ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numltc GIF version

Theorem numltc 9411
Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numlt.1 ๐‘‡ โˆˆ โ„•
numlt.2 ๐ด โˆˆ โ„•0
numlt.3 ๐ต โˆˆ โ„•0
numltc.3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
numltc.4 ๐ท โˆˆ โ„•0
numltc.5 ๐ถ < ๐‘‡
numltc.6 ๐ด < ๐ต
Assertion
Ref Expression
numltc ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ๐ท)

Proof of Theorem numltc
StepHypRef Expression
1 numlt.1 . . . . 5 ๐‘‡ โˆˆ โ„•
2 numlt.2 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„•0
3 numltc.3 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„•0
4 numltc.5 . . . . 5 ๐ถ < ๐‘‡
51, 2, 3, 1, 4numlt 9410 . . . 4 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐‘‡)
61nnrei 8930 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ โ„
76recni 7971 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ โ„‚
82nn0rei 9189 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„
98recni 7971 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„‚
10 ax-1cn 7906 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
117, 9, 10adddii 7969 . . . . 5 (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท 1))
127mulid1i 7961 . . . . . 6 (๐‘‡ ยท 1) = ๐‘‡
1312oveq2i 5888 . . . . 5 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท 1)) = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐‘‡)
1411, 13eqtri 2198 . . . 4 (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐‘‡)
155, 14breqtrri 4032 . . 3 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐‘‡ ยท (๐ด + 1))
16 numltc.6 . . . . 5 ๐ด < ๐ต
17 numlt.3 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„•0
18 nn0ltp1le 9317 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด + 1) โ‰ค ๐ต))
192, 17, 18mp2an 426 . . . . 5 (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด + 1) โ‰ค ๐ต)
2016, 19mpbi 145 . . . 4 (๐ด + 1) โ‰ค ๐ต
211nngt0i 8951 . . . . 5 0 < ๐‘‡
22 peano2re 8095 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
238, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (๐ด + 1) โˆˆ โ„
2417nn0rei 9189 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„
2523, 24, 6lemul2i 8884 . . . . 5 (0 < ๐‘‡ โ†’ ((๐ด + 1) โ‰ค ๐ต โ†” (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (๐‘‡ ยท ๐ต)))
2621, 25ax-mp 5 . . . 4 ((๐ด + 1) โ‰ค ๐ต โ†” (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (๐‘‡ ยท ๐ต))
2720, 26mpbi 145 . . 3 (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (๐‘‡ ยท ๐ต)
286, 8remulcli 7973 . . . . 5 (๐‘‡ ยท ๐ด) โˆˆ โ„
293nn0rei 9189 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„
3028, 29readdcli 7972 . . . 4 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) โˆˆ โ„
316, 23remulcli 7973 . . . 4 (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) โˆˆ โ„
326, 24remulcli 7973 . . . 4 (๐‘‡ ยท ๐ต) โˆˆ โ„
3330, 31, 32ltletri 8066 . . 3 ((((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) โˆง (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (๐‘‡ ยท ๐ต)) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐‘‡ ยท ๐ต))
3415, 27, 33mp2an 426 . 2 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐‘‡ ยท ๐ต)
35 numltc.4 . . 3 ๐ท โˆˆ โ„•0
3632, 35nn0addge1i 9226 . 2 (๐‘‡ ยท ๐ต) โ‰ค ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ๐ท)
3735nn0rei 9189 . . . 4 ๐ท โˆˆ โ„
3832, 37readdcli 7972 . . 3 ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ๐ท) โˆˆ โ„
3930, 32, 38ltletri 8066 . 2 ((((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐‘‡ ยท ๐ต) โˆง (๐‘‡ ยท ๐ต) โ‰ค ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ๐ท)) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ๐ท))
4034, 36, 39mp2an 426 1 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ๐ท)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†” wb 105   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  โ„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818   < clt 7994   โ‰ค cle 7995  โ„•cn 8921  โ„•0cn0 9178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256
This theorem is referenced by:  decltc  9414  numlti  9422
  Copyright terms: Public domain W3C validator