Theorem prdssca 14177

Description: Scalar ring of a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Revised by Zhi Wang, 18-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbas.p	|- P = ( S X_s R )
prdsbas.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbas.r	|- ( ph -> R e. W )

Assertion

Ref	Expression
prdssca	|- ( ph -> S = (Scalar ` P ) )

Proof of Theorem prdssca

Dummy variables a c d e f g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbas.p	. . 3 |- P = ( S X_s R )
2		prdsbas.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
3		prdsbas.r	. . 3 |- ( ph -> R e. W )
4		eqid 2238	. . 3 |- (Scalar ` P ) = (Scalar ` P )
5		scaid 13508	. . 3 |- Scalar = Slot (Scalar ` ndx )
6		scaslid 13509	. . . 4 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
7	6	simpri 113	. . 3 |- (Scalar ` ndx ) e. NN
8		snsstp1 3865	. . . . . 6 |- { <. (Scalar ` ndx ) , S >. } C_ { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. }
9		ssun2 3393	. . . . . 6 |- { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
10	8, 9	sstri 3257	. . . . 5 |- { <. (Scalar ` ndx ) , S >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
11		ssun1 3392	. . . . 5 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
12	10, 11	sstri 3257	. . . 4 |- { <. (Scalar ` ndx ) , S >. } C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
13		eqid 2238	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
14		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ph -> dom R = dom R )
15		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ph -> X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) = X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) )
16		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
17		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
18		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ph -> ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
19		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) )
20		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
21		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } )
22		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) )
23		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
24		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ph -> ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) = ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) )
25	1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 2, 3	prdsval 14175	. . . 4 |- ( ph -> P = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
26	12, 25	sseqtrrid 3299	. . 3 |- ( ph -> { <. (Scalar ` ndx ) , S >. } C_ P )
27	1, 2, 3, 4, 5, 7, 2, 26	prdsbaslemss 14176	. 2 |- ( ph -> (Scalar ` P ) = S )
28	27	eqcomd 2244	1 |- ( ph -> S = (Scalar ` P ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3709   {cpr 3710   {ctp 3711   <.cop 3712   class class class wbr 4130   {copab 4191   |-> cmpt 4192   X. cxp 4772   dom cdm 4774   ran crn 4775   o. ccom 4778   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087   1stc1st 6372   2ndc2nd 6373   X_cixp 6980   supcsup 7322   0cc0 8179   RR*cxr 8359   < clt 8360   NNcn 9305   ndxcnx 13351  Slot cslot 13353   Basecbs 13354   +g cplusg 13433   .rcmulr 13434  Scalarcsca 13436   .scvsca 13437   .icip 13438  TopSetcts 13439   lecple 13440   distcds 13442   Hom chom 13444  compcco 13445   TopOpenctopn 13596   Xt_cpt 13611   gsum_g cgsu 14152   X__scprds 14171

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-ixp 6981  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-fz 10414  df-struct 13356  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-ip 13451  df-tset 13452  df-ple 13453  df-ds 13455  df-hom 13457  df-cco 13458  df-rest 13597  df-topn 13598  df-topgen 13616  df-pt 13617  df-prds 14172

This theorem is used by: (None)