Theorem pwselbasb 13240

Description: Membership in the base set of a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsbas.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsbas.f	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwselbas.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwselbasb	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋:𝐼⟶𝐵))

Proof of Theorem pwselbasb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsbas.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		pwsbas.f	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	pwsbas 13239	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝐵 ↑𝑚 𝐼) = (Base‘𝑌))
4		pwselbas.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
5	3, 4	eqtr4di 2258	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝐵 ↑𝑚 𝐼) = 𝑉)
6	5	eleq2d 2277	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑋 ∈ 𝑉))
7		basfn 13005	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
8		elex 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → 𝑅 ∈ V)
9		funfvex 5616	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
10	9	funfni 5395	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
11	7, 8, 10	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → (Base‘𝑅) ∈ V)
12	2, 11	eqeltrid 2294	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
13		elmapg 6771	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑋:𝐼⟶𝐵))
14	12, 13	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑋:𝐼⟶𝐵))
15	6, 14	bitr3d 190	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋:𝐼⟶𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  Vcvv 2776   Fn wfn 5285  ⟶wf 5286  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967   ↑_𝑚 cmap 6758  Basecbs 12947   ↑_s cpws 13213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6760  df-ixp 6809  df-sup 7112  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-dec 9540  df-uz 9684  df-fz 10166  df-struct 12949  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-ip 13042  df-tset 13043  df-ple 13044  df-ds 13046  df-hom 13048  df-cco 13049  df-rest 13188  df-topn 13189  df-topgen 13207  df-pt 13208  df-prds 13214  df-pws 13237

This theorem is referenced by:  pwselbas  13241  pwsdiagel  13244