ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pwsbas Unicode version

Theorem pwsbas 13346
Description: Base set of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsbas.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsbas.f  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
pwsbas  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( B  ^m  I
)  =  ( Base `  Y ) )

Proof of Theorem pwsbas
Dummy variables  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsbas.y . . . 4  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
2 eqid 2229 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
31, 2pwsval 13345 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
43fveq2d 5636 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
5 eqid 2229 . . . 4  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) )
6 scaslid 13207 . . . . . 6  |-  (Scalar  = Slot  (Scalar `  ndx )  /\  (Scalar `  ndx )  e.  NN )
76slotex 13080 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
87adantr 276 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
9 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  I  e.  W )
10 snexg 4269 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  { R }  e.  _V )
1110adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  { R }  e.  _V )
12 xpexg 4835 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  W  /\  { R }  e.  _V )  ->  ( I  X.  { R } )  e. 
_V )
139, 11, 12syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( I  X.  { R } )  e.  _V )
14 eqid 2229 . . . 4  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
15 snmg 3785 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  E. w  w  e.  { R } )
16 dmxpm 4947 . . . . . 6  |-  ( E. w  w  e.  { R }  ->  dom  (
I  X.  { R } )  =  I )
1715, 16syl 14 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  dom  ( I  X.  { R } )  =  I )
1817adantr 276 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  dom  ( I  X.  { R } )  =  I )
195, 8, 13, 14, 18prdsbas 13330 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  X_ x  e.  I 
( Base `  ( (
I  X.  { R } ) `  x
) ) )
20 fvconst2g 5860 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { R } ) `  x )  =  R )
2120fveq2d 5636 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  (
( I  X.  { R } ) `  x
) )  =  (
Base `  R )
)
2221ralrimiva 2603 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  A. x  e.  I  ( Base `  ( ( I  X.  { R } ) `  x ) )  =  ( Base `  R
) )
2322adantr 276 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  A. x  e.  I 
( Base `  ( (
I  X.  { R } ) `  x
) )  =  (
Base `  R )
)
24 ixpeq2 6872 . . . 4  |-  ( A. x  e.  I  ( Base `  ( ( I  X.  { R }
) `  x )
)  =  ( Base `  R )  ->  X_ x  e.  I  ( Base `  ( ( I  X.  { R } ) `  x ) )  = 
X_ x  e.  I 
( Base `  R )
)
2523, 24syl 14 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  -> 
X_ x  e.  I 
( Base `  ( (
I  X.  { R } ) `  x
) )  =  X_ x  e.  I  ( Base `  R ) )
2619, 25eqtrd 2262 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  X_ x  e.  I 
( Base `  R )
)
27 basfn 13112 . . . . . 6  |-  Base  Fn  _V
28 elex 2811 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  R  e.  _V )
29 funfvex 5649 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  Base  /\  R  e. 
dom  Base )  ->  ( Base `  R )  e. 
_V )
3029funfni 5426 . . . . . 6  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  R )  e. 
_V )
3127, 28, 30sylancr 414 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  ( Base `  R )  e. 
_V )
3231adantr 276 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( Base `  R
)  e.  _V )
33 ixpconstg 6867 . . . 4  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( Base `  R )  e.  _V )  ->  X_ x  e.  I  ( Base `  R )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  I )
)
349, 32, 33syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  -> 
X_ x  e.  I 
( Base `  R )  =  ( ( Base `  R )  ^m  I
) )
35 pwsbas.f . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
3635oveq1i 6020 . . 3  |-  ( B  ^m  I )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  I )
3734, 36eqtr4di 2280 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  -> 
X_ x  e.  I 
( Base `  R )  =  ( B  ^m  I ) )
384, 26, 373eqtrrd 2267 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( B  ^m  I
)  =  ( Base `  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1395   E.wex 1538    e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   {csn 3666    X. cxp 4718   dom cdm 4720    Fn wfn 5316   ` cfv 5321  (class class class)co 6010    ^m cmap 6808   X_cixp 6858   Basecbs 13053  Scalarcsca 13134   X_scprds 13319    ^s cpws 13320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-map 6810  df-ixp 6859  df-sup 7167  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-dec 9595  df-uz 9739  df-fz 10222  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-ip 13149  df-tset 13150  df-ple 13151  df-ds 13153  df-hom 13155  df-cco 13156  df-rest 13295  df-topn 13296  df-topgen 13314  df-pt 13315  df-prds 13321  df-pws 13344
This theorem is referenced by:  pwselbasb  13347  pwssnf1o  13352  psrgrp  14670
  Copyright terms: Public domain W3C validator