Theorem prodgt0 8610

Description: Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative multiplier and positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
prodgt0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)

Proof of Theorem prodgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 523	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 8142	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ)
3		simplll 522	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 8142	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
5		simplr 519	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	lt0neg1d 8277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
7	6	biimpa 294	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 0 < -𝐵)
8		simprr 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9		simpll 518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	recnd 7794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	5	recnd 7794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	10, 11	mul2negd 8175	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
13	8, 12	breqtrrd 3956	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (-𝐴 · -𝐵))
14	10	negcld 8060	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → -𝐴 ∈ ℂ)
15	11	negcld 8060	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → -𝐵 ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcomd 7787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (-𝐴 · -𝐵) = (-𝐵 · -𝐴))
17	13, 16	breqtrd 3954	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < (-𝐵 · -𝐴))
18	17	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 0 < (-𝐵 · -𝐴))
19		prodgt0gt0 8609	. . . . . 6 ⊢ (((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 < -𝐵 ∧ 0 < (-𝐵 · -𝐴))) → 0 < -𝐴)
20	2, 4, 7, 18, 19	syl22anc 1217	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 0 < -𝐴)
21	3	lt0neg1d 8277	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
22	20, 21	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 < 0)
23		simplrl 524	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 0 ≤ 𝐴)
24		0red 7767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
25	24, 3	lenltd 7880	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
26	23, 25	mpbid 146	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) ∧ 𝐵 < 0) → ¬ 𝐴 < 0)
27	22, 26	pm2.65da 650	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → ¬ 𝐵 < 0)
28		0red 7767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 ∈ ℝ)
29	28, 5	lenltd 7880	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
30	27, 29	mpbird 166	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)
31	9, 5	remulcld 7796	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
32	31, 8	gt0ap0d 8391	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) # 0)
33	10, 11, 32	mulap0bbd 8421	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 𝐵 # 0)
34		0cnd 7759	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 ∈ ℂ)
35		apsym 8368	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐵 # 0 ↔ 0 # 𝐵))
36	11, 34, 35	syl2anc 408	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (𝐵 # 0 ↔ 0 # 𝐵))
37	33, 36	mpbid 146	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 # 𝐵)
38		ltleap 8394	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 0 # 𝐵)))
39	28, 5, 38	syl2anc 408	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 0 # 𝐵)))
40	30, 37, 39	mpbir2and 928	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620   · cmul 7625   < clt 7800   ≤ cle 7801  -cneg 7934   # cap 8343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433

This theorem is referenced by:  prodgt02  8611  prodgt0i  8666  evennn2n  11580