ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prnmaxl GIF version

Theorem prnmaxl 7518
Description: A lower cut has no largest member. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prnmaxl ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥𝐿 𝐵 <Q 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnmaxl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnql 7511 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → 𝐵Q)
2 elinp 7504 . . . . . . . 8 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑦Q 𝑦𝐿 ∧ ∃𝑥Q 𝑥𝑈)) ∧ ((∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) ∧ ∀𝑥Q (𝑥𝑈 ↔ ∃𝑦Q (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑈))) ∧ ∀𝑦Q ¬ (𝑦𝐿𝑦𝑈) ∧ ∀𝑦Q𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑦𝐿𝑥𝑈)))))
3 simpr1l 1056 . . . . . . . 8 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑦Q 𝑦𝐿 ∧ ∃𝑥Q 𝑥𝑈)) ∧ ((∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) ∧ ∀𝑥Q (𝑥𝑈 ↔ ∃𝑦Q (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑈))) ∧ ∀𝑦Q ¬ (𝑦𝐿𝑦𝑈) ∧ ∀𝑦Q𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑦𝐿𝑥𝑈)))) → ∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
42, 3sylbi 121 . . . . . . 7 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
5 eleq1 2252 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝐿𝐵𝐿))
6 breq1 4021 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 <Q 𝑥𝐵 <Q 𝑥))
76anbi1d 465 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
87rexbidv 2491 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
95, 8bibi12d 235 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) ↔ (𝐵𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))))
109rspcv 2852 . . . . . . 7 (𝐵Q → (∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) → (𝐵𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))))
11 biimp 118 . . . . . . 7 ((𝐵𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)) → (𝐵𝐿 → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
124, 10, 11syl56 34 . . . . . 6 (𝐵Q → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐵𝐿 → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))))
1312impd 254 . . . . 5 (𝐵Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
141, 13mpcom 36 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))
15 df-rex 2474 . . . 4 (∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
1614, 15sylib 122 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
17 ltrelnq 7395 . . . . . . . . 9 <Q ⊆ (Q × Q)
1817brel 4696 . . . . . . . 8 (𝐵 <Q 𝑥 → (𝐵Q𝑥Q))
1918simprd 114 . . . . . . 7 (𝐵 <Q 𝑥𝑥Q)
2019pm4.71ri 392 . . . . . 6 (𝐵 <Q 𝑥 ↔ (𝑥Q𝐵 <Q 𝑥))
2120anbi1i 458 . . . . 5 ((𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ ((𝑥Q𝐵 <Q 𝑥) ∧ 𝑥𝐿))
22 ancom 266 . . . . 5 ((𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ (𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥))
23 anass 401 . . . . 5 (((𝑥Q𝐵 <Q 𝑥) ∧ 𝑥𝐿) ↔ (𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
2421, 22, 233bitr3i 210 . . . 4 ((𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥) ↔ (𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
2524exbii 1616 . . 3 (∃𝑥(𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
2616, 25sylibr 134 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥(𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥))
27 df-rex 2474 . 2 (∃𝑥𝐿 𝐵 <Q 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥))
2826, 27sylibr 134 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥𝐿 𝐵 <Q 𝑥)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  w3a 980   = wceq 1364  wex 1503  wcel 2160  wral 2468  wrex 2469  wss 3144  cop 3610   class class class wbr 4018  Qcnq 7310   <Q cltq 7315  Pcnp 7321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-qs 6566  df-ni 7334  df-nqqs 7378  df-ltnqqs 7383  df-inp 7496
This theorem is referenced by:  prnmaddl  7520  genprndl  7551  nqprl  7581  1idprl  7620  ltsopr  7626  ltexprlemm  7630  ltexprlemopl  7631  recexprlemloc  7661  recexprlem1ssl  7663  aptiprleml  7669  caucvgprprlemopl  7727  suplocexprlemrl  7747
  Copyright terms: Public domain W3C validator