Theorem prnmaxl 7608

Description: A lower cut has no largest member. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnmaxl	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ 𝐿 𝐵 <Q 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnmaxl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnql 7601	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)
2		elinp 7594	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑦 ∈ Q ¬ (𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑦 ∈ Q ∀𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐿 ∨ 𝑥 ∈ 𝑈)))))
3		simpr1l 1057	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑦 ∈ Q ¬ (𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑦 ∈ Q ∀𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐿 ∨ 𝑥 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
4	2, 3	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
5		eleq1 2269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ 𝐵 ∈ 𝐿))
6		breq1 4050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ 𝐵 <Q 𝑥))
7	6	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ↔ (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
8	7	rexbidv 2508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
9	5, 8	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))))
10	9	rspcv 2874	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)) → (𝐵 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))))
11		biimp 118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)) → (𝐵 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
12	4, 10, 11	syl56 34	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐵 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))))
13	12	impd 254	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
14	1, 13	mpcom 36	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
15		df-rex 2491	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
16	14, 15	sylib 122	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
17		ltrelnq 7485	. . . . . . . . 9 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
18	17	brel 4731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 <Q 𝑥 → (𝐵 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
19	18	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 <Q 𝑥 → 𝑥 ∈ Q)
20	19	pm4.71ri 392	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 <Q 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐵 <Q 𝑥))
21	20	anbi1i 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝐵 <Q 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
22		ancom 266	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ↔ (𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 <Q 𝑥))
23		anass 401	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝐵 <Q 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
24	21, 22, 23	3bitr3i 210	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 <Q 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
25	24	exbii 1629	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 <Q 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)))
26	16, 25	sylibr 134	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 <Q 𝑥))
27		df-rex 2491	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐿 𝐵 <Q 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝐵 <Q 𝑥))
28	26, 27	sylibr 134	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ 𝐿 𝐵 <Q 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   ∧ w3a 981   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∃wrex 2486   ⊆ wss 3167  ⟨cop 3637   class class class wbr 4047  Qcnq 7400   <_Q cltq 7405  Pcnp 7411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-qs 6633  df-ni 7424  df-nqqs 7468  df-ltnqqs 7473  df-inp 7586

This theorem is referenced by:  prnmaddl  7610  genprndl  7641  nqprl  7671  1idprl  7710  ltsopr  7716  ltexprlemm  7720  ltexprlemopl  7721  recexprlemloc  7751  recexprlem1ssl  7753  aptiprleml  7759  caucvgprprlemopl  7817  suplocexprlemrl  7837