Theorem recexprlemex 7721

Description: B is the reciprocal of A. Lemma for recexpr 7722. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
recexpr.1	|- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.

Assertion

Ref	Expression
recexprlemex	|- ( A e. P. -> ( A .P. B ) = 1P )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem recexprlemex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexpr.1	. . . 4 |- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.
2	1	recexprlemss1l 7719	. . 3 |- ( A e. P. -> ( 1st ` ( A .P. B ) ) C_ ( 1st ` 1P ) )
3	1	recexprlem1ssl 7717	. . 3 |- ( A e. P. -> ( 1st ` 1P ) C_ ( 1st ` ( A .P. B ) ) )
4	2, 3	eqssd 3201	. 2 |- ( A e. P. -> ( 1st ` ( A .P. B ) ) = ( 1st ` 1P ) )
5	1	recexprlemss1u 7720	. . 3 |- ( A e. P. -> ( 2nd ` ( A .P. B ) ) C_ ( 2nd ` 1P ) )
6	1	recexprlem1ssu 7718	. . 3 |- ( A e. P. -> ( 2nd ` 1P ) C_ ( 2nd ` ( A .P. B ) ) )
7	5, 6	eqssd 3201	. 2 |- ( A e. P. -> ( 2nd ` ( A .P. B ) ) = ( 2nd ` 1P ) )
8	1	recexprlempr 7716	. . . 4 |- ( A e. P. -> B e. P. )
9		mulclpr 7656	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A .P. B ) e. P. )
10	8, 9	mpdan 421	. . 3 |- ( A e. P. -> ( A .P. B ) e. P. )
11		1pr 7638	. . 3 |- 1P e. P.
12		preqlu 7556	. . 3 |- ( ( ( A .P. B ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( ( A .P. B ) = 1P <-> ( ( 1st ` ( A .P. B ) ) = ( 1st ` 1P ) /\ ( 2nd ` ( A .P. B ) ) = ( 2nd ` 1P ) ) ) )
13	10, 11, 12	sylancl 413	. 2 |- ( A e. P. -> ( ( A .P. B ) = 1P <-> ( ( 1st ` ( A .P. B ) ) = ( 1st ` 1P ) /\ ( 2nd ` ( A .P. B ) ) = ( 2nd ` 1P ) ) ) )
14	4, 7, 13	mpbir2and 946	1 |- ( A e. P. -> ( A .P. B ) = 1P )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   {cab 2182   <.cop 3626   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   1stc1st 6205   2ndc2nd 6206   *Qcrq 7368   <Q cltq 7369   P.cnp 7375   1Pc1p 7376   .P. cmp 7378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-pli 7389  df-mi 7390  df-lti 7391  df-plpq 7428  df-mpq 7429  df-enq 7431  df-nqqs 7432  df-plqqs 7433  df-mqqs 7434  df-1nqqs 7435  df-rq 7436  df-ltnqqs 7437  df-enq0 7508  df-nq0 7509  df-0nq0 7510  df-plq0 7511  df-mq0 7512  df-inp 7550  df-i1p 7551  df-imp 7553

This theorem is referenced by:  recexpr  7722