ∈ ℝ
31	6, 23	remulcli 8304	. . . 4 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ
32	6, 24	remulcli 8304	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ
33	30, 31, 32	ltletri 8396	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · (𝐴 + 1)) ∧ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵))
34	15, 27, 33	mp2an 426	. 2 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵)
35		numltc.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
36	32, 35	nn0addge1i 9561	. 2 ⊢ (𝑇 · 𝐵) ≤ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)
37	35	nn0rei 9524	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
38	32, 37	readdcli 8303	. . 3 ⊢ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷) ∈ ℝ
39	30, 32, 38	ltletri 8396	. 2 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵) ∧ (𝑇 · 𝐵) ≤ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷))
40	34, 36, 39	mp2an 426	1 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148   < clt 8324   ≤ cle 8325  ℕcn 9254  ℕ₀cn0 9513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595

This theorem is referenced by:  decltc  9755  numlti  9763