ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prnmaxl GIF version

Theorem prnmaxl 7197
Description: A lower cut has no largest member. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prnmaxl ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥𝐿 𝐵 <Q 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnmaxl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnql 7190 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → 𝐵Q)
2 elinp 7183 . . . . . . . 8 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑦Q 𝑦𝐿 ∧ ∃𝑥Q 𝑥𝑈)) ∧ ((∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) ∧ ∀𝑥Q (𝑥𝑈 ↔ ∃𝑦Q (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑈))) ∧ ∀𝑦Q ¬ (𝑦𝐿𝑦𝑈) ∧ ∀𝑦Q𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑦𝐿𝑥𝑈)))))
3 simpr1l 1006 . . . . . . . 8 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑦Q 𝑦𝐿 ∧ ∃𝑥Q 𝑥𝑈)) ∧ ((∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) ∧ ∀𝑥Q (𝑥𝑈 ↔ ∃𝑦Q (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑈))) ∧ ∀𝑦Q ¬ (𝑦𝐿𝑦𝑈) ∧ ∀𝑦Q𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑦𝐿𝑥𝑈)))) → ∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
42, 3sylbi 120 . . . . . . 7 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
5 eleq1 2162 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝐿𝐵𝐿))
6 breq1 3878 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 <Q 𝑥𝐵 <Q 𝑥))
76anbi1d 456 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
87rexbidv 2397 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
95, 8bibi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) ↔ (𝐵𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))))
109rspcv 2740 . . . . . . 7 (𝐵Q → (∀𝑦Q (𝑦𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝑦 <Q 𝑥𝑥𝐿)) → (𝐵𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))))
11 bi1 117 . . . . . . 7 ((𝐵𝐿 ↔ ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)) → (𝐵𝐿 → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
124, 10, 11syl56 34 . . . . . 6 (𝐵Q → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐵𝐿 → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))))
1312impd 252 . . . . 5 (𝐵Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
141, 13mpcom 36 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿))
15 df-rex 2381 . . . 4 (∃𝑥Q (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
1614, 15sylib 121 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
17 ltrelnq 7074 . . . . . . . . 9 <Q ⊆ (Q × Q)
1817brel 4529 . . . . . . . 8 (𝐵 <Q 𝑥 → (𝐵Q𝑥Q))
1918simprd 113 . . . . . . 7 (𝐵 <Q 𝑥𝑥Q)
2019pm4.71ri 387 . . . . . 6 (𝐵 <Q 𝑥 ↔ (𝑥Q𝐵 <Q 𝑥))
2120anbi1i 449 . . . . 5 ((𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ ((𝑥Q𝐵 <Q 𝑥) ∧ 𝑥𝐿))
22 ancom 264 . . . . 5 ((𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿) ↔ (𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥))
23 anass 396 . . . . 5 (((𝑥Q𝐵 <Q 𝑥) ∧ 𝑥𝐿) ↔ (𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
2421, 22, 233bitr3i 209 . . . 4 ((𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥) ↔ (𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
2524exbii 1552 . . 3 (∃𝑥(𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝐵 <Q 𝑥𝑥𝐿)))
2616, 25sylibr 133 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥(𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥))
27 df-rex 2381 . 2 (∃𝑥𝐿 𝐵 <Q 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐿𝐵 <Q 𝑥))
2826, 27sylibr 133 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥𝐿 𝐵 <Q 𝑥)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 670  w3a 930   = wceq 1299  wex 1436  wcel 1448  wral 2375  wrex 2376  wss 3021  cop 3477   class class class wbr 3875  Qcnq 6989   <Q cltq 6994  Pcnp 7000
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-iinf 4440
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-qs 6365  df-ni 7013  df-nqqs 7057  df-ltnqqs 7062  df-inp 7175
This theorem is referenced by:  prnmaddl  7199  genprndl  7230  nqprl  7260  1idprl  7299  ltsopr  7305  ltexprlemm  7309  ltexprlemopl  7310  recexprlemloc  7340  recexprlem1ssl  7342  aptiprleml  7348  caucvgprprlemopl  7406
  Copyright terms: Public domain W3C validator