Theorem recnnpr 7086

Description: The reciprocal of a positive integer, as a positive real. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
recnnpr	⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)

Distinct variable group:   𝐴,𝑙,𝑢

Proof of Theorem recnnpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnq 6960	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q)
2		recclnq 6930	. 2 ⊢ ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q → (*Q‘[⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q ) ∈ Q)
3		nqprlu 7085	. 2 ⊢ ((*Q‘[⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q ) ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
4	1, 2, 3	3syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1438  {cab 2074  ⟨cop 3444   class class class wbr 3837  ‘cfv 5002  1_𝑜c1o 6156  [cec 6270  Ncnpi 6810   ~_Q ceq 6817  Qcnq 6818  *_Qcrq 6822   <_Q cltq 6823  Pcnp 6829

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-rq 6890  df-ltnqqs 6891  df-inp 7004

This theorem is referenced by:  caucvgprprlemnkltj  7227  caucvgprprlemnbj  7231  caucvgprprlemopu  7237  caucvgprprlemexbt  7244  caucvgprprlemexb  7245  caucvgprprlemaddq  7246  caucvgsrlemcau  7317  caucvgsrlemoffcau  7322  recnnre  7367  recidpirq  7374  axcaucvglemcau  7412