Theorem prodgt0 8871

Description: Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative multiplier and positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
prodgt0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)

Proof of Theorem prodgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 534	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 8399	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ)
3		simplll 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 8399	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
5		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	lt0neg1d 8534	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
7	6	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 0 < -𝐵)
8		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	recnd 8048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	5	recnd 8048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	10, 11	mul2negd 8432	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
13	8, 12	breqtrrd 4057	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (-𝐴 · -𝐵))
14	10	negcld 8317	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → -𝐴 ∈ ℂ)
15	11	negcld 8317	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → -𝐵 ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcomd 8041	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (-𝐴 · -𝐵) = (-𝐵 · -𝐴))
17	13, 16	breqtrd 4055	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (-𝐵 · -𝐴))
18	17	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 0 < (-𝐵 · -𝐴))
19		prodgt0gt0 8870	. . . . . 6 ⊢ (((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 < -𝐵 ∧ 0 < (-𝐵 · -𝐴))) → 0 < -𝐴)
20	2, 4, 7, 18, 19	syl22anc 1250	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 0 < -𝐴)
21	3	lt0neg1d 8534	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
22	20, 21	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 < 0)
23		simplrl 535	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 0 ≤ 𝐴)
24		0red 8020	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
25	24, 3	lenltd 8137	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
26	23, 25	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → ¬ 𝐴 < 0)
27	22, 26	pm2.65da 662	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → ¬ 𝐵 < 0)
28		0red 8020	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 ∈ ℝ)
29	28, 5	lenltd 8137	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
30	27, 29	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)
31	9, 5	remulcld 8050	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
32	31, 8	gt0ap0d 8648	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) # 0)
33	10, 11, 32	mulap0bbd 8679	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐵 # 0)
34		0cnd 8012	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 ∈ ℂ)
35		apsym 8625	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐵 # 0 ↔ 0 # 𝐵))
36	11, 34, 35	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (𝐵 # 0 ↔ 0 # 𝐵))
37	33, 36	mpbid 147	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 # 𝐵)
38		ltleap 8651	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 0 # 𝐵)))
39	28, 5, 38	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 0 # 𝐵)))
40	30, 37, 39	mpbir2and 946	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872   · cmul 7877   < clt 8054   ≤ cle 8055  -cneg 8191   # cap 8600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692

This theorem is referenced by:  prodgt02  8872  prodgt0i  8927  evennn2n  12024