Theorem psrmulclfilem 15129

Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulcl.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrmulcl.b	|- B = ( Base ` S )
psrmulcl.t	|- .x. = ( .r ` S )
psrmulcl.r	|- ( ph -> R e. Ring )
psrmulclfi.i	|- ( ph -> I e. Fin )
psrmulcl.x	|- ( ph -> X e. B )
psrmulcl.y	|- ( ph -> Y e. B )
psrmulcl.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrmulclfilem	|- ( ph -> ( X .x. Y ) e. B )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   R( f)   S( f)   .x. ( f)   X( f)   Y( f)

Proof of Theorem psrmulclfilem

Dummy variables x k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulcl.d	. . . . 5 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
2		psrmulcl.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
3		psrmulclfi.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. Fin )
4		psrmulcl.s	. . . . . 6 |- S = ( I mPwSer R )
5		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
6		psrmulcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` S )
7		psrmulcl.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. B )
8	4, 5, 1, 6, 7	psrelbas 15119	. . . . 5 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
9		psrmulcl.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. B )
10	4, 5, 1, 6, 9	psrelbas 15119	. . . . 5 |- ( ph -> Y : D --> ( Base ` R ) )
11	1, 2, 3, 8, 10	rhmpsrfilem2 15125	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
12	11	fmpttd 5863	. . 3 |- ( ph -> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) : D --> ( Base ` R ) )
13		basfn 13463	. . . . 5 |- Base Fn _V
14	2	elexd 2835	. . . . 5 |- ( ph -> R e. _V )
15		funfvex 5712	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
16	15	funfni 5483	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
17	13, 14, 16	sylancr 418	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
18		fnmap 6929	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
19		nn0ex 9574	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
20	3	elexd 2835	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. _V )
21		fnovex 6118	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
22	18, 19, 20, 21	mp3an12i 1382	. . . . 5 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
23	1, 22	rabexd 4281	. . . 4 |- ( ph -> D e. _V )
24	17, 23	elmapd 6936	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) <-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) : D --> ( Base ` R ) ) )
25	12, 24	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) )
26		eqid 2238	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
27		psrmulcl.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` S )
28	4, 6, 26, 27, 1, 7, 9	psrmulfval 15127	. 2 |- ( ph -> ( X .x. Y ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
29	4, 5, 1, 6, 3, 2	psrbasg 15118	. 2 |- ( ph -> B = ( ( Base ` R ) ^m D ) )
30	25, 28, 29	3eltr4d 2322	1 |- ( ph -> ( X .x. Y ) e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   X. cxp 4772   `'ccnv 4773   "cima 4777   Fn wfn 5372   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   oFcof 6300   oRcofr 6301   ^m cmap 6922   Fincfn 7022   <_ cle 8362   - cmin 8499   NNcn 9307   NN0cn0 9568   Basecbs 13404   .rcmulr 13484   gsum_g cgsu 14202   Ringcrg 14352   mPwSer cmps 15097

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-ofr 6303  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-ixp 6981  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7325  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-ihash 11231  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-struct 13406  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-plusg 13496  df-mulr 13497  df-sca 13499  df-vsca 13500  df-tset 13502  df-rest 13647  df-topn 13648  df-0g 13664  df-gzsum 13665  df-topgen 13666  df-pt 13667  df-mgm 13728  df-sgrp 13769  df-mnd 13782  df-grp 13860  df-minusg 13861  df-mulg 13975  df-cmn 14141  df-abl 14142  df-gsumfi 14203  df-mgp 14270  df-ur 14315  df-ring 14354  df-psr 15099

This theorem is used by:  psrmulclfi  15130