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Theorem abs00ap 11373
Description: The absolute value of a number is apart from zero iff the number is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
abs00ap |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> A # 0 ) )
Proof of Theorem abs00ap
StepHypRef Expression
1 absval2 11368 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) )
21breq1d 4054 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # 0 ) )
3 sqrt0 11315 . . . . . . . . . 10 |- ( sqr ` 0 ) = 0
43breq2i 4052 . . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # 0 )
52, 4bitr4di 198 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) ) )
6 recl 11164 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
76resqcld 10844 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. RR )
8 imcl 11165 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
98resqcld 10844 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. RR )
107, 9readdcld 8102 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR )
116sqge0d 10845 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( Re ` A ) ^ 2 ) )
128sqge0d 10845 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) )
137, 9, 11, 12addge0d 8595 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )
14 0red 8073 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 e. RR )
1514leidd 8587 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 <_ 0 )
16 sqrt11ap 11349 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) /\ ( 0 e. RR /\ 0 <_ 0 ) ) -> ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 ) )
1710, 13, 14, 15, 16syl22anc 1251 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 ) )
185, 17bitrd 188 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 ) )
19 00id 8213 . . . . . . . 8 |- ( 0 + 0 ) = 0
2019breq2i 4052 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 )
2118, 20bitr4di 198 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) ) )
227recnd 8101 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC )
239recnd 8101 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC )
24 0cnd 8065 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> 0 e. CC )
25 addext 8683 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC ) /\ ( 0 e. CC /\ 0 e. CC ) ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) ) )
2622, 23, 24, 24, 25syl22anc 1251 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) ) )
2721, 26sylbid 150 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) ) )
286recnd 8101 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
29 2nn 9198 . . . . . . 7 |- 2 e. NN
30 expap0 10714 . . . . . . 7 |- ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ 2 e. NN ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Re ` A ) # 0 ) )
3128, 29, 30sylancl 413 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Re ` A ) # 0 ) )
328recnd 8101 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
33 expap0 10714 . . . . . . 7 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ 2 e. NN ) -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Im ` A ) # 0 ) )
3432, 29, 33sylancl 413 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Im ` A ) # 0 ) )
3531, 34orbi12d 795 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) <-> ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) ) )
3627, 35sylibd 149 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) ) )
37 crap0 9031 . . . . 5 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( Im ` A ) e. RR ) -> ( ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
386, 8, 37syl2anc 411 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
3936, 38sylibd 149 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
40 replim 11170 . . . 4 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
4140breq1d 4054 . . 3 |- ( A e. CC -> ( A # 0 <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
4239, 41sylibrd 169 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> A # 0 ) )
43 absrpclap 11372 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
4443rpap0d 9824 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) # 0 )
4544ex 115 . 2 |- ( A e. CC -> ( A # 0 -> ( abs ` A ) # 0 ) )
4642, 45impbid 129 1 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> A # 0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   CCcc 7923   RRcr 7924   0cc0 7925   _ici 7927   + caddc 7928   x. cmul 7930   <_ cle 8108   # cap 8654   NNcn 9036   2c2 9087   ^cexp 10683   Recre 11151   Imcim 11152   sqrcsqrt 11307   abscabs 11308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-rp 9776  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310
This theorem is referenced by:  abs00  11375  absexpzap  11391  ltabs  11398  recvalap  11408  absgt0ap  11410  georeclim  11824  geoisumr  11829  cnopnap  15083  ltlenmkv  16009
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