Theorem prdsbas 13317

Description: Base set of a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Revised by Zhi Wang, 18-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbas.p	|- P = ( S X_s R )
prdsbas.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbas.r	|- ( ph -> R e. W )
prdsbas.b	|- B = ( Base ` P )
prdsbas.i	|- ( ph -> dom R = I )

Assertion

Ref	Expression
prdsbas	|- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   ph, x   x, I   x, P   x, R   x, S

Allowed substitution hints:   V( x)   W( x)

Proof of Theorem prdsbas

Dummy variables a c d e f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbas.p	. 2 |- P = ( S X_s R )
2		prdsbas.s	. 2 |- ( ph -> S e. V )
3		prdsbas.r	. 2 |- ( ph -> R e. W )
4		prdsbas.b	. 2 |- B = ( Base ` P )
5		baseid 13094	. 2 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
6		basendxnn 13096	. 2 |- ( Base ` ndx ) e. NN
7		prdsbas.i	. . . 4 |- ( ph -> dom R = I )
8		dmexg 4988	. . . . 5 |- ( R e. W -> dom R e. _V )
9	3, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom R e. _V )
10	7, 9	eqeltrrd 2307	. . 3 |- ( ph -> I e. _V )
11		basfn 13099	. . . . 5 |- Base Fn _V
12		vex 2802	. . . . . 6 |- x e. _V
13		fvexg 5648	. . . . . 6 |- ( ( R e. W /\ x e. _V ) -> ( R ` x ) e. _V )
14	3, 12, 13	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ph -> ( R ` x ) e. _V )
15		funfvex 5646	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ ( R ` x ) e. dom Base ) -> ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
16	15	funfni 5423	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ ( R ` x ) e. _V ) -> ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
17	11, 14, 16	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
18	17	ralrimivw 2604	. . 3 |- ( ph -> A. x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
19		ixpexgg 6877	. . 3 |- ( ( I e. _V /\ A. x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V ) -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
20	10, 18, 19	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
21		snsstp1 3818	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. }
22		ssun1 3367	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
23	21, 22	sstri 3233	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
24		ssun1 3367	. . . 4 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
25	23, 24	sstri 3233	. . 3 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. } C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
26		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
27		eqidd 2230	. . . 4 |- ( ph -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )
28		eqidd 2230	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
29		eqidd 2230	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
30		eqidd 2230	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
31		eqidd 2230	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) )
32		eqidd 2230	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
33		eqidd 2230	. . . 4 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } )
34		eqidd 2230	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) )
35		eqidd 2230	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
36		eqidd 2230	. . . 4 |- ( ph -> ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) = ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) )
37	1, 26, 7, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 2, 3	prdsval 13314	. . 3 |- ( ph -> P = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( ( 2nd ` a ) ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) c ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
38	25, 37	sseqtrrid 3275	. 2 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. } C_ P )
39	1, 2, 3, 4, 5, 6, 20, 38	prdsbaslemss 13315	1 |- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   u. cun 3195   C_ wss 3197   {csn 3666   {cpr 3667   {ctp 3668   <.cop 3669   class class class wbr 4083   {copab 4144   |-> cmpt 4145   X. cxp 4717   dom cdm 4719   ran crn 4720   o. ccom 4723   Fn wfn 5313   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   e. cmpo 6009   1stc1st 6290   2ndc2nd 6291   X_cixp 6853   supcsup 7157   0cc0 8007   RR*cxr 8188   < clt 8189   ndxcnx 13037   Basecbs 13040   +g cplusg 13118   .rcmulr 13119  Scalarcsca 13121   .scvsca 13122   .icip 13123  TopSetcts 13124   lecple 13125   distcds 13127   Hom chom 13129  compcco 13130   TopOpenctopn 13281   Xt_cpt 13296   gsum_g cgsu 13298   X__scprds 13306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805  df-ixp 6854  df-sup 7159  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-fz 10213  df-struct 13042  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-ip 13136  df-tset 13137  df-ple 13138  df-ds 13140  df-hom 13142  df-cco 13143  df-rest 13282  df-topn 13283  df-topgen 13301  df-pt 13302  df-prds 13308

This theorem is referenced by:  prdsplusg  13318  prdsmulr  13319  prdsbas2  13320  pwsbas  13333