Theorem prnmaxl 7808

Description: A lower cut has no largest member. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnmaxl	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ 𝐿 𝐵 <Q 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnmaxl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnql 7801	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)
2		elinp 7794	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑦 ∈ Q ¬ (𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑦 ∈ Q ∀𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐿 ∨ 𝑥 ∈ 𝑈)))))
3		simpr1l 1081	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑦 ∈ Q ¬ (𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑦 ∈ Q ∀𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐿 ∨ 𝑥 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
5		eleq1 2297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ 𝐵 ∈ 𝐿))
6		breq1 4114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ 𝐵 <Q 𝑥))
7	6	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ↔ (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
8	7	rexbidv 2545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
9	5, 8	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))))
10	9	rspcv 2919	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)) → (𝐵 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))))
11		biimp 118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)) → (𝐵 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
12	4, 10, 11	syl56 34	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐵 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))))
13	12	impd 254	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
14	1, 13	mpcom 36	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
15		df-rex 2528	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
16	14, 15	sylib 122	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
17		ltrelnq 7685	. . . . . . . . 9 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
18	17	brel 4804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 <Q 𝑥 → (𝐵 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
19	18	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 <Q 𝑥 → 𝑥 ∈ Q)
20	19	pm4.71ri 392	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 <Q 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐵 <Q 𝑥))
21	20	anbi1i 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝐵 <Q 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
22		ancom 266	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ↔ (𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 <Q 𝑥))
23		anass 401	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝐵 <Q 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
24	21, 22, 23	3bitr3i 210	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 <Q 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
25	24	exbii 1654	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 <Q 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
26	16, 25	sylibr 134	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 <Q 𝑥))
27		df-rex 2528	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐿 𝐵 <Q 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 <Q 𝑥))
28	26, 27	sylibr 134	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ 𝐿 𝐵 <Q 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ⊆ wss 3213  ⟨cop 3694   class class class wbr 4111  Qcnq 7600   <_Q cltq 7605  Pcnp 7611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-qs 6775  df-ni 7624  df-nqqs 7668  df-ltnqqs 7673  df-inp 7786

This theorem is referenced by:  prnmaddl  7810  genprndl  7841  nqprl  7871  1idprl  7910  ltsopr  7916  ltexprlemm  7920  ltexprlemopl  7921  recexprlemloc  7951  recexprlem1ssl  7953  aptiprleml  7959  caucvgprprlemopl  8017  suplocexprlemrl  8037