Theorem psrneg 15080

Description: The negative function of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psrneg.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrneg.i	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
psrneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrneg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑆)
psrneg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrneg	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrgrp.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		psrgrp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		psrneg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		psrneg.i	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
6		psrneg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		psrneg.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	psrlinv 15077	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑋)(+g‘𝑆)𝑋) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
11		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
12	1, 2, 3, 4, 8, 11	psr0 15079	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
13	10, 12	eqtr4d 2274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑋)(+g‘𝑆)𝑋) = (0g‘𝑆))
14	1, 2, 3	psrgrp 15078	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	psrnegcl 15076	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ 𝐵)
16		psrneg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑆)
17	6, 9, 11, 16	grpinvid2 13860	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋) ↔ ((𝑁 ∘ 𝑋)(+g‘𝑆)𝑋) = (0g‘𝑆)))
18	14, 7, 15, 17	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋) ↔ ((𝑁 ∘ 𝑋)(+g‘𝑆)𝑋) = (0g‘𝑆)))
19	13, 18	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  {csn 3709   × cxp 4772  ^◡ccnv 4773   “ cima 4777   ∘ ccom 4778  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ↑_𝑚 cmap 6922  Fincfn 7022  ℕcn 9305  ℕ₀cn0 9565  Basecbs 13354  +_gcplusg 13433  0_gc0g 13612  Grpcgrp 13807  inv_gcminusg 13808   mPwSer cmps 15047

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-ixp 6981  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-fz 10414  df-struct 13356  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-ip 13451  df-tset 13452  df-ple 13453  df-ds 13455  df-hom 13457  df-cco 13458  df-rest 13597  df-topn 13598  df-0g 13614  df-topgen 13616  df-pt 13617  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-prds 14172  df-pws 14205  df-psr 15049

This theorem is used by:  mplsubgfileminv  15093  mplnegfi  15098