Theorem prdsbas3 14134

Description: The base set of an indexed structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt2.y	|- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
prdsbasmpt2.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsbasmpt2.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbasmpt2.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsbasmpt2.r	|- ( ph -> A. x e. I R e. X )
prdsbasmpt2.k	|- K = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
prdsbas3	|- ( ph -> B = X_ x e. I K )

Distinct variable group:   x, I

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   R( x)   S( x)   K( x)   V( x)   W( x)   X( x)   Y( x)

Proof of Theorem prdsbas3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt2.y	. . . 4 |- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
2		prdsbasmpt2.b	. . . 4 |- B = ( Base ` Y )
3		prdsbasmpt2.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. V )
4		prdsbasmpt2.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
5		prdsbasmpt2.r	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. I R e. X )
6		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( x e. I |-> R ) = ( x e. I |-> R )
7	6	fnmpt 5491	. . . . 5 |- ( A. x e. I R e. X -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
8	5, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
9	1, 2, 3, 4, 8	prdsbas2 14126	. . 3 |- ( ph -> B = X_ y e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) )
10		nfcv 2386	. . . . 5 |- F/_ x Base
11		nffvmpt1 5687	. . . . 5 |- F/_ x ( ( x e. I |-> R ) ` y )
12	10, 11	nffv 5686	. . . 4 |- F/_ x ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) )
13		nfcv 2386	. . . 4 |- F/_ y ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) )
14		2fveq3 5681	. . . 4 |- ( y = x -> ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) = ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) )
15	12, 13, 14	cbvixp 6964	. . 3 |- X_ y e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) = X_ x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) )
16	9, 15	eqtrdi 2283	. 2 |- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) )
17	6	fvmpt2 5767	. . . . . 6 |- ( ( x e. I /\ R e. X ) -> ( ( x e. I |-> R ) ` x ) = R )
18	17	fveq2d 5680	. . . . 5 |- ( ( x e. I /\ R e. X ) -> ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = ( Base ` R ) )
19		prdsbasmpt2.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` R )
20	18, 19	eqtr4di 2285	. . . 4 |- ( ( x e. I /\ R e. X ) -> ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = K )
21	20	ralimiaa 2606	. . 3 |- ( A. x e. I R e. X -> A. x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = K )
22		ixpeq2 6961	. . 3 |- ( A. x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = K -> X_ x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = X_ x e. I K )
23	5, 21, 22	3syl 17	. 2 |- ( ph -> X_ x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = X_ x e. I K )
24	16, 23	eqtrd 2267	1 |- ( ph -> B = X_ x e. I K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   |-> cmpt 4177   Fn wfn 5353   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   X_cixp 6947   Basecbs 13301   X__scprds 14116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-tp 3703  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-map 6898  df-ixp 6948  df-sup 7289  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-5 9320  df-6 9321  df-7 9322  df-8 9323  df-9 9324  df-n0 9518  df-z 9599  df-dec 9732  df-uz 9876  df-fz 10366  df-struct 13303  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-plusg 13392  df-mulr 13393  df-sca 13395  df-vsca 13396  df-ip 13397  df-tset 13398  df-ple 13399  df-ds 13401  df-hom 13403  df-cco 13404  df-rest 13543  df-topn 13544  df-topgen 13562  df-pt 13563  df-prds 14117

This theorem is referenced by:  prdsbasmpt2  14135