Theorem numltc 9207

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numlt.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ
numlt.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numlt.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numltc.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numltc.4	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numltc.5	⊢ 𝐶 < 𝑇
numltc.6	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
numltc	⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)

Proof of Theorem numltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numlt.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ
2		numlt.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		numltc.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
4		numltc.5	. . . . 5 ⊢ 𝐶 < 𝑇
5	1, 2, 3, 1, 4	numlt 9206	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
6	1	nnrei 8729	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ
7	6	recni 7778	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
8	2	nn0rei 8988	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
9	8	recni 7778	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
10		ax-1cn 7713	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	7, 9, 10	adddii 7776	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1))
12	7	mulid1i 7768	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 · 1) = 𝑇
13	12	oveq2i 5785	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
14	11, 13	eqtri 2160	. . . 4 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
15	5, 14	breqtrri 3955	. . 3 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · (𝐴 + 1))
16		numltc.6	. . . . 5 ⊢ 𝐴 < 𝐵
17		numlt.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
18		nn0ltp1le 9116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵))
19	2, 17, 18	mp2an 422	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵)
20	16, 19	mpbi 144	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵
21	1	nngt0i 8750	. . . . 5 ⊢ 0 < 𝑇
22		peano2re 7898	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
23	8, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℝ
24	17	nn0rei 8988	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
25	23, 24, 6	lemul2i 8683	. . . . 5 ⊢ (0 < 𝑇 → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)))
26	21, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵))
27	20, 26	mpbi 144	. . 3 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)
28	6, 8	remulcli 7780	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ
29	3	nn0rei 8988	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
30	28, 29	readdcli 7779	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) ∈ ℝ
31	6, 23	remulcli 7780	. . . 4 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ
32	6, 24	remulcli 7780	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ
33	30, 31, 32	ltletri 7870	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · (𝐴 + 1)) ∧ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵))
34	15, 27, 33	mp2an 422	. 2 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵)
35		numltc.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
36	32, 35	nn0addge1i 9025	. 2 ⊢ (𝑇 · 𝐵) ≤ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)
37	35	nn0rei 8988	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
38	32, 37	readdcli 7779	. . 3 ⊢ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷) ∈ ℝ
39	30, 32, 38	ltletri 7870	. 2 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵) ∧ (𝑇 · 𝐵) ≤ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷))
40	34, 36, 39	mp2an 422	1 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625   < clt 7800   ≤ cle 7801  ℕcn 8720  ℕ₀cn0 8977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055

This theorem is referenced by:  decltc  9210  numlti  9218