Theorem prdsbas3 13306

Description: The base set of an indexed structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt2.y	|- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
prdsbasmpt2.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsbasmpt2.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbasmpt2.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsbasmpt2.r	|- ( ph -> A. x e. I R e. X )
prdsbasmpt2.k	|- K = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
prdsbas3	|- ( ph -> B = X_ x e. I K )

Distinct variable group:   x, I

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   R( x)   S( x)   K( x)   V( x)   W( x)   X( x)   Y( x)

Proof of Theorem prdsbas3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt2.y	. . . 4 |- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
2		prdsbasmpt2.b	. . . 4 |- B = ( Base ` Y )
3		prdsbasmpt2.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. V )
4		prdsbasmpt2.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
5		prdsbasmpt2.r	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. I R e. X )
6		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( x e. I |-> R ) = ( x e. I |-> R )
7	6	fnmpt 5446	. . . . 5 |- ( A. x e. I R e. X -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
8	5, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
9	1, 2, 3, 4, 8	prdsbas2 13298	. . 3 |- ( ph -> B = X_ y e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) )
10		nfcv 2372	. . . . 5 |- F/_ x Base
11		nffvmpt1 5634	. . . . 5 |- F/_ x ( ( x e. I |-> R ) ` y )
12	10, 11	nffv 5633	. . . 4 |- F/_ x ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) )
13		nfcv 2372	. . . 4 |- F/_ y ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) )
14		2fveq3 5628	. . . 4 |- ( y = x -> ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) = ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) )
15	12, 13, 14	cbvixp 6852	. . 3 |- X_ y e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) = X_ x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) )
16	9, 15	eqtrdi 2278	. 2 |- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) )
17	6	fvmpt2 5711	. . . . . 6 |- ( ( x e. I /\ R e. X ) -> ( ( x e. I |-> R ) ` x ) = R )
18	17	fveq2d 5627	. . . . 5 |- ( ( x e. I /\ R e. X ) -> ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = ( Base ` R ) )
19		prdsbasmpt2.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` R )
20	18, 19	eqtr4di 2280	. . . 4 |- ( ( x e. I /\ R e. X ) -> ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = K )
21	20	ralimiaa 2592	. . 3 |- ( A. x e. I R e. X -> A. x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = K )
22		ixpeq2 6849	. . 3 |- ( A. x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = K -> X_ x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = X_ x e. I K )
23	5, 21, 22	3syl 17	. 2 |- ( ph -> X_ x e. I ( Base ` ( ( x e. I |-> R ) ` x ) ) = X_ x e. I K )
24	16, 23	eqtrd 2262	1 |- ( ph -> B = X_ x e. I K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   |-> cmpt 4144   Fn wfn 5309   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   X_cixp 6835   Basecbs 13018   X__scprds 13284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-map 6787  df-ixp 6836  df-sup 7139  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-9 9164  df-n0 9358  df-z 9435  df-dec 9567  df-uz 9711  df-fz 10193  df-struct 13020  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-plusg 13109  df-mulr 13110  df-sca 13112  df-vsca 13113  df-ip 13114  df-tset 13115  df-ple 13116  df-ds 13118  df-hom 13120  df-cco 13121  df-rest 13260  df-topn 13261  df-topgen 13279  df-pt 13280  df-prds 13286

This theorem is referenced by:  prdsbasmpt2  13307