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Theorem abs00ap 11851
Description: The absolute value of a number is apart from zero iff the number is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
abs00ap |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> A # 0 ) )
Proof of Theorem abs00ap
StepHypRef Expression
1 absval2 11846 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) )
21breq1d 4141 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # 0 ) )
3 sqrt0 11793 . . . . . . . . . 10 |- ( sqr ` 0 ) = 0
43breq2i 4139 . . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # 0 )
52, 4bitr4di 198 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) ) )
6 recl 11641 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
76resqcld 11159 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. RR )
8 imcl 11642 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
98resqcld 11159 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. RR )
107, 9readdcld 8362 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR )
116sqge0d 11160 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( Re ` A ) ^ 2 ) )
128sqge0d 11160 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) )
137, 9, 11, 12addge0d 8858 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )
14 0red 8334 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 e. RR )
1514leidd 8850 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 <_ 0 )
16 sqrt11ap 11827 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) /\ ( 0 e. RR /\ 0 <_ 0 ) ) -> ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 ) )
1710, 13, 14, 15, 16syl22anc 1279 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 ) )
185, 17bitrd 188 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 ) )
19 00id 8475 . . . . . . . 8 |- ( 0 + 0 ) = 0
2019breq2i 4139 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 )
2118, 20bitr4di 198 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) ) )
227recnd 8361 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC )
239recnd 8361 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC )
24 0cnd 8326 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> 0 e. CC )
25 addext 8947 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC ) /\ ( 0 e. CC /\ 0 e. CC ) ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) ) )
2622, 23, 24, 24, 25syl22anc 1279 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) ) )
2721, 26sylbid 150 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) ) )
286recnd 8361 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
29 2nn 9478 . . . . . . 7 |- 2 e. NN
30 expap0 11028 . . . . . . 7 |- ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ 2 e. NN ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Re ` A ) # 0 ) )
3128, 29, 30sylancl 417 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Re ` A ) # 0 ) )
328recnd 8361 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
33 expap0 11028 . . . . . . 7 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ 2 e. NN ) -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Im ` A ) # 0 ) )
3432, 29, 33sylancl 417 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Im ` A ) # 0 ) )
3531, 34orbi12d 805 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) <-> ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) ) )
3627, 35sylibd 149 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) ) )
37 crap0 9297 . . . . 5 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( Im ` A ) e. RR ) -> ( ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
386, 8, 37syl2anc 415 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
3936, 38sylibd 149 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
40 replim 11647 . . . 4 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
4140breq1d 4141 . . 3 |- ( A e. CC -> ( A # 0 <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
4239, 41sylibrd 169 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> A # 0 ) )
43 absrpclap 11850 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
4443rpap0d 10121 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) # 0 )
4544ex 115 . 2 |- ( A e. CC -> ( A # 0 -> ( abs ` A ) # 0 ) )
4642, 45impbid 129 1 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> A # 0 ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8184   RRcr 8185   0cc0 8186   _ici 8188   + caddc 8189   x. cmul 8191   <_ cle 8368   # cap 8918   NNcn 9314   2c2 9365   ^cexp 10997   Recre 11628   Imcim 11629   sqrcsqrt 11785   abscabs 11786
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-rp 10073  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788
This theorem is used by:  abs00  11853  absexpzap  11870  ltabs  11877  recvalap  11887  absgt0ap  11889  georeclim  12306  geoisumr  12311  cnopnap  15849  ltlenmkv  17339
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