Theorem prdsbas3 13234

Description: The base set of an indexed structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt2.y	|- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
prdsbasmpt2.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsbasmpt2.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbasmpt2.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsbasmpt2.r	|- ( ph -> A. x e. I R e. X )
prdsbasmpt2.k	|- K = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
prdsbas3	|- ( ph -> B = X_ x e. I K )

Distinct variable group:   x, I

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   R( x)   S( x)   K( x)   V( x)   W( x)   X( x)   Y( x)

Proof of Theorem prdsbas3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt2.y	. . . 4 |- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
2		prdsbasmpt2.b	. . . 4 |- B = ( Base ` Y )
3		prdsbasmpt2.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. V )
4		prdsbasmpt2.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
5		prdsbasmpt2.r	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. I R e. X )
6		eqid 2207	. . . . . 6 |- ( x e. I |-> R ) = ( x e. I |-> R )
7	6	fnmpt 5422	. . . . 5 |- ( A. x e. I R e. X -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
8	5, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
9	1, 2, 3, 4, 8	prdsbas2 13226	. . 3 |- ( ph -> B = X_ y e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) )
10		nfcv 2350	. . . . 5 |- F/_ x Base
11		nffvmpt1 5610	. . . . 5 |- F/_ x ( ( x e. I |-> R ) ` y )
12	10, 11	nffv 5609	. . . 4 |- F/_ x ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) )
13		nfcv 2350	. . . 4 |- F/_ y ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) )
14		2fveq3 5604	. . . 4 |- ( y = x -> ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) = ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) )
15	12, 13, 14	cbvixp 6825	. . 3 |- X_ y e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) = X_ x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) )
16	9, 15	eqtrdi 2256	. 2 |- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) )
17	6	fvmpt2 5686	. . . . . 6 |- ( ( x e. I /\ R e. X ) -> ( ( x e. I |-> R ) ` x ) = R )
18	17	fveq2d 5603	. . . . 5 |- ( ( x e. I /\ R e. X ) -> ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = ( Base ` R ) )
19		prdsbasmpt2.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` R )
20	18, 19	eqtr4di 2258	. . . 4 |- ( ( x e. I /\ R e. X ) -> ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = K )
21	20	ralimiaa 2570	. . 3 |- ( A. x e. I R e. X -> A. x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = K )
22		ixpeq2 6822	. . 3 |- ( A. x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = K -> X_ x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = X_ x e. I K )
23	5, 21, 22	3syl 17	. 2 |- ( ph -> X_ x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = X_ x e. I K )
24	16, 23	eqtrd 2240	1 |- ( ph -> B = X_ x e. I K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   |-> cmpt 4121   Fn wfn 5285   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   X_cixp 6808   Basecbs 12947   X__scprds 13212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6760  df-ixp 6809  df-sup 7112  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-dec 9540  df-uz 9684  df-fz 10166  df-struct 12949  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-ip 13042  df-tset 13043  df-ple 13044  df-ds 13046  df-hom 13048  df-cco 13049  df-rest 13188  df-topn 13189  df-topgen 13207  df-pt 13208  df-prds 13214

This theorem is referenced by:  prdsbasmpt2  13235