Theorem prodgt0 8768

Description: Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative multiplier and positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
prodgt0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)

Proof of Theorem prodgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 529	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 8299	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ)
3		simplll 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 8299	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
5		simplr 525	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	lt0neg1d 8434	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
7	6	biimpa 294	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 0 < -𝐵)
8		simprr 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9		simpll 524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	recnd 7948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	5	recnd 7948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	10, 11	mul2negd 8332	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
13	8, 12	breqtrrd 4017	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (-𝐴 · -𝐵))
14	10	negcld 8217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → -𝐴 ∈ ℂ)
15	11	negcld 8217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → -𝐵 ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcomd 7941	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (-𝐴 · -𝐵) = (-𝐵 · -𝐴))
17	13, 16	breqtrd 4015	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (-𝐵 · -𝐴))
18	17	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 0 < (-𝐵 · -𝐴))
19		prodgt0gt0 8767	. . . . . 6 ⊢ (((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 < -𝐵 ∧ 0 < (-𝐵 · -𝐴))) → 0 < -𝐴)
20	2, 4, 7, 18, 19	syl22anc 1234	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 0 < -𝐴)
21	3	lt0neg1d 8434	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
22	20, 21	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 < 0)
23		simplrl 530	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 0 ≤ 𝐴)
24		0red 7921	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
25	24, 3	lenltd 8037	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
26	23, 25	mpbid 146	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → ¬ 𝐴 < 0)
27	22, 26	pm2.65da 656	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → ¬ 𝐵 < 0)
28		0red 7921	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 ∈ ℝ)
29	28, 5	lenltd 8037	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
30	27, 29	mpbird 166	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)
31	9, 5	remulcld 7950	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
32	31, 8	gt0ap0d 8548	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) # 0)
33	10, 11, 32	mulap0bbd 8578	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐵 # 0)
34		0cnd 7913	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 ∈ ℂ)
35		apsym 8525	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐵 # 0 ↔ 0 # 𝐵))
36	11, 34, 35	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (𝐵 # 0 ↔ 0 # 𝐵))
37	33, 36	mpbid 146	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 # 𝐵)
38		ltleap 8551	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 0 # 𝐵)))
39	28, 5, 38	syl2anc 409	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 0 # 𝐵)))
40	30, 37, 39	mpbir2and 939	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774   · cmul 7779   < clt 7954   ≤ cle 7955  -cneg 8091   # cap 8500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590

This theorem is referenced by:  prodgt02  8769  prodgt0i  8824  evennn2n  11842