Theorem pwsbas 13377

Description: Base set of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsbas.y	|- Y = ( R ^s I )
pwsbas.f	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
pwsbas	|- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( B ^m I ) = ( Base ` Y ) )

Proof of Theorem pwsbas

Dummy variables x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsbas.y	. . . 4 |- Y = ( R ^s I )
2		eqid 2231	. . . 4 |- (Scalar ` R ) = (Scalar ` R )
3	1, 2	pwsval 13376	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> Y = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
4	3	fveq2d 5643	. 2 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( Base ` Y ) = ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
5		eqid 2231	. . . 4 |- ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) )
6		scaslid 13238	. . . . . 6 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
7	6	slotex 13111	. . . . 5 |- ( R e. V -> (Scalar ` R ) e. _V )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> (Scalar ` R ) e. _V )
9		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> I e. W )
10		snexg 4274	. . . . . 6 |- ( R e. V -> { R } e. _V )
11	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> { R } e. _V )
12		xpexg 4840	. . . . 5 |- ( ( I e. W /\ { R } e. _V ) -> ( I X. { R } ) e. _V )
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( I X. { R } ) e. _V )
14		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) = ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
15		snmg 3790	. . . . . 6 |- ( R e. V -> E. w w e. { R } )
16		dmxpm 4952	. . . . . 6 |- ( E. w w e. { R } -> dom ( I X. { R } ) = I )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( R e. V -> dom ( I X. { R } ) = I )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> dom ( I X. { R } ) = I )
19	5, 8, 13, 14, 18	prdsbas 13361	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) = X_ x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) )
20		fvconst2g 5868	. . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ x e. I ) -> ( ( I X. { R } ) ` x ) = R )
21	20	fveq2d 5643	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ x e. I ) -> ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( Base ` R ) )
22	21	ralrimiva 2605	. . . . 5 |- ( R e. V -> A. x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( Base ` R ) )
23	22	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> A. x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( Base ` R ) )
24		ixpeq2 6881	. . . 4 |- ( A. x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( Base ` R ) -> X_ x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = X_ x e. I ( Base ` R ) )
25	23, 24	syl 14	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> X_ x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = X_ x e. I ( Base ` R ) )
26	19, 25	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) = X_ x e. I ( Base ` R ) )
27		basfn 13143	. . . . . 6 |- Base Fn _V
28		elex 2814	. . . . . 6 |- ( R e. V -> R e. _V )
29		funfvex 5656	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
30	29	funfni 5432	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
31	27, 28, 30	sylancr 414	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) e. _V )
32	31	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( Base ` R ) e. _V )
33		ixpconstg 6876	. . . 4 |- ( ( I e. W /\ ( Base ` R ) e. _V ) -> X_ x e. I ( Base ` R ) = ( ( Base ` R ) ^m I ) )
34	9, 32, 33	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> X_ x e. I ( Base ` R ) = ( ( Base ` R ) ^m I ) )
35		pwsbas.f	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
36	35	oveq1i 6028	. . 3 |- ( B ^m I ) = ( ( Base ` R ) ^m I )
37	34, 36	eqtr4di 2282	. 2 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> X_ x e. I ( Base ` R ) = ( B ^m I ) )
38	4, 26, 37	3eqtrrd 2269	1 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( B ^m I ) = ( Base ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   {csn 3669   X. cxp 4723   dom cdm 4725   Fn wfn 5321   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   ^m cmap 6817   X_cixp 6867   Basecbs 13084  Scalarcsca 13165   X__scprds 13350   ^_s cpws 13351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-map 6819  df-ixp 6868  df-sup 7183  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-fz 10244  df-struct 13086  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-ip 13180  df-tset 13181  df-ple 13182  df-ds 13184  df-hom 13186  df-cco 13187  df-rest 13326  df-topn 13327  df-topgen 13345  df-pt 13346  df-prds 13352  df-pws 13375

This theorem is referenced by:  pwselbasb  13378  pwssnf1o  13383  psrgrp  14702