ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recnnpr GIF version

Theorem recnnpr 7582
Description: The reciprocal of a positive integer, as a positive real. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
recnnpr (𝐴N → ⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
Distinct variable group:   𝐴,𝑙,𝑢

Proof of Theorem recnnpr
StepHypRef Expression
1 nnnq 7456 . 2 (𝐴N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~QQ)
2 recclnq 7426 . 2 ([⟨𝐴, 1o⟩] ~QQ → (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ) ∈ Q)
3 nqprlu 7581 . 2 ((*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ) ∈ Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
41, 2, 33syl 17 1 (𝐴N → ⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2160  {cab 2175  cop 3613   class class class wbr 4021  cfv 5238  1oc1o 6438  [cec 6561  Ncnpi 7306   ~Q ceq 7313  Qcnq 7314  *Qcrq 7318   <Q cltq 7319  Pcnp 7325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-eprel 4310  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-iord 4387  df-on 4389  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-irdg 6399  df-1o 6445  df-oadd 6449  df-omul 6450  df-er 6563  df-ec 6565  df-qs 6569  df-ni 7338  df-pli 7339  df-mi 7340  df-lti 7341  df-plpq 7378  df-mpq 7379  df-enq 7381  df-nqqs 7382  df-plqqs 7383  df-mqqs 7384  df-1nqqs 7385  df-rq 7386  df-ltnqqs 7387  df-inp 7500
This theorem is referenced by:  caucvgprprlemnkltj  7723  caucvgprprlemnbj  7727  caucvgprprlemopu  7733  caucvgprprlemexbt  7740  caucvgprprlemexb  7741  caucvgprprlemaddq  7742  caucvgsrlemcau  7827  caucvgsrlemoffcau  7832  recnnre  7885  recidpirq  7892  axcaucvglemcau  7932
  Copyright terms: Public domain W3C validator