Theorem prdsbaslemss 13380

Description: Lemma for prdsbas 13382 and similar theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbaslemss.p	|- P = ( S X_s R )
prdsbaslemss.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbaslemss.r	|- ( ph -> R e. W )
prdsbaslem.1	|- A = ( E ` P )
prdsbaslem.2	|- E = Slot ( E ` ndx )
prdsbaslemss.e	|- ( E ` ndx ) e. NN
prdsbaslem.3	|- ( ph -> T e. X )
prdsbaslemss.ss	|- ( ph -> { <. ( E ` ndx ) , T >. } C_ P )

Assertion

Ref	Expression
prdsbaslemss	|- ( ph -> A = T )

Proof of Theorem prdsbaslemss

Dummy variables a c d e f g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2231	. 2 |- ( ph -> P = P )
2		prdsbaslemss.p	. . . 4 |- P = ( S X_s R )
3		eqid 2230	. . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
4		eqidd 2231	. . . 4 |- ( ph -> dom R = dom R )
5		eqidd 2231	. . . 4 |- ( ph -> X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) = X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) )
6		eqidd 2231	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
7		eqidd 2231	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
8		eqidd 2231	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
9		eqidd 2231	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) )
10		eqidd 2231	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
11		eqidd 2231	. . . 4 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } )
12		eqidd 2231	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) )
13		eqidd 2231	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
14		eqidd 2231	. . . 4 |- ( ph -> ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) = ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) )
15		prdsbaslemss.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. V )
16		prdsbaslemss.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. W )
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	prdsval 13379	. . 3 |- ( ph -> P = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
18		dmexg 4998	. . . . . 6 |- ( R e. W -> dom R e. _V )
19	16, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> dom R e. _V )
20		basfn 13164	. . . . . . 7 |- Base Fn _V
21		vex 2804	. . . . . . . 8 |- x e. _V
22		fvexg 5661	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. W /\ x e. _V ) -> ( R ` x ) e. _V )
23	16, 21, 22	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( R ` x ) e. _V )
24		funfvex 5659	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ ( R ` x ) e. dom Base ) -> ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
25	24	funfni 5434	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ ( R ` x ) e. _V ) -> ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
26	20, 23, 25	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
27	26	ralrimivw 2605	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
28		ixpexgg 6896	. . . . 5 |- ( ( dom R e. _V /\ A. x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
29	19, 27, 28	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
30		mpoexga 6382	. . . . 5 |- ( ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V /\ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
31	29, 29, 30	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
32		mpoexga 6382	. . . . 5 |- ( ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V /\ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
33	29, 29, 32	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
34	15	elexd 2815	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. _V )
35		funfvex 5659	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
36	35	funfni 5434	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
37	20, 34, 36	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` S ) e. _V )
38		mpoexga 6382	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` S ) e. _V /\ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
39	37, 29, 38	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
40		mpoexga 6382	. . . . 5 |- ( ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V /\ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) e. _V )
41	29, 29, 40	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) e. _V )
42		topnfn 13350	. . . . . . 7 |- TopOpen Fn _V
43		fnfun 5429	. . . . . . 7 |- ( TopOpen Fn _V -> Fun TopOpen )
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun TopOpen
45		cofunexg 6276	. . . . . 6 |- ( ( Fun TopOpen /\ R e. W ) -> ( TopOpen o. R ) e. _V )
46	44, 16, 45	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> ( TopOpen o. R ) e. _V )
47		ptex 13370	. . . . 5 |- ( ( TopOpen o. R ) e. _V -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) e. _V )
48	46, 47	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) e. _V )
49		vex 2804	. . . . . . . 8 |- f e. _V
50		vex 2804	. . . . . . . 8 |- g e. _V
51	49, 50	prss 3830	. . . . . . 7 |- ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) <-> { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) )
52	51	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) <-> ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) )
53	52	opabbii 4157	. . . . 5 |- { <. f , g >. | ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) }
54		xpexg 4842	. . . . . . 7 |- ( ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V /\ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) e. _V )
55	29, 29, 54	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) e. _V )
56		opabssxp 4802	. . . . . . 7 |- { <. f , g >. | ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } C_ ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) )
57	56	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } C_ ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) )
58	55, 57	ssexd 4230	. . . . 5 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } e. _V )
59	53, 58	eqeltrrid 2318	. . . 4 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } e. _V )
60		mpoexga 6382	. . . . 5 |- ( ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V /\ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) e. _V )
61	29, 29, 60	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) e. _V )
62		mpoexga 6382	. . . . 5 |- ( ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V /\ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. _V )
63	29, 29, 62	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. _V )
64		mpoexga 6382	. . . . 5 |- ( ( ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) e. _V /\ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) e. _V )
65	55, 29, 64	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) e. _V )
66	29, 31, 33, 15, 39, 41, 48, 59, 61, 63, 65	prdsvalstrd 13377	. . 3 |- ( ph -> ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) Struct <. 1 , ; 1 5 >. )
67	17, 66	eqbrtrd 4111	. 2 |- ( ph -> P Struct <. 1 , ; 1 5 >. )
68		prdsbaslem.2	. . 3 |- E = Slot ( E ` ndx )
69		prdsbaslemss.e	. . 3 |- ( E ` ndx ) e. NN
70	68, 69	ndxslid 13130	. 2 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
71		prdsbaslemss.ss	. 2 |- ( ph -> { <. ( E ` ndx ) , T >. } C_ P )
72		prdsbaslem.3	. 2 |- ( ph -> T e. X )
73		prdsbaslem.1	. 2 |- A = ( E ` P )
74	1, 67, 70, 71, 72, 73	strslfv3 13151	1 |- ( ph -> A = T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2201   A.wral 2509   _Vcvv 2801   u. cun 3197   C_ wss 3199   {csn 3670   {cpr 3671   {ctp 3672   <.cop 3673   class class class wbr 4089   {copab 4150   |-> cmpt 4151   X. cxp 4725   dom cdm 4727   ran crn 4728   o. ccom 4731   Fun wfun 5322   Fn wfn 5323   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   e. cmpo 6025   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307   X_cixp 6872   supcsup 7186   0cc0 8037   1c1 8038   RR*cxr 8218   < clt 8219   NNcn 9148   5c5 9202  ;cdc 9616   Struct cstr 13101   ndxcnx 13102  Slot cslot 13104   Basecbs 13105   +g cplusg 13183   .rcmulr 13184  Scalarcsca 13186   .scvsca 13187   .icip 13188  TopSetcts 13189   lecple 13190   distcds 13192   Hom chom 13194  compcco 13195   TopOpenctopn 13346   Xt_cpt 13361   gsum_g cgsu 13363   X__scprds 13371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6824  df-ixp 6873  df-sup 7188  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-fz 10249  df-struct 13107  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-ip 13201  df-tset 13202  df-ple 13203  df-ds 13205  df-hom 13207  df-cco 13208  df-rest 13347  df-topn 13348  df-topgen 13366  df-pt 13367  df-prds 13373

This theorem is referenced by:  prdssca  13381  prdsbas  13382  prdsplusg  13383  prdsmulr  13384