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Theorem abs00ap 11843
Description: The absolute value of a number is apart from zero iff the number is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
abs00ap |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> A # 0 ) )
Proof of Theorem abs00ap
StepHypRef Expression
1 absval2 11838 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) )
21breq1d 4140 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # 0 ) )
3 sqrt0 11785 . . . . . . . . . 10 |- ( sqr ` 0 ) = 0
43breq2i 4138 . . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # 0 )
52, 4bitr4di 198 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) ) )
6 recl 11633 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
76resqcld 11151 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. RR )
8 imcl 11634 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
98resqcld 11151 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. RR )
107, 9readdcld 8356 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR )
116sqge0d 11152 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( Re ` A ) ^ 2 ) )
128sqge0d 11152 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) )
137, 9, 11, 12addge0d 8852 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )
14 0red 8328 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 e. RR )
1514leidd 8844 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 <_ 0 )
16 sqrt11ap 11819 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) /\ ( 0 e. RR /\ 0 <_ 0 ) ) -> ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 ) )
1710, 13, 14, 15, 16syl22anc 1279 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 ) )
185, 17bitrd 188 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 ) )
19 00id 8469 . . . . . . . 8 |- ( 0 + 0 ) = 0
2019breq2i 4138 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 )
2118, 20bitr4di 198 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) ) )
227recnd 8355 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC )
239recnd 8355 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC )
24 0cnd 8320 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> 0 e. CC )
25 addext 8941 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC ) /\ ( 0 e. CC /\ 0 e. CC ) ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) ) )
2622, 23, 24, 24, 25syl22anc 1279 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) ) )
2721, 26sylbid 150 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) ) )
286recnd 8355 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
29 2nn 9471 . . . . . . 7 |- 2 e. NN
30 expap0 11020 . . . . . . 7 |- ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ 2 e. NN ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Re ` A ) # 0 ) )
3128, 29, 30sylancl 417 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Re ` A ) # 0 ) )
328recnd 8355 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
33 expap0 11020 . . . . . . 7 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ 2 e. NN ) -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Im ` A ) # 0 ) )
3432, 29, 33sylancl 417 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Im ` A ) # 0 ) )
3531, 34orbi12d 805 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) <-> ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) ) )
3627, 35sylibd 149 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) ) )
37 crap0 9291 . . . . 5 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( Im ` A ) e. RR ) -> ( ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
386, 8, 37syl2anc 415 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
3936, 38sylibd 149 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
40 replim 11639 . . . 4 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
4140breq1d 4140 . . 3 |- ( A e. CC -> ( A # 0 <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
4239, 41sylibrd 169 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> A # 0 ) )
43 absrpclap 11842 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
4443rpap0d 10114 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) # 0 )
4544ex 115 . 2 |- ( A e. CC -> ( A # 0 -> ( abs ` A ) # 0 ) )
4642, 45impbid 129 1 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> A # 0 ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8178   RRcr 8179   0cc0 8180   _ici 8182   + caddc 8183   x. cmul 8185   <_ cle 8362   # cap 8912   NNcn 9307   2c2 9358   ^cexp 10989   Recre 11620   Imcim 11621   sqrcsqrt 11777   abscabs 11778
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-rp 10066  df-seqfrec 10899  df-exp 10990  df-cj 11622  df-re 11623  df-im 11624  df-rsqrt 11779  df-abs 11780
This theorem is used by:  abs00  11845  absexpzap  11862  ltabs  11869  recvalap  11879  absgt0ap  11881  georeclim  12298  geoisumr  12303  cnopnap  15764  ltlenmkv  17242
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