Theorem pwsbas 13199

Description: Base set of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsbas.y	|- Y = ( R ^s I )
pwsbas.f	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
pwsbas	|- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( B ^m I ) = ( Base ` Y ) )

Proof of Theorem pwsbas

Dummy variables x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsbas.y	. . . 4 |- Y = ( R ^s I )
2		eqid 2206	. . . 4 |- (Scalar ` R ) = (Scalar ` R )
3	1, 2	pwsval 13198	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> Y = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
4	3	fveq2d 5593	. 2 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( Base ` Y ) = ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
5		eqid 2206	. . . 4 |- ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) )
6		scaslid 13060	. . . . . 6 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
7	6	slotex 12934	. . . . 5 |- ( R e. V -> (Scalar ` R ) e. _V )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> (Scalar ` R ) e. _V )
9		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> I e. W )
10		snexg 4236	. . . . . 6 |- ( R e. V -> { R } e. _V )
11	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> { R } e. _V )
12		xpexg 4797	. . . . 5 |- ( ( I e. W /\ { R } e. _V ) -> ( I X. { R } ) e. _V )
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( I X. { R } ) e. _V )
14		eqid 2206	. . . 4 |- ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) = ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
15		snmg 3756	. . . . . 6 |- ( R e. V -> E. w w e. { R } )
16		dmxpm 4907	. . . . . 6 |- ( E. w w e. { R } -> dom ( I X. { R } ) = I )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( R e. V -> dom ( I X. { R } ) = I )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> dom ( I X. { R } ) = I )
19	5, 8, 13, 14, 18	prdsbas 13183	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) = X_ x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) )
20		fvconst2g 5811	. . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ x e. I ) -> ( ( I X. { R } ) ` x ) = R )
21	20	fveq2d 5593	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ x e. I ) -> ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( Base ` R ) )
22	21	ralrimiva 2580	. . . . 5 |- ( R e. V -> A. x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( Base ` R ) )
23	22	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> A. x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( Base ` R ) )
24		ixpeq2 6812	. . . 4 |- ( A. x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( Base ` R ) -> X_ x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = X_ x e. I ( Base ` R ) )
25	23, 24	syl 14	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> X_ x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = X_ x e. I ( Base ` R ) )
26	19, 25	eqtrd 2239	. 2 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) = X_ x e. I ( Base ` R ) )
27		basfn 12965	. . . . . 6 |- Base Fn _V
28		elex 2785	. . . . . 6 |- ( R e. V -> R e. _V )
29		funfvex 5606	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
30	29	funfni 5385	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
31	27, 28, 30	sylancr 414	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) e. _V )
32	31	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( Base ` R ) e. _V )
33		ixpconstg 6807	. . . 4 |- ( ( I e. W /\ ( Base ` R ) e. _V ) -> X_ x e. I ( Base ` R ) = ( ( Base ` R ) ^m I ) )
34	9, 32, 33	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> X_ x e. I ( Base ` R ) = ( ( Base ` R ) ^m I ) )
35		pwsbas.f	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
36	35	oveq1i 5967	. . 3 |- ( B ^m I ) = ( ( Base ` R ) ^m I )
37	34, 36	eqtr4di 2257	. 2 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> X_ x e. I ( Base ` R ) = ( B ^m I ) )
38	4, 26, 37	3eqtrrd 2244	1 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( B ^m I ) = ( Base ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   A.wral 2485   _Vcvv 2773   {csn 3638   X. cxp 4681   dom cdm 4683   Fn wfn 5275   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   ^m cmap 6748   X_cixp 6798   Basecbs 12907  Scalarcsca 12987   X__scprds 13172   ^_s cpws 13173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-map 6750  df-ixp 6799  df-sup 7101  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-9 9122  df-n0 9316  df-z 9393  df-dec 9525  df-uz 9669  df-fz 10151  df-struct 12909  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-sca 13000  df-vsca 13001  df-ip 13002  df-tset 13003  df-ple 13004  df-ds 13006  df-hom 13008  df-cco 13009  df-rest 13148  df-topn 13149  df-topgen 13167  df-pt 13168  df-prds 13174  df-pws 13197

This theorem is referenced by:  pwselbasb  13200  pwssnf1o  13205  psrgrp  14522