Theorem psrmulfval 15127

Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulr.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrmulr.b	|- B = ( Base ` S )
psrmulr.m	|- .x. = ( .r ` R )
psrmulr.t	|- .xb = ( .r ` S )
psrmulr.d	|- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
psrmulfval.i	|- ( ph -> F e. B )
psrmulfval.r	|- ( ph -> G e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrmulfval	|- ( ph -> ( F .xb G ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   .x. , k, x   B, k, x   D, k, x, y   k, F, x   k, G, x   h, I, k, x, y   R, k, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   ph( y, h)   B( y, h)   D( h)   R( y, h)   S( x, y, h, k)   .xb ( x, y, h, k)   .x. ( y, h)   F( y, h)   G( y, h)

Proof of Theorem psrmulfval

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulfval.i	. . . 4 |- ( ph -> F e. B )
2		reldmpsr 15101	. . . . 5 |- Rel dom mPwSer
3		fnpsr 15103	. . . . . 6 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
4		fnrel 5479	. . . . . 6 |- ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPwSer )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel mPwSer
6		psrmulr.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
7		psrmulr.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
8	2, 5, 6, 7	relelbasov 13468	. . . 4 |- ( F e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
9	1, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
10		psrmulr.m	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
11		psrmulr.t	. . . 4 |- .xb = ( .r ` S )
12		psrmulr.d	. . . 4 |- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
13	6, 7, 10, 11, 12	psrmulrg 15126	. . 3 |- ( ( I e. _V /\ R e. _V ) -> .xb = ( f e. B , g e. B |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
14	9, 13	syl 14	. 2 |- ( ph -> .xb = ( f e. B , g e. B |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
15		fveq1 5694	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
16		fveq1 5694	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( g ` ( k oF - x ) ) = ( G ` ( k oF - x ) ) )
17	15, 16	oveqan12d 6104	. . . . . 6 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( ( f ` x ) .x. ( g ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( F ` x ) .x. ( G ` ( k oF - x ) ) ) )
18	17	mpteq2dv 4222	. . . . 5 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` ( k oF - x ) ) ) ) )
19	18	oveq2d 6101	. . . 4 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
20	19	mpteq2dv 4222	. . 3 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
21	20	adantl 277	. 2 |- ( ( ph /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) .x. ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
22		psrmulfval.r	. 2 |- ( ph -> G e. B )
23		fnmap 6929	. . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
24		nn0ex 9574	. . . . 5 |- NN0 e. _V
25	9	simpld 112	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
26		fnovex 6118	. . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
27	23, 24, 25, 26	mp3an12i 1382	. . . 4 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
28	12, 27	rabexd 4281	. . 3 |- ( ph -> D e. _V )
29	28	mptexd 5944	. 2 |- ( ph -> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) e. _V )
30	14, 21, 1, 22, 29	ovmpod 6216	1 |- ( ph -> ( F .xb G ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( F ` x ) .x. ( G ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   X. cxp 4772   `'ccnv 4773   "cima 4777   Rel wrel 4779   Fn wfn 5372   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087   oFcof 6300   oRcofr 6301   ^m cmap 6922   Fincfn 7022   <_ cle 8362   - cmin 8499   NNcn 9307   NN0cn0 9568   Basecbs 13404   .rcmulr 13484   gsum_g cgsu 14202   mPwSer cmps 15097

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-ixp 6981  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-struct 13406  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-plusg 13496  df-mulr 13497  df-sca 13499  df-vsca 13500  df-tset 13502  df-rest 13647  df-topn 13648  df-topgen 13666  df-pt 13667  df-psr 15099

This theorem is used by:  psrmulvalfi  15128  psrmulclfilem  15129