Theorem psrneg 14672

Description: The negative function of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psrneg.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrneg.i	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
psrneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrneg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑆)
psrneg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrneg	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrgrp.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		psrgrp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		psrneg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		psrneg.i	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
6		psrneg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		psrneg.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	psrlinv 14669	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑋)(+g‘𝑆)𝑋) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
11		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
12	1, 2, 3, 4, 8, 11	psr0 14671	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
13	10, 12	eqtr4d 2265	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑋)(+g‘𝑆)𝑋) = (0g‘𝑆))
14	1, 2, 3	psrgrp 14670	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	psrnegcl 14668	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ 𝐵)
16		psrneg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑆)
17	6, 9, 11, 16	grpinvid2 13607	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋) ↔ ((𝑁 ∘ 𝑋)(+g‘𝑆)𝑋) = (0g‘𝑆)))
18	14, 7, 15, 17	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋) ↔ ((𝑁 ∘ 𝑋)(+g‘𝑆)𝑋) = (0g‘𝑆)))
19	13, 18	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512  {csn 3666   × cxp 4718  ^◡ccnv 4719   “ cima 4723   ∘ ccom 4724  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010   ↑_𝑚 cmap 6808  Fincfn 6900  ℕcn 9126  ℕ₀cn0 9385  Basecbs 13053  +_gcplusg 13131  0_gc0g 13310  Grpcgrp 13554  inv_gcminusg 13555   mPwSer cmps 14646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-of 6227  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-map 6810  df-ixp 6859  df-sup 7167  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-dec 9595  df-uz 9739  df-fz 10222  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-ip 13149  df-tset 13150  df-ple 13151  df-ds 13153  df-hom 13155  df-cco 13156  df-rest 13295  df-topn 13296  df-0g 13312  df-topgen 13314  df-pt 13315  df-prds 13321  df-pws 13344  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-grp 13557  df-minusg 13558  df-psr 14648

This theorem is referenced by:  mplsubgfileminv  14685  mplnegfi  14690