Theorem psrmulvalfi 15188

Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulr.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrmulr.b	|- B = ( Base ` S )
psrmulr.m	|- .x. = ( .r ` R )
psrmulr.t	|- .xb = ( .r ` S )
psrmulr.d	|- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
psrmulfval.i	|- ( ph -> F e. B )
psrmulfval.r	|- ( ph -> G e. B )
psrmulval.r	|- ( ph -> X e. D )
psrmulvalfi.fi	|- ( ph -> I e. Fin )
psrmulvalfi.ring	|- ( ph -> R e. Ring )

Assertion

Ref	Expression
psrmulvalfi	|- ( ph -> ( ( F .xb G ) ` X ) = ( R gsumg ( k e. { y e. D | y oR <_ X } |-> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( X oF - k ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   .x. , k   B, k   D, k, y   k, F   k, G   h, I, k, y   R, k   k, X, y   ph, k   h, X

Allowed substitution hints:   ph( y, h)   B( y, h)   D( h)   R( y, h)   S( y, h, k)   .xb ( y, h, k)   .x. ( y, h)   F( y, h)   G( y, h)

Proof of Theorem psrmulvalfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4135	. . . . 5 |- ( x = X -> ( y oR <_ x <-> y oR <_ X ) )
2	1	rabbidv 2810	. . . 4 |- ( x = X -> { y e. D | y oR <_ x } = { y e. D | y oR <_ X } )
3		fvoveq1 6111	. . . . 5 |- ( x = X -> ( G ` ( x oF - k ) ) = ( G ` ( X oF - k ) ) )
4	3	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( x oF - k ) ) ) = ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( X oF - k ) ) ) )
5	2, 4	mpteq12dv 4214	. . 3 |- ( x = X -> ( k e. { y e. D | y oR <_ x } |-> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( x oF - k ) ) ) ) = ( k e. { y e. D | y oR <_ X } |-> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( X oF - k ) ) ) ) )
6	5	oveq2d 6104	. 2 |- ( x = X -> ( R gsumg ( k e. { y e. D | y oR <_ x } |-> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( x oF - k ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. { y e. D | y oR <_ X } |-> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( X oF - k ) ) ) ) ) )
7		psrmulr.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
8		psrmulr.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
9		psrmulr.m	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
10		psrmulr.t	. . 3 |- .xb = ( .r ` S )
11		psrmulr.d	. . 3 |- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
12		psrmulfval.i	. . 3 |- ( ph -> F e. B )
13		psrmulfval.r	. . 3 |- ( ph -> G e. B )
14	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	psrmulfval 15187	. 2 |- ( ph -> ( F .xb G ) = ( x e. D |-> ( R gsumg ( k e. { y e. D | y oR <_ x } |-> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( x oF - k ) ) ) ) ) ) )
15		psrmulval.r	. 2 |- ( ph -> X e. D )
16		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
17		eqid 2238	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
18		psrmulvalfi.ring	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
19	18	ringcmnd 14447	. . 3 |- ( ph -> R e. CMnd )
20		psrmulvalfi.fi	. . . 4 |- ( ph -> I e. Fin )
21	11	psrbaglefifi 15172	. . . 4 |- ( ( X e. D /\ I e. Fin ) -> { y e. D | y oR <_ X } e. Fin )
22	15, 20, 21	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> { y e. D | y oR <_ X } e. Fin )
23	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> R e. Ring )
24	7, 16, 20, 8, 12	psrelbasfi 15180	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
25	24	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> F : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
26		elrabi 2979	. . . . . . . 8 |- ( k e. { y e. D | y oR <_ X } -> k e. D )
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> k e. D )
28	11	psrbagfi 15168	. . . . . . . . 9 |- ( I e. Fin -> D = ( NN0 ^m I ) )
29	20, 28	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D = ( NN0 ^m I ) )
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> D = ( NN0 ^m I ) )
31	27, 30	eleqtrd 2317	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> k e. ( NN0 ^m I ) )
32	25, 31	ffvelcdmd 5847	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> ( F ` k ) e. ( Base ` R ) )
33	7, 16, 20, 8, 13	psrelbasfi 15180	. . . . . . 7 |- ( ph -> G : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
34	33	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> G : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
35		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- { y e. D | y oR <_ X } = { y e. D | y oR <_ X }
36	11, 35	psrbagconcl 15173	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. D /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> ( X oF - k ) e. { y e. D | y oR <_ X } )
37	15, 36	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> ( X oF - k ) e. { y e. D | y oR <_ X } )
38		elrabi 2979	. . . . . . . 8 |- ( ( X oF - k ) e. { y e. D | y oR <_ X } -> ( X oF - k ) e. D )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> ( X oF - k ) e. D )
40	39, 30	eleqtrd 2317	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> ( X oF - k ) e. ( NN0 ^m I ) )
41	34, 40	ffvelcdmd 5847	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> ( G ` ( X oF - k ) ) e. ( Base ` R ) )
42	16, 9, 23, 32, 41	ringcld 14429	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. { y e. D | y oR <_ X } ) -> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( X oF - k ) ) ) e. ( Base ` R ) )
43	42	fmpttd 5866	. . 3 |- ( ph -> ( k e. { y e. D | y oR <_ X } |-> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( X oF - k ) ) ) ) : { y e. D | y oR <_ X } --> ( Base ` R ) )
44	16, 17, 19, 22, 43	gsumclfi 14249	. 2 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. { y e. D | y oR <_ X } |-> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( X oF - k ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
45	6, 14, 15, 44	fvmptd4 5803	1 |- ( ph -> ( ( F .xb G ) ` X ) = ( R gsumg ( k e. { y e. D | y oR <_ X } |-> ( ( F ` k ) .x. ( G ` ( X oF - k ) ) ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   `'ccnv 4775   "cima 4779   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   oFcof 6303   oRcofr 6304   ^m cmap 6926   Fincfn 7026   <_ cle 8367   - cmin 8504   NNcn 9313   NN0cn0 9574   Basecbs 13410   .rcmulr 13491   0gc0g 13669   gsum_g cgsu 14240   Ringcrg 14407   mPwSer cmps 15154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-ixp 6985  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-tset 13509  df-rest 13654  df-topn 13655  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-gsumfi 14241  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-psr 15156

This theorem is used by:  psrlidmfi  15199  psrridmfi  15200  psrass1fi  15201