Theorem prnmaxl 7518

Description: A lower cut has no largest member. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnmaxl	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ 𝐿 𝐵 <Q 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnmaxl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnql 7511	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)
2		elinp 7504	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑦 ∈ Q ¬ (𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑦 ∈ Q ∀𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐿 ∨ 𝑥 ∈ 𝑈)))))
3		simpr1l 1056	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑦 ∈ Q ¬ (𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑦 ∈ Q ∀𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐿 ∨ 𝑥 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
5		eleq1 2252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ 𝐵 ∈ 𝐿))
6		breq1 4021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ 𝐵 <Q 𝑥))
7	6	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ↔ (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
8	7	rexbidv 2491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
9	5, 8	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))))
10	9	rspcv 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)) → (𝐵 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))))
11		biimp 118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)) → (𝐵 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
12	4, 10, 11	syl56 34	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐵 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))))
13	12	impd 254	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
14	1, 13	mpcom 36	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
15		df-rex 2474	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
16	14, 15	sylib 122	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
17		ltrelnq 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
18	17	brel 4696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 <Q 𝑥 → (𝐵 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
19	18	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 <Q 𝑥 → 𝑥 ∈ Q)
20	19	pm4.71ri 392	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 <Q 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐵 <Q 𝑥))
21	20	anbi1i 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝐵 <Q 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
22		ancom 266	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ↔ (𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 <Q 𝑥))
23		anass 401	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝐵 <Q 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
24	21, 22, 23	3bitr3i 210	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 <Q 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
25	24	exbii 1616	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 <Q 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
26	16, 25	sylibr 134	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 <Q 𝑥))
27		df-rex 2474	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐿 𝐵 <Q 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 <Q 𝑥))
28	26, 27	sylibr 134	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ 𝐿 𝐵 <Q 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  ∃wrex 2469   ⊆ wss 3144  ⟨cop 3610   class class class wbr 4018  Qcnq 7310   <_Q cltq 7315  Pcnp 7321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-qs 6566  df-ni 7334  df-nqqs 7378  df-ltnqqs 7383  df-inp 7496

This theorem is referenced by:  prnmaddl  7520  genprndl  7551  nqprl  7581  1idprl  7620  ltsopr  7626  ltexprlemm  7630  ltexprlemopl  7631  recexprlemloc  7661  recexprlem1ssl  7663  aptiprleml  7669  caucvgprprlemopl  7727  suplocexprlemrl  7747