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Theorem abs00ap 11740
Description: The absolute value of a number is apart from zero iff the number is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
abs00ap |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> A # 0 ) )
Proof of Theorem abs00ap
StepHypRef Expression
1 absval2 11735 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) )
21breq1d 4118 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # 0 ) )
3 sqrt0 11682 . . . . . . . . . 10 |- ( sqr ` 0 ) = 0
43breq2i 4116 . . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # 0 )
52, 4bitr4di 198 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) ) )
6 recl 11531 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
76resqcld 11057 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. RR )
8 imcl 11532 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
98resqcld 11057 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. RR )
107, 9readdcld 8299 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR )
116sqge0d 11058 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( Re ` A ) ^ 2 ) )
128sqge0d 11058 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) )
137, 9, 11, 12addge0d 8792 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )
14 0red 8271 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 e. RR )
1514leidd 8784 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 <_ 0 )
16 sqrt11ap 11716 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) /\ ( 0 e. RR /\ 0 <_ 0 ) ) -> ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 ) )
1710, 13, 14, 15, 16syl22anc 1275 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 ) )
185, 17bitrd 188 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 ) )
19 00id 8410 . . . . . . . 8 |- ( 0 + 0 ) = 0
2019breq2i 4116 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 )
2118, 20bitr4di 198 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) ) )
227recnd 8298 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC )
239recnd 8298 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC )
24 0cnd 8263 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> 0 e. CC )
25 addext 8880 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC ) /\ ( 0 e. CC /\ 0 e. CC ) ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) ) )
2622, 23, 24, 24, 25syl22anc 1275 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) ) )
2721, 26sylbid 150 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) ) )
286recnd 8298 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
29 2nn 9395 . . . . . . 7 |- 2 e. NN
30 expap0 10927 . . . . . . 7 |- ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ 2 e. NN ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Re ` A ) # 0 ) )
3128, 29, 30sylancl 413 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Re ` A ) # 0 ) )
328recnd 8298 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
33 expap0 10927 . . . . . . 7 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ 2 e. NN ) -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Im ` A ) # 0 ) )
3432, 29, 33sylancl 413 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Im ` A ) # 0 ) )
3531, 34orbi12d 801 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) <-> ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) ) )
3627, 35sylibd 149 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) ) )
37 crap0 9228 . . . . 5 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( Im ` A ) e. RR ) -> ( ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
386, 8, 37syl2anc 411 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
3936, 38sylibd 149 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
40 replim 11537 . . . 4 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
4140breq1d 4118 . . 3 |- ( A e. CC -> ( A # 0 <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
4239, 41sylibrd 169 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> A # 0 ) )
43 absrpclap 11739 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
4443rpap0d 10031 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) # 0 )
4544ex 115 . 2 |- ( A e. CC -> ( A # 0 -> ( abs ` A ) # 0 ) )
4642, 45impbid 129 1 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> A # 0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   e. wcel 2203   class class class wbr 4108   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   CCcc 8121   RRcr 8122   0cc0 8123   _ici 8125   + caddc 8126   x. cmul 8128   <_ cle 8305   # cap 8851   NNcn 9233   2c2 9284   ^cexp 10896   Recre 11518   Imcim 11519   sqrcsqrt 11674   abscabs 11675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-rp 9983  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677
This theorem is referenced by:  abs00  11742  absexpzap  11758  ltabs  11765  recvalap  11775  absgt0ap  11777  georeclim  12192  geoisumr  12197  cnopnap  15463  ltlenmkv  16842
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