Theorem prdsbas3 14238

Description: The base set of an indexed structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt2.y	|- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
prdsbasmpt2.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsbasmpt2.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbasmpt2.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsbasmpt2.r	|- ( ph -> A. x e. I R e. X )
prdsbasmpt2.k	|- K = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
prdsbas3	|- ( ph -> B = X_ x e. I K )

Distinct variable group:   x, I

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   R( x)   S( x)   K( x)   V( x)   W( x)   X( x)   Y( x)

Proof of Theorem prdsbas3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt2.y	. . . 4 |- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
2		prdsbasmpt2.b	. . . 4 |- B = ( Base ` Y )
3		prdsbasmpt2.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. V )
4		prdsbasmpt2.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
5		prdsbasmpt2.r	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. I R e. X )
6		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( x e. I |-> R ) = ( x e. I |-> R )
7	6	fnmpt 5510	. . . . 5 |- ( A. x e. I R e. X -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
8	5, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
9	1, 2, 3, 4, 8	prdsbas2 14230	. . 3 |- ( ph -> B = X_ y e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) )
10		nfcv 2392	. . . . 5 |- F/_ x Base
11		nffvmpt1 5706	. . . . 5 |- F/_ x ( ( x e. I |-> R ) ` y )
12	10, 11	nffv 5705	. . . 4 |- F/_ x ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) )
13		nfcv 2392	. . . 4 |- F/_ y ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) )
14		2fveq3 5700	. . . 4 |- ( y = x -> ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) = ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) )
15	12, 13, 14	cbvixp 6997	. . 3 |- X_ y e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) = X_ x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) )
16	9, 15	eqtrdi 2287	. 2 |- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) )
17	6	fvmpt2 5789	. . . . . 6 |- ( ( x e. I /\ R e. X ) -> ( ( x e. I |-> R ) ` x ) = R )
18	17	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( ( x e. I /\ R e. X ) -> ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = ( Base ` R ) )
19		prdsbasmpt2.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` R )
20	18, 19	eqtr4di 2289	. . . 4 |- ( ( x e. I /\ R e. X ) -> ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = K )
21	20	ralimiaa 2612	. . 3 |- ( A. x e. I R e. X -> A. x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = K )
22		ixpeq2 6994	. . 3 |- ( A. x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = K -> X_ x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = X_ x e. I K )
23	5, 21, 22	3syl 17	. 2 |- ( ph -> X_ x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = X_ x e. I K )
24	16, 23	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> B = X_ x e. I K )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   |-> cmpt 4192   Fn wfn 5372   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   X_cixp 6980   Basecbs 13403   X__scprds 14220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-ixp 6981  df-sup 7325  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-dec 9783  df-uz 9932  df-fz 10423  df-struct 13405  df-ndx 13406  df-slot 13407  df-base 13409  df-plusg 13495  df-mulr 13496  df-sca 13498  df-vsca 13499  df-ip 13500  df-tset 13501  df-ple 13502  df-ds 13504  df-hom 13506  df-cco 13507  df-rest 13646  df-topn 13647  df-topgen 13665  df-pt 13666  df-prds 14221

This theorem is used by:  prdsbasmpt2  14239