Theorem recnnpr 7811

Description: The reciprocal of a positive integer, as a positive real. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
recnnpr	⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)

Distinct variable group:   𝐴,𝑙,𝑢

Proof of Theorem recnnpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnq 7685	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)
2		recclnq 7655	. 2 ⊢ ([⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q → (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ) ∈ Q)
3		nqprlu 7810	. 2 ⊢ ((*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ) ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
4	1, 2, 3	3syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  {cab 2217  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  1_oc1o 6618  [cec 6743  Ncnpi 7535   ~_Q ceq 7542  Qcnq 7543  *_Qcrq 7547   <_Q cltq 7548  Pcnp 7554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-pli 7568  df-mi 7569  df-lti 7570  df-plpq 7607  df-mpq 7608  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-plqqs 7612  df-mqqs 7613  df-1nqqs 7614  df-rq 7615  df-ltnqqs 7616  df-inp 7729

This theorem is referenced by:  caucvgprprlemnkltj  7952  caucvgprprlemnbj  7956  caucvgprprlemopu  7962  caucvgprprlemexbt  7969  caucvgprprlemexb  7970  caucvgprprlemaddq  7971  caucvgsrlemcau  8056  caucvgsrlemoffcau  8061  recnnre  8114  recidpirq  8121  axcaucvglemcau  8161