ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prnmaxl GIF version

Theorem prnmaxl 6950
Description: A lower cut has no largest member. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prnmaxl ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥𝐿 𝐵 <Q 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnmaxl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnql 6943 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → 𝐵Q)
2 elinp 6936 . . . . . . . 8 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑦Q 𝑦𝐿 ∧ ∃𝑥Q 𝑥𝑈)) ∧ ((∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) ∧ ∀𝑥Q (𝑥𝑈 ↔ ∃𝑦Q (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑈))) ∧ ∀𝑦Q ¬ (𝑦𝐿𝑦𝑈) ∧ ∀𝑦Q𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑦𝐿𝑥𝑈)))))
3 simpr1l 996 . . . . . . . 8 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑦Q 𝑦𝐿 ∧ ∃𝑥Q 𝑥𝑈)) ∧ ((∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) ∧ ∀𝑥Q (𝑥𝑈 ↔ ∃𝑦Q (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑈))) ∧ ∀𝑦Q ¬ (𝑦𝐿𝑦𝑈) ∧ ∀𝑦Q𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑦𝐿𝑥𝑈)))) → ∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
42, 3sylbi 119 . . . . . . 7 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
5 eleq1 2145 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝐿𝐵𝐿))
6 breq1 3814 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 <Q 𝑥𝐵 <Q 𝑥))
76anbi1d 453 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
87rexbidv 2375 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
95, 8bibi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) ↔ (𝐵𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))))
109rspcv 2708 . . . . . . 7 (𝐵Q → (∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) → (𝐵𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))))
11 bi1 116 . . . . . . 7 ((𝐵𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)) → (𝐵𝐿 → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
124, 10, 11syl56 34 . . . . . 6 (𝐵Q → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐵𝐿 → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))))
1312impd 251 . . . . 5 (𝐵Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
141, 13mpcom 36 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))
15 df-rex 2359 . . . 4 (∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
1614, 15sylib 120 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
17 ltrelnq 6827 . . . . . . . . 9 <Q ⊆ (Q × Q)
1817brel 4448 . . . . . . . 8 (𝐵 <Q 𝑥 → (𝐵Q𝑥Q))
1918simprd 112 . . . . . . 7 (𝐵 <Q 𝑥𝑥Q)
2019pm4.71ri 384 . . . . . 6 (𝐵 <Q 𝑥 ↔ (𝑥Q𝐵 <Q 𝑥))
2120anbi1i 446 . . . . 5 ((𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ ((𝑥Q𝐵 <Q 𝑥) ∧ 𝑥𝐿))
22 ancom 262 . . . . 5 ((𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ (𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥))
23 anass 393 . . . . 5 (((𝑥Q𝐵 <Q 𝑥) ∧ 𝑥𝐿) ↔ (𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
2421, 22, 233bitr3i 208 . . . 4 ((𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥) ↔ (𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
2524exbii 1537 . . 3 (∃𝑥(𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
2616, 25sylibr 132 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥(𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥))
27 df-rex 2359 . 2 (∃𝑥𝐿 𝐵 <Q 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥))
2826, 27sylibr 132 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥𝐿 𝐵 <Q 𝑥)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3a 920   = wceq 1285  wex 1422  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  wss 2984  cop 3425   class class class wbr 3811  Qcnq 6742   <Q cltq 6747  Pcnp 6753
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-qs 6228  df-ni 6766  df-nqqs 6810  df-ltnqqs 6815  df-inp 6928
This theorem is referenced by:  prnmaddl  6952  genprndl  6983  nqprl  7013  1idprl  7052  ltsopr  7058  ltexprlemm  7062  ltexprlemopl  7063  recexprlemloc  7093  recexprlem1ssl  7095  aptiprleml  7101  caucvgprprlemopl  7159
  Copyright terms: Public domain W3C validator