ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prnmaxl GIF version

Theorem prnmaxl 7443
Description: A lower cut has no largest member. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prnmaxl ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥𝐿 𝐵 <Q 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnmaxl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnql 7436 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → 𝐵Q)
2 elinp 7429 . . . . . . . 8 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑦Q 𝑦𝐿 ∧ ∃𝑥Q 𝑥𝑈)) ∧ ((∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) ∧ ∀𝑥Q (𝑥𝑈 ↔ ∃𝑦Q (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑈))) ∧ ∀𝑦Q ¬ (𝑦𝐿𝑦𝑈) ∧ ∀𝑦Q𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑦𝐿𝑥𝑈)))))
3 simpr1l 1049 . . . . . . . 8 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑦Q 𝑦𝐿 ∧ ∃𝑥Q 𝑥𝑈)) ∧ ((∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) ∧ ∀𝑥Q (𝑥𝑈 ↔ ∃𝑦Q (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑈))) ∧ ∀𝑦Q ¬ (𝑦𝐿𝑦𝑈) ∧ ∀𝑦Q𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑦𝐿𝑥𝑈)))) → ∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
42, 3sylbi 120 . . . . . . 7 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
5 eleq1 2233 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝐿𝐵𝐿))
6 breq1 3990 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 <Q 𝑥𝐵 <Q 𝑥))
76anbi1d 462 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
87rexbidv 2471 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
95, 8bibi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) ↔ (𝐵𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))))
109rspcv 2830 . . . . . . 7 (𝐵Q → (∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) → (𝐵𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))))
11 biimp 117 . . . . . . 7 ((𝐵𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)) → (𝐵𝐿 → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
124, 10, 11syl56 34 . . . . . 6 (𝐵Q → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐵𝐿 → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))))
1312impd 252 . . . . 5 (𝐵Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
141, 13mpcom 36 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))
15 df-rex 2454 . . . 4 (∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
1614, 15sylib 121 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
17 ltrelnq 7320 . . . . . . . . 9 <Q ⊆ (Q × Q)
1817brel 4661 . . . . . . . 8 (𝐵 <Q 𝑥 → (𝐵Q𝑥Q))
1918simprd 113 . . . . . . 7 (𝐵 <Q 𝑥𝑥Q)
2019pm4.71ri 390 . . . . . 6 (𝐵 <Q 𝑥 ↔ (𝑥Q𝐵 <Q 𝑥))
2120anbi1i 455 . . . . 5 ((𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ ((𝑥Q𝐵 <Q 𝑥) ∧ 𝑥𝐿))
22 ancom 264 . . . . 5 ((𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ (𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥))
23 anass 399 . . . . 5 (((𝑥Q𝐵 <Q 𝑥) ∧ 𝑥𝐿) ↔ (𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
2421, 22, 233bitr3i 209 . . . 4 ((𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥) ↔ (𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
2524exbii 1598 . . 3 (∃𝑥(𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
2616, 25sylibr 133 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥(𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥))
27 df-rex 2454 . 2 (∃𝑥𝐿 𝐵 <Q 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥))
2826, 27sylibr 133 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥𝐿 𝐵 <Q 𝑥)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 703  w3a 973   = wceq 1348  wex 1485  wcel 2141  wral 2448  wrex 2449  wss 3121  cop 3584   class class class wbr 3987  Qcnq 7235   <Q cltq 7240  Pcnp 7246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-qs 6517  df-ni 7259  df-nqqs 7303  df-ltnqqs 7308  df-inp 7421
This theorem is referenced by:  prnmaddl  7445  genprndl  7476  nqprl  7506  1idprl  7545  ltsopr  7551  ltexprlemm  7555  ltexprlemopl  7556  recexprlemloc  7586  recexprlem1ssl  7588  aptiprleml  7594  caucvgprprlemopl  7652  suplocexprlemrl  7672
  Copyright terms: Public domain W3C validator