Theorem prdsbaslemss 13273

Description: Lemma for prdsbas 13275 and similar theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbaslemss.p	|- P = ( S X_s R )
prdsbaslemss.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbaslemss.r	|- ( ph -> R e. W )
prdsbaslem.1	|- A = ( E ` P )
prdsbaslem.2	|- E = Slot ( E ` ndx )
prdsbaslemss.e	|- ( E ` ndx ) e. NN
prdsbaslem.3	|- ( ph -> T e. X )
prdsbaslemss.ss	|- ( ph -> { <. ( E ` ndx ) , T >. } C_ P )

Assertion

Ref	Expression
prdsbaslemss	|- ( ph -> A = T )

Proof of Theorem prdsbaslemss

Dummy variables a c d e f g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2210	. 2 |- ( ph -> P = P )
2		prdsbaslemss.p	. . . 4 |- P = ( S X_s R )
3		eqid 2209	. . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
4		eqidd 2210	. . . 4 |- ( ph -> dom R = dom R )
5		eqidd 2210	. . . 4 |- ( ph -> X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) = X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) )
6		eqidd 2210	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
7		eqidd 2210	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
8		eqidd 2210	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
9		eqidd 2210	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) )
10		eqidd 2210	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
11		eqidd 2210	. . . 4 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } )
12		eqidd 2210	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) )
13		eqidd 2210	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
14		eqidd 2210	. . . 4 |- ( ph -> ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) = ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) )
15		prdsbaslemss.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. V )
16		prdsbaslemss.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. W )
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	prdsval 13272	. . 3 |- ( ph -> P = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
18		dmexg 4964	. . . . . 6 |- ( R e. W -> dom R e. _V )
19	16, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> dom R e. _V )
20		basfn 13057	. . . . . . 7 |- Base Fn _V
21		vex 2782	. . . . . . . 8 |- x e. _V
22		fvexg 5622	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. W /\ x e. _V ) -> ( R ` x ) e. _V )
23	16, 21, 22	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( R ` x ) e. _V )
24		funfvex 5620	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ ( R ` x ) e. dom Base ) -> ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
25	24	funfni 5399	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ ( R ` x ) e. _V ) -> ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
26	20, 23, 25	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
27	26	ralrimivw 2584	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
28		ixpexgg 6839	. . . . 5 |- ( ( dom R e. _V /\ A. x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
29	19, 27, 28	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
30		mpoexga 6328	. . . . 5 |- ( ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V /\ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
31	29, 29, 30	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
32		mpoexga 6328	. . . . 5 |- ( ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V /\ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
33	29, 29, 32	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
34	15	elexd 2793	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. _V )
35		funfvex 5620	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
36	35	funfni 5399	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
37	20, 34, 36	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` S ) e. _V )
38		mpoexga 6328	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` S ) e. _V /\ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
39	37, 29, 38	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
40		mpoexga 6328	. . . . 5 |- ( ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V /\ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) e. _V )
41	29, 29, 40	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) e. _V )
42		topnfn 13243	. . . . . . 7 |- TopOpen Fn _V
43		fnfun 5394	. . . . . . 7 |- ( TopOpen Fn _V -> Fun TopOpen )
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun TopOpen
45		cofunexg 6224	. . . . . 6 |- ( ( Fun TopOpen /\ R e. W ) -> ( TopOpen o. R ) e. _V )
46	44, 16, 45	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> ( TopOpen o. R ) e. _V )
47		ptex 13263	. . . . 5 |- ( ( TopOpen o. R ) e. _V -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) e. _V )
48	46, 47	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) e. _V )
49		vex 2782	. . . . . . . 8 |- f e. _V
50		vex 2782	. . . . . . . 8 |- g e. _V
51	49, 50	prss 3803	. . . . . . 7 |- ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) <-> { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) )
52	51	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) <-> ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) )
53	52	opabbii 4130	. . . . 5 |- { <. f , g >. | ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) }
54		xpexg 4810	. . . . . . 7 |- ( ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V /\ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) e. _V )
55	29, 29, 54	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) e. _V )
56		opabssxp 4770	. . . . . . 7 |- { <. f , g >. | ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } C_ ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) )
57	56	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } C_ ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) )
58	55, 57	ssexd 4203	. . . . 5 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } e. _V )
59	53, 58	eqeltrrid 2297	. . . 4 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } e. _V )
60		mpoexga 6328	. . . . 5 |- ( ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V /\ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) e. _V )
61	29, 29, 60	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) e. _V )
62		mpoexga 6328	. . . . 5 |- ( ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V /\ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. _V )
63	29, 29, 62	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. _V )
64		mpoexga 6328	. . . . 5 |- ( ( ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) e. _V /\ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) e. _V )
65	55, 29, 64	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) e. _V )
66	29, 31, 33, 15, 39, 41, 48, 59, 61, 63, 65	prdsvalstrd 13270	. . 3 |- ( ph -> ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. dom R |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. dom R ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. dom R |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. dom R ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. dom R ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. dom R |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) Struct <. 1 , ; 1 5 >. )
67	17, 66	eqbrtrd 4084	. 2 |- ( ph -> P Struct <. 1 , ; 1 5 >. )
68		prdsbaslem.2	. . 3 |- E = Slot ( E ` ndx )
69		prdsbaslemss.e	. . 3 |- ( E ` ndx ) e. NN
70	68, 69	ndxslid 13023	. 2 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
71		prdsbaslemss.ss	. 2 |- ( ph -> { <. ( E ` ndx ) , T >. } C_ P )
72		prdsbaslem.3	. 2 |- ( ph -> T e. X )
73		prdsbaslem.1	. 2 |- A = ( E ` P )
74	1, 67, 70, 71, 72, 73	strslfv3 13044	1 |- ( ph -> A = T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1375   e. wcel 2180   A.wral 2488   _Vcvv 2779   u. cun 3175   C_ wss 3177   {csn 3646   {cpr 3647   {ctp 3648   <.cop 3649   class class class wbr 4062   {copab 4123   |-> cmpt 4124   X. cxp 4694   dom cdm 4696   ran crn 4697   o. ccom 4700   Fun wfun 5288   Fn wfn 5289   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   e. cmpo 5976   1stc1st 6254   2ndc2nd 6255   X_cixp 6815   supcsup 7117   0cc0 7967   1c1 7968   RR*cxr 8148   < clt 8149   NNcn 9078   5c5 9132  ;cdc 9546   Struct cstr 12994   ndxcnx 12995  Slot cslot 12997   Basecbs 12998   +g cplusg 13076   .rcmulr 13077  Scalarcsca 13079   .scvsca 13080   .icip 13081  TopSetcts 13082   lecple 13083   distcds 13085   Hom chom 13087  compcco 13088   TopOpenctopn 13239   Xt_cpt 13254   gsum_g cgsu 13256   X__scprds 13264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-map 6767  df-ixp 6816  df-sup 7119  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-fz 10173  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-tset 13095  df-ple 13096  df-ds 13098  df-hom 13100  df-cco 13101  df-rest 13240  df-topn 13241  df-topgen 13259  df-pt 13260  df-prds 13266

This theorem is referenced by:  prdssca  13274  prdsbas  13275  prdsplusg  13276  prdsmulr  13277