Theorem prdssca 13505

Description: Scalar ring of a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Revised by Zhi Wang, 18-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbas.p	|- P = ( S X_s R )
prdsbas.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbas.r	|- ( ph -> R e. W )

Assertion

Ref	Expression
prdssca	|- ( ph -> S = (Scalar ` P ) )

Proof of Theorem prdssca

Dummy variables a c d e f g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbas.p	. . 3 |- P = ( S X_s R )
2		prdsbas.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
3		prdsbas.r	. . 3 |- ( ph -> R e. W )
4		eqid 2234	. . 3 |- (Scalar ` P ) = (Scalar ` P )
5		scaid 13382	. . 3 |- Scalar = Slot (Scalar ` ndx )
6		scaslid 13383	. . . 4 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
7	6	simpri 113	. . 3 |- (Scalar ` ndx ) e. NN
8		snsstp1 3846	. . . . . 6 |- { <. (Scalar ` ndx ) , S >. } C_ { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. }
9		ssun2 3385	. . . . . 6 |- { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
10	8, 9	sstri 3249	. . . . 5 |- { <. (Scalar ` ndx ) , S >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
11		ssun1 3384	. . . . 5 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
12	10, 11	sstri 3249	. . . 4 |- { <. (Scalar ` ndx ) , S >. } C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
13		eqid 2234	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
14		eqidd 2235	. . . . 5 |- ( ph -> dom R = dom R )
15		eqidd 2235	. . . . 5 |- ( ph -> X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) = X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) )
16		eqidd 2235	. . . . 5 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
17		eqidd 2235	. . . . 5 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
18		eqidd 2235	. . . . 5 |- ( ph -> ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
19		eqidd 2235	. . . . 5 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) )
20		eqidd 2235	. . . . 5 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
21		eqidd 2235	. . . . 5 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } )
22		eqidd 2235	. . . . 5 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) )
23		eqidd 2235	. . . . 5 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
24		eqidd 2235	. . . . 5 |- ( ph -> ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) = ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) )
25	1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 2, 3	prdsval 13503	. . . 4 |- ( ph -> P = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
26	12, 25	sseqtrrid 3291	. . 3 |- ( ph -> { <. (Scalar ` ndx ) , S >. } C_ P )
27	1, 2, 3, 4, 5, 7, 2, 26	prdsbaslemss 13504	. 2 |- ( ph -> (Scalar ` P ) = S )
28	27	eqcomd 2240	1 |- ( ph -> S = (Scalar ` P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   u. cun 3211   C_ wss 3213   {csn 3691   {cpr 3692   {ctp 3693   <.cop 3694   class class class wbr 4111   {copab 4172   |-> cmpt 4173   X. cxp 4749   dom cdm 4751   ran crn 4752   o. ccom 4755   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   e. cmpo 6054   1stc1st 6334   2ndc2nd 6335   X_cixp 6935   supcsup 7275   0cc0 8129   RR*cxr 8309   < clt 8310   NNcn 9239   ndxcnx 13226  Slot cslot 13228   Basecbs 13229   +g cplusg 13307   .rcmulr 13308  Scalarcsca 13310   .scvsca 13311   .icip 13312  TopSetcts 13313   lecple 13314   distcds 13316   Hom chom 13318  compcco 13319   TopOpenctopn 13470   Xt_cpt 13485   gsum_g cgsu 13487   X__scprds 13495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-map 6886  df-ixp 6936  df-sup 7277  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-z 9580  df-dec 9713  df-uz 9857  df-fz 10346  df-struct 13231  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-plusg 13320  df-mulr 13321  df-sca 13323  df-vsca 13324  df-ip 13325  df-tset 13326  df-ple 13327  df-ds 13329  df-hom 13331  df-cco 13332  df-rest 13471  df-topn 13472  df-topgen 13490  df-pt 13491  df-prds 13497

This theorem is referenced by: (None)