Theorem psrmulvalfi 15128

Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulr.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrmulr.b	|- B = ( Base ` S )
psrmulr.m	|- .x. = ( .r ` R )
psrmulr.t	|- .xb = ( .r ` S )
psrmulr.d	|- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
psrmulfval.i	|- ( ph -> F e. B )
psrmulfval.r	|- ( ph -> G e. B )
psrmulval.r	|- ( ph -> X e. D )
psrmulvalfi.fi	|- ( ph -> I e. Fin )
psrmulvalfi.ring	|- ( ph -> R e. Ring )

Assertion

Ref	Expression
psrmulvalfi	|- ( ph -> ( ( F .xb G ) ` X ) = ( R gsumg ( k e. { y e. D | y oR <_ X } |-> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( X oF - k ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   .x. , k   B, k   D, k, y   k, F   k, G   h, I, k, y   R, k   k, X, y   ph, k   h, X

Allowed substitution hints:   ph( y, h)   B( y, h)   D( h)   R( y, h)   S( y, h, k)   .xb ( y, h, k)   .x. ( y, h)   F( y, h)   G( y, h)

Proof of Theorem psrmulvalfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4134	. . . . 5 |- ( x = X -> ( y oR <_ x <-> y oR <_ X ) )
2	1	rabbidv 2810	. . . 4 |- ( x = X -> { y e. D | y oR <_ x } = { y e. D | y oR <_ X } )
3		fvoveq1 6108	. . . . 5 |- ( x = X -> ( G ` ( x oF - k ) ) = ( G ` ( X oF - k ) ) )
4	3	oveq2d 6101	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( x oF - k ) ) ) = ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( X oF - k ) ) ) )
5	2, 4	mpteq12dv 4213	. . 3 |- ( x = X -> ( k e. { y e. D | y oR <_ x } |-> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( x oF - k ) ) ) ) = ( k e. { y e. D | y oR <_ X } |-> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( X oF - k ) ) ) ) )
6	5	oveq2d 6101	. 2 |- ( x = X -> ( R gsumg ( k e. { y e. D | y oR <_ x } |-> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( x oF - k ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. { y e. D | y oR <_ X } |-> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( X oF - k ) ) ) ) ) )
7		psrmulr.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
8		psrmulr.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
9		psrmulr.m	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
10		psrmulr.t	. . 3 |- .xb = ( .r ` S )
11		psrmulr.d	. . 3 |- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
12		psrmulfval.i	. . 3 |- ( ph -> F e. B )
13		psrmulfval.r	. . 3 |- ( ph -> G e. B )
14	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	psrmulfval 15127	. 2 |- ( ph -> ( F .xb G ) = ( x e. D |-> ( R gsumg ( k e. { y e. D | y oR <_ x } |-> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( x oF - k ) ) ) ) ) ) )
15		psrmulval.r	. 2 |- ( ph -> X e. D )
16		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
17		eqid 2238	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
18		psrmulvalfi.ring	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
19	18	ringcmnd 14392	. . 3 |- ( ph -> R e. CMnd )
20		psrmulvalfi.fi	. . . 4 |- ( ph -> I e. Fin )
21	11	psrbaglefifi 15115	. . . 4 |- ( ( X e. D /\ I e. Fin ) -> { y e. D | y oR <_ X } e. Fin )
22	15, 20, 21	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> { y e. D | y oR <_ X } e. Fin )
23	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> R e. Ring )
24	7, 16, 20, 8, 12	psrelbasfi 15120	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
25	24	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> F : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
26		elrabi 2979	. . . . . . . 8 |- ( k e. { y e. D | y oR <_ X } -> k e. D )
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> k e. D )
28	11	psrbagfi 15111	. . . . . . . . 9 |- ( I e. Fin -> D = ( NN0 ^m I ) )
29	20, 28	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D = ( NN0 ^m I ) )
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> D = ( NN0 ^m I ) )
31	27, 30	eleqtrd 2317	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> k e. ( NN0 ^m I ) )
32	25, 31	ffvelcdmd 5844	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> ( F ` k ) e. ( Base ` R ) )
33	7, 16, 20, 8, 13	psrelbasfi 15120	. . . . . . 7 |- ( ph -> G : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
34	33	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> G : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
35		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- { y e. D | y oR <_ X } = { y e. D | y oR <_ X }
36	11, 35	psrbagconcl 15116	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. D /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> ( X oF - k ) e. { y e. D | y oR <_ X } )
37	15, 36	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> ( X oF - k ) e. { y e. D | y oR <_ X } )
38		elrabi 2979	. . . . . . . 8 |- ( ( X oF - k ) e. { y e. D | y oR <_ X } -> ( X oF - k ) e. D )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> ( X oF - k ) e. D )
40	39, 30	eleqtrd 2317	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> ( X oF - k ) e. ( NN0 ^m I ) )
41	34, 40	ffvelcdmd 5844	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> ( G ` ( X oF - k ) ) e. ( Base ` R ) )
42	16, 9, 23, 32, 41	ringcld 14374	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( X oF - k ) ) ) e. ( Base ` R ) )
43	42	fmpttd 5863	. . 3 |- ( ph -> ( k e. { y e. D | y oR <_ X } |-> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( X oF - k ) ) ) ) : { y e. D | y oR <_ X } --> ( Base ` R ) )
44	16, 17, 19, 22, 43	gsumclfi 14211	. 2 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. { y e. D | y oR <_ X } |-> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( X oF - k ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
45	6, 14, 15, 44	fvmptd4 5800	1 |- ( ph -> ( ( F .xb G ) ` X ) = ( R gsumg ( k e. { y e. D | y oR <_ X } |-> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( X oF - k ) ) ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   `'ccnv 4773   "cima 4777   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   oFcof 6300   oRcofr 6301   ^m cmap 6922   Fincfn 7022   <_ cle 8362   - cmin 8499   NNcn 9307   NN0cn0 9568   Basecbs 13404   .rcmulr 13484   0gc0g 13662   gsum_g cgsu 14202   Ringcrg 14352   mPwSer cmps 15097

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-ofr 6303  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-ixp 6981  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7325  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-ihash 11231  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-struct 13406  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-plusg 13496  df-mulr 13497  df-sca 13499  df-vsca 13500  df-tset 13502  df-rest 13647  df-topn 13648  df-0g 13664  df-gzsum 13665  df-topgen 13666  df-pt 13667  df-mgm 13728  df-sgrp 13769  df-mnd 13782  df-grp 13860  df-minusg 13861  df-mulg 13975  df-cmn 14141  df-abl 14142  df-gsumfi 14203  df-mgp 14270  df-ur 14315  df-ring 14354  df-psr 15099

This theorem is used by: (None)