ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recnnpr GIF version

Theorem recnnpr 7610
Description: The reciprocal of a positive integer, as a positive real. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
recnnpr (𝐴N → ⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
Distinct variable group:   𝐴,𝑙,𝑢

Proof of Theorem recnnpr
StepHypRef Expression
1 nnnq 7484 . 2 (𝐴N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~QQ)
2 recclnq 7454 . 2 ([⟨𝐴, 1o⟩] ~QQ → (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ) ∈ Q)
3 nqprlu 7609 . 2 ((*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ) ∈ Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
41, 2, 33syl 17 1 (𝐴N → ⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2164  {cab 2179  cop 3622   class class class wbr 4030  cfv 5255  1oc1o 6464  [cec 6587  Ncnpi 7334   ~Q ceq 7341  Qcnq 7342  *Qcrq 7346   <Q cltq 7347  Pcnp 7353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-pli 7367  df-mi 7368  df-lti 7369  df-plpq 7406  df-mpq 7407  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-plqqs 7411  df-mqqs 7412  df-1nqqs 7413  df-rq 7414  df-ltnqqs 7415  df-inp 7528
This theorem is referenced by:  caucvgprprlemnkltj  7751  caucvgprprlemnbj  7755  caucvgprprlemopu  7761  caucvgprprlemexbt  7768  caucvgprprlemexb  7769  caucvgprprlemaddq  7770  caucvgsrlemcau  7855  caucvgsrlemoffcau  7860  recnnre  7913  recidpirq  7920  axcaucvglemcau  7960
  Copyright terms: Public domain W3C validator