Theorem numltc 9314

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numlt.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ
numlt.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numlt.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numltc.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numltc.4	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numltc.5	⊢ 𝐶 < 𝑇
numltc.6	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
numltc	⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)

Proof of Theorem numltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numlt.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ
2		numlt.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		numltc.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
4		numltc.5	. . . . 5 ⊢ 𝐶 < 𝑇
5	1, 2, 3, 1, 4	numlt 9313	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
6	1	nnrei 8836	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ
7	6	recni 7884	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
8	2	nn0rei 9095	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
9	8	recni 7884	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
10		ax-1cn 7819	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	7, 9, 10	adddii 7882	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1))
12	7	mulid1i 7874	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 · 1) = 𝑇
13	12	oveq2i 5832	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
14	11, 13	eqtri 2178	. . . 4 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
15	5, 14	breqtrri 3991	. . 3 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · (𝐴 + 1))
16		numltc.6	. . . . 5 ⊢ 𝐴 < 𝐵
17		numlt.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
18		nn0ltp1le 9223	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵))
19	2, 17, 18	mp2an 423	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵)
20	16, 19	mpbi 144	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵
21	1	nngt0i 8857	. . . . 5 ⊢ 0 < 𝑇
22		peano2re 8005	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
23	8, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℝ
24	17	nn0rei 9095	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
25	23, 24, 6	lemul2i 8790	. . . . 5 ⊢ (0 < 𝑇 → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)))
26	21, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵))
27	20, 26	mpbi 144	. . 3 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)
28	6, 8	remulcli 7886	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ
29	3	nn0rei 9095	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
30	28, 29	readdcli 7885	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) ∈ ℝ
31	6, 23	remulcli 7886	. . . 4 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ
32	6, 24	remulcli 7886	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ
33	30, 31, 32	ltletri 7977	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · (𝐴 + 1)) ∧ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵))
34	15, 27, 33	mp2an 423	. 2 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵)
35		numltc.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
36	32, 35	nn0addge1i 9132	. 2 ⊢ (𝑇 · 𝐵) ≤ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)
37	35	nn0rei 9095	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
38	32, 37	readdcli 7885	. . 3 ⊢ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷) ∈ ℝ
39	30, 32, 38	ltletri 7977	. 2 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵) ∧ (𝑇 · 𝐵) ≤ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷))
40	34, 36, 39	mp2an 423	1 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821  ℝcr 7725  0cc0 7726  1c1 7727   + caddc 7729   · cmul 7731   < clt 7906   ≤ cle 7907  ℕcn 8827  ℕ₀cn0 9084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162

This theorem is referenced by:  decltc  9317  numlti  9325