Theorem pwsbas 14188

Description: Base set of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsbas.y	|- Y = ( R ^s I )
pwsbas.f	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
pwsbas	|- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( B ^m I ) = ( Base ` Y ) )

Proof of Theorem pwsbas

Dummy variables x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsbas.y	. . . 4 |- Y = ( R ^s I )
2		eqid 2238	. . . 4 |- (Scalar ` R ) = (Scalar ` R )
3	1, 2	pwsval 14187	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> Y = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
4	3	fveq2d 5697	. 2 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( Base ` Y ) = ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
5		eqid 2238	. . . 4 |- ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) )
6		scaslid 13490	. . . . . 6 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
7	6	slotex 13362	. . . . 5 |- ( R e. V -> (Scalar ` R ) e. _V )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> (Scalar ` R ) e. _V )
9		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> I e. W )
10		snexg 4319	. . . . . 6 |- ( R e. V -> { R } e. _V )
11	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> { R } e. _V )
12		xpexg 4887	. . . . 5 |- ( ( I e. W /\ { R } e. _V ) -> ( I X. { R } ) e. _V )
13	9, 11, 12	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( I X. { R } ) e. _V )
14		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) = ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
15		snmg 3829	. . . . . 6 |- ( R e. V -> E. w w e. { R } )
16		dmxpm 5000	. . . . . 6 |- ( E. w w e. { R } -> dom ( I X. { R } ) = I )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( R e. V -> dom ( I X. { R } ) = I )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> dom ( I X. { R } ) = I )
19	5, 8, 13, 14, 18	prdsbas 14159	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) = X_ x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) )
20		fvconst2g 5923	. . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ x e. I ) -> ( ( I X. { R } ) ` x ) = R )
21	20	fveq2d 5697	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ x e. I ) -> ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( Base ` R ) )
22	21	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( R e. V -> A. x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( Base ` R ) )
23	22	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> A. x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( Base ` R ) )
24		ixpeq2 6988	. . . 4 |- ( A. x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( Base ` R ) -> X_ x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = X_ x e. I ( Base ` R ) )
25	23, 24	syl 14	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> X_ x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = X_ x e. I ( Base ` R ) )
26	19, 25	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) = X_ x e. I ( Base ` R ) )
27		basfn 13394	. . . . . 6 |- Base Fn _V
28		elex 2833	. . . . . 6 |- ( R e. V -> R e. _V )
29		funfvex 5710	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
30	29	funfni 5481	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
31	27, 28, 30	sylancr 418	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) e. _V )
32	31	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( Base ` R ) e. _V )
33		ixpconstg 6983	. . . 4 |- ( ( I e. W /\ ( Base ` R ) e. _V ) -> X_ x e. I ( Base ` R ) = ( ( Base ` R ) ^m I ) )
34	9, 32, 33	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> X_ x e. I ( Base ` R ) = ( ( Base ` R ) ^m I ) )
35		pwsbas.f	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
36	35	oveq1i 6089	. . 3 |- ( B ^m I ) = ( ( Base ` R ) ^m I )
37	34, 36	eqtr4di 2289	. 2 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> X_ x e. I ( Base ` R ) = ( B ^m I ) )
38	4, 26, 37	3eqtrrd 2276	1 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( B ^m I ) = ( Base ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   {csn 3708   X. cxp 4770   dom cdm 4772   Fn wfn 5370   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   ^m cmap 6916   X_cixp 6974   Basecbs 13335  Scalarcsca 13417   X__scprds 14152   ^_s cpws 14185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-map 6918  df-ixp 6975  df-sup 7318  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-fz 10395  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-tset 13433  df-ple 13434  df-ds 13436  df-hom 13438  df-cco 13439  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13597  df-pt 13598  df-prds 14153  df-pws 14186

This theorem is referenced by:  pwselbasb  14189  pwssnf1o  14194  psrgrp  15059