Theorem psrnegcl 14520

Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrgrp.i	|- ( ph -> I e. V )
psrgrp.r	|- ( ph -> R e. Grp )
psrnegcl.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrnegcl.i	|- N = ( invg ` R )
psrnegcl.b	|- B = ( Base ` S )
psrnegcl.z	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrnegcl	|- ( ph -> ( N o. X ) e. B )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   R( f)   S( f)   N( f)   V( f)   X( f)

Proof of Theorem psrnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		psrnegcl.i	. . . . . 6 |- N = ( invg ` R )
3		psrgrp.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. Grp )
4	1, 2, 3	grpinvf1o 13477	. . . . 5 |- ( ph -> N : ( Base ` R ) -1-1-onto-> ( Base ` R ) )
5		f1of 5534	. . . . 5 |- ( N : ( Base ` R ) -1-1-onto-> ( Base ` R ) -> N : ( Base ` R ) --> ( Base ` R ) )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> N : ( Base ` R ) --> ( Base ` R ) )
7		psrgrp.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
8		psrnegcl.d	. . . . 5 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
9		psrnegcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
10		psrnegcl.z	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
11	7, 1, 8, 9, 10	psrelbas 14512	. . . 4 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
12		fco 5451	. . . 4 |- ( ( N : ( Base ` R ) --> ( Base ` R ) /\ X : D --> ( Base ` R ) ) -> ( N o. X ) : D --> ( Base ` R ) )
13	6, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N o. X ) : D --> ( Base ` R ) )
14		basfn 12965	. . . . 5 |- Base Fn _V
15	3	elexd 2787	. . . . 5 |- ( ph -> R e. _V )
16		funfvex 5606	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
17	16	funfni 5385	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
18	14, 15, 17	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
19		fnmap 6755	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
20		nn0ex 9321	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
21		psrgrp.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> I e. V )
22	21	elexd 2787	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. _V )
23		fnovex 5990	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
24	19, 20, 22, 23	mp3an12i 1354	. . . . 5 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
25	8, 24	rabexd 4197	. . . 4 |- ( ph -> D e. _V )
26	18, 25	elmapd 6762	. . 3 |- ( ph -> ( ( N o. X ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) <-> ( N o. X ) : D --> ( Base ` R ) ) )
27	13, 26	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( N o. X ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) )
28	7, 1, 8, 9, 21, 3	psrbasg 14511	. 2 |- ( ph -> B = ( ( Base ` R ) ^m D ) )
29	27, 28	eleqtrrd 2286	1 |- ( ph -> ( N o. X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   {crab 2489   _Vcvv 2773   X. cxp 4681   `'ccnv 4682   "cima 4686   o. ccom 4687   Fn wfn 5275   -->wf 5276   -1-1-onto->wf1o 5279   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   ^m cmap 6748   Fincfn 6840   NNcn 9056   NN0cn0 9315   Basecbs 12907   Grpcgrp 13407   invgcminusg 13408   mPwSer cmps 14498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-of 6171  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-map 6750  df-ixp 6799  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-9 9122  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151  df-struct 12909  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-sca 13000  df-vsca 13001  df-tset 13003  df-rest 13148  df-topn 13149  df-0g 13165  df-topgen 13167  df-pt 13168  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410  df-minusg 13411  df-psr 14500

This theorem is referenced by:  psrlinv  14521  psrneg  14524  mplsubgfileminv  14537