Theorem pwsbas 13333

Description: Base set of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsbas.y	|- Y = ( R ^s I )
pwsbas.f	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
pwsbas	|- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( B ^m I ) = ( Base ` Y ) )

Proof of Theorem pwsbas

Dummy variables x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsbas.y	. . . 4 |- Y = ( R ^s I )
2		eqid 2229	. . . 4 |- (Scalar ` R ) = (Scalar ` R )
3	1, 2	pwsval 13332	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> Y = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
4	3	fveq2d 5633	. 2 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( Base ` Y ) = ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) )
5		eqid 2229	. . . 4 |- ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) )
6		scaslid 13194	. . . . . 6 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
7	6	slotex 13067	. . . . 5 |- ( R e. V -> (Scalar ` R ) e. _V )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> (Scalar ` R ) e. _V )
9		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> I e. W )
10		snexg 4268	. . . . . 6 |- ( R e. V -> { R } e. _V )
11	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> { R } e. _V )
12		xpexg 4833	. . . . 5 |- ( ( I e. W /\ { R } e. _V ) -> ( I X. { R } ) e. _V )
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( I X. { R } ) e. _V )
14		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) = ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
15		snmg 3785	. . . . . 6 |- ( R e. V -> E. w w e. { R } )
16		dmxpm 4944	. . . . . 6 |- ( E. w w e. { R } -> dom ( I X. { R } ) = I )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( R e. V -> dom ( I X. { R } ) = I )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> dom ( I X. { R } ) = I )
19	5, 8, 13, 14, 18	prdsbas 13317	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) = X_ x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) )
20		fvconst2g 5857	. . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ x e. I ) -> ( ( I X. { R } ) ` x ) = R )
21	20	fveq2d 5633	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ x e. I ) -> ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( Base ` R ) )
22	21	ralrimiva 2603	. . . . 5 |- ( R e. V -> A. x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( Base ` R ) )
23	22	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> A. x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( Base ` R ) )
24		ixpeq2 6867	. . . 4 |- ( A. x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( Base ` R ) -> X_ x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = X_ x e. I ( Base ` R ) )
25	23, 24	syl 14	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> X_ x e. I ( Base ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = X_ x e. I ( Base ` R ) )
26	19, 25	eqtrd 2262	. 2 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( Base ` ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) ) = X_ x e. I ( Base ` R ) )
27		basfn 13099	. . . . . 6 |- Base Fn _V
28		elex 2811	. . . . . 6 |- ( R e. V -> R e. _V )
29		funfvex 5646	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
30	29	funfni 5423	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
31	27, 28, 30	sylancr 414	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( Base ` R ) e. _V )
32	31	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( Base ` R ) e. _V )
33		ixpconstg 6862	. . . 4 |- ( ( I e. W /\ ( Base ` R ) e. _V ) -> X_ x e. I ( Base ` R ) = ( ( Base ` R ) ^m I ) )
34	9, 32, 33	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> X_ x e. I ( Base ` R ) = ( ( Base ` R ) ^m I ) )
35		pwsbas.f	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
36	35	oveq1i 6017	. . 3 |- ( B ^m I ) = ( ( Base ` R ) ^m I )
37	34, 36	eqtr4di 2280	. 2 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> X_ x e. I ( Base ` R ) = ( B ^m I ) )
38	4, 26, 37	3eqtrrd 2267	1 |- ( ( R e. V /\ I e. W ) -> ( B ^m I ) = ( Base ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   {csn 3666   X. cxp 4717   dom cdm 4719   Fn wfn 5313   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   ^m cmap 6803   X_cixp 6853   Basecbs 13040  Scalarcsca 13121   X__scprds 13306   ^_s cpws 13307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805  df-ixp 6854  df-sup 7159  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-fz 10213  df-struct 13042  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-ip 13136  df-tset 13137  df-ple 13138  df-ds 13140  df-hom 13142  df-cco 13143  df-rest 13282  df-topn 13283  df-topgen 13301  df-pt 13302  df-prds 13308  df-pws 13331

This theorem is referenced by:  pwselbasb  13334  pwssnf1o  13339  psrgrp  14657