Theorem recexprlemex 7611

Description: B is the reciprocal of A. Lemma for recexpr 7612. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
recexpr.1	|- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.

Assertion

Ref	Expression
recexprlemex	|- ( A e. P. -> ( A .P. B ) = 1P )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem recexprlemex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexpr.1	. . . 4 |- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.
2	1	recexprlemss1l 7609	. . 3 |- ( A e. P. -> ( 1st ` ( A .P. B ) ) C_ ( 1st ` 1P ) )
3	1	recexprlem1ssl 7607	. . 3 |- ( A e. P. -> ( 1st ` 1P ) C_ ( 1st ` ( A .P. B ) ) )
4	2, 3	eqssd 3170	. 2 |- ( A e. P. -> ( 1st ` ( A .P. B ) ) = ( 1st ` 1P ) )
5	1	recexprlemss1u 7610	. . 3 |- ( A e. P. -> ( 2nd ` ( A .P. B ) ) C_ ( 2nd ` 1P ) )
6	1	recexprlem1ssu 7608	. . 3 |- ( A e. P. -> ( 2nd ` 1P ) C_ ( 2nd ` ( A .P. B ) ) )
7	5, 6	eqssd 3170	. 2 |- ( A e. P. -> ( 2nd ` ( A .P. B ) ) = ( 2nd ` 1P ) )
8	1	recexprlempr 7606	. . . 4 |- ( A e. P. -> B e. P. )
9		mulclpr 7546	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A .P. B ) e. P. )
10	8, 9	mpdan 421	. . 3 |- ( A e. P. -> ( A .P. B ) e. P. )
11		1pr 7528	. . 3 |- 1P e. P.
12		preqlu 7446	. . 3 |- ( ( ( A .P. B ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( ( A .P. B ) = 1P <-> ( ( 1st ` ( A .P. B ) ) = ( 1st ` 1P ) /\ ( 2nd ` ( A .P. B ) ) = ( 2nd ` 1P ) ) ) )
13	10, 11, 12	sylancl 413	. 2 |- ( A e. P. -> ( ( A .P. B ) = 1P <-> ( ( 1st ` ( A .P. B ) ) = ( 1st ` 1P ) /\ ( 2nd ` ( A .P. B ) ) = ( 2nd ` 1P ) ) ) )
14	4, 7, 13	mpbir2and 944	1 |- ( A e. P. -> ( A .P. B ) = 1P )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1490   e. wcel 2146   {cab 2161   <.cop 3592   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   1stc1st 6129   2ndc2nd 6130   *Qcrq 7258   <Q cltq 7259   P.cnp 7265   1Pc1p 7266   .P. cmp 7268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-eprel 4283  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-1o 6407  df-2o 6408  df-oadd 6411  df-omul 6412  df-er 6525  df-ec 6527  df-qs 6531  df-ni 7278  df-pli 7279  df-mi 7280  df-lti 7281  df-plpq 7318  df-mpq 7319  df-enq 7321  df-nqqs 7322  df-plqqs 7323  df-mqqs 7324  df-1nqqs 7325  df-rq 7326  df-ltnqqs 7327  df-enq0 7398  df-nq0 7399  df-0nq0 7400  df-plq0 7401  df-mq0 7402  df-inp 7440  df-i1p 7441  df-imp 7443

This theorem is referenced by:  recexpr  7612