Theorem pwselbasb 14314

Description: Membership in the base set of a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsbas.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsbas.f	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwselbas.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwselbasb	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋:𝐼⟶𝐵))

Proof of Theorem pwselbasb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsbas.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		pwsbas.f	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	pwsbas 14313	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝐵 ↑𝑚 𝐼) = (Base‘𝑌))
4		pwselbas.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
5	3, 4	eqtr4di 2289	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝐵 ↑𝑚 𝐼) = 𝑉)
6	5	eleq2d 2308	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑋 ∈ 𝑉))
7		basfn 13470	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
8		elex 2833	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → 𝑅 ∈ V)
9		funfvex 5715	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
10	9	funfni 5486	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
11	7, 8, 10	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → (Base‘𝑅) ∈ V)
12	2, 11	eqeltrid 2325	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
13		elmapg 6939	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑋:𝐼⟶𝐵))
14	12, 13	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑋:𝐼⟶𝐵))
15	6, 14	bitr3d 190	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋:𝐼⟶𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ↑_𝑚 cmap 6926  Basecbs 13411   ↑_s cpws 14310

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-ixp 6986  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-fz 10430  df-struct 13413  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-ip 13509  df-tset 13510  df-ple 13511  df-ds 13513  df-hom 13515  df-cco 13516  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13674  df-pt 13675  df-prds 14278  df-pws 14311

This theorem is used by:  pwselbas  14315  pwsdiagel  14318