Theorem psrnegcl 14764

Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrgrp.i	|- ( ph -> I e. V )
psrgrp.r	|- ( ph -> R e. Grp )
psrnegcl.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrnegcl.i	|- N = ( invg ` R )
psrnegcl.b	|- B = ( Base ` S )
psrnegcl.z	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrnegcl	|- ( ph -> ( N o. X ) e. B )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   R( f)   S( f)   N( f)   V( f)   X( f)

Proof of Theorem psrnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		psrnegcl.i	. . . . . 6 |- N = ( invg ` R )
3		psrgrp.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. Grp )
4	1, 2, 3	grpinvf1o 13714	. . . . 5 |- ( ph -> N : ( Base ` R ) -1-1-onto-> ( Base ` R ) )
5		f1of 5592	. . . . 5 |- ( N : ( Base ` R ) -1-1-onto-> ( Base ` R ) -> N : ( Base ` R ) --> ( Base ` R ) )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> N : ( Base ` R ) --> ( Base ` R ) )
7		psrgrp.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
8		psrnegcl.d	. . . . 5 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
9		psrnegcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
10		psrnegcl.z	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
11	7, 1, 8, 9, 10	psrelbas 14756	. . . 4 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
12		fco 5507	. . . 4 |- ( ( N : ( Base ` R ) --> ( Base ` R ) /\ X : D --> ( Base ` R ) ) -> ( N o. X ) : D --> ( Base ` R ) )
13	6, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N o. X ) : D --> ( Base ` R ) )
14		basfn 13202	. . . . 5 |- Base Fn _V
15	3	elexd 2817	. . . . 5 |- ( ph -> R e. _V )
16		funfvex 5665	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
17	16	funfni 5439	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
18	14, 15, 17	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
19		fnmap 6867	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
20		nn0ex 9451	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
21		psrgrp.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> I e. V )
22	21	elexd 2817	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. _V )
23		fnovex 6061	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
24	19, 20, 22, 23	mp3an12i 1378	. . . . 5 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
25	8, 24	rabexd 4240	. . . 4 |- ( ph -> D e. _V )
26	18, 25	elmapd 6874	. . 3 |- ( ph -> ( ( N o. X ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) <-> ( N o. X ) : D --> ( Base ` R ) ) )
27	13, 26	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( N o. X ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) )
28	7, 1, 8, 9, 21, 3	psrbasg 14755	. 2 |- ( ph -> B = ( ( Base ` R ) ^m D ) )
29	27, 28	eleqtrrd 2311	1 |- ( ph -> ( N o. X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   {crab 2515   _Vcvv 2803   X. cxp 4729   `'ccnv 4730   "cima 4734   o. ccom 4735   Fn wfn 5328   -->wf 5329   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860   Fincfn 6952   NNcn 9186   NN0cn0 9445   Basecbs 13143   Grpcgrp 13644   invgcminusg 13645   mPwSer cmps 14737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-ixp 6911  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-tset 13240  df-rest 13385  df-topn 13386  df-0g 13402  df-topgen 13404  df-pt 13405  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-minusg 13648  df-psr 14739

This theorem is referenced by:  psrlinv  14765  psrneg  14768  mplsubgfileminv  14781