Theorem prdsbas3 13363

Description: The base set of an indexed structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsbasmpt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
prdsbasmpt2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prdsbas3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾)

Distinct variable group:   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsbas3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsbasmpt2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsbasmpt2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsbasmpt2.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
6		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
7	6	fnmpt 5456	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
8	5, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
9	1, 2, 3, 4, 8	prdsbas2 13355	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑦 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)))
10		nfcv 2372	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥Base
11		nffvmpt1 5646	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)
12	10, 11	nffv 5645	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))
13		nfcv 2372	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))
14		2fveq3 5640	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)) = (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)))
15	12, 13, 14	cbvixp 6879	. . 3 ⊢ X𝑦 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))
16	9, 15	eqtrdi 2278	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)))
17	6	fvmpt2 5726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
18	17	fveq2d 5639	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
19		prdsbasmpt2.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
20	18, 19	eqtr4di 2280	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = 𝐾)
21	20	ralimiaa 2592	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = 𝐾)
22		ixpeq2 6876	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = 𝐾 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾)
23	5, 21, 22	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾)
24	16, 23	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ↦ cmpt 4148   Fn wfn 5319  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Xcixp 6862  Basecbs 13075  X_scprds 13341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-map 6814  df-ixp 6863  df-sup 7177  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-dec 9605  df-uz 9749  df-fz 10237  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-sca 13169  df-vsca 13170  df-ip 13171  df-tset 13172  df-ple 13173  df-ds 13175  df-hom 13177  df-cco 13178  df-rest 13317  df-topn 13318  df-topgen 13336  df-pt 13337  df-prds 13343

This theorem is referenced by:  prdsbasmpt2  13364