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Theorem abs00ap 11042
Description: The absolute value of a number is apart from zero iff the number is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
abs00ap  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  <->  A #  0
) )

Proof of Theorem abs00ap
StepHypRef Expression
1 absval2 11037 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) )
21breq1d 4010 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  <->  ( sqr `  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) #  0 ) )
3 sqrt0 10984 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  0 )  =  0
43breq2i 4008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) ) #  ( sqr `  0
)  <->  ( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) #  0 )
52, 4bitr4di 198 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  <->  ( sqr `  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  0 ) ) )
6 recl 10833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
76resqcld 10652 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
8 imcl 10834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
98resqcld 10652 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
107, 9readdcld 7964 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  e.  RR )
116sqge0d 10653 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) )
128sqge0d 10653 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )
137, 9, 11, 12addge0d 8456 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) )
14 0red 7936 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  RR )
1514leidd 8448 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  0 )
16 sqrt11ap 11018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  /\  ( 0  e.  RR  /\  0  <_ 
0 ) )  -> 
( ( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  0
)  <->  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  0 ) )
1710, 13, 14, 15, 16syl22anc 1239 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  0
)  <->  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  0 ) )
185, 17bitrd 188 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  <->  ( (
( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) #  0 ) )
19 00id 8075 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2019breq2i 4008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( 0  +  0 )  <->  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  0 )
2118, 20bitr4di 198 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  <->  ( (
( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) #  ( 0  +  0 ) ) )
227recnd 7963 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
239recnd 7963 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
24 0cnd 7928 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  CC )
25 addext 8544 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( Im `  A ) ^ 2 )  e.  CC )  /\  ( 0  e.  CC  /\  0  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( 0  +  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  0  \/  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) #  0 ) ) )
2622, 23, 24, 24, 25syl22anc 1239 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) #  ( 0  +  0 )  ->  (
( ( Re `  A ) ^ 2 ) #  0  \/  (
( Im `  A
) ^ 2 ) #  0 ) ) )
2721, 26sylbid 150 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  ->  (
( ( Re `  A ) ^ 2 ) #  0  \/  (
( Im `  A
) ^ 2 ) #  0 ) ) )
286recnd 7963 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
29 2nn 9056 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
30 expap0 10523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  2  e.  NN )  ->  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  0  <->  (
Re `  A ) #  0 ) )
3128, 29, 30sylancl 413 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A ) ^ 2 ) #  0  <->  ( Re `  A ) #  0 ) )
328recnd 7963 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
33 expap0 10523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  CC  /\  2  e.  NN )  ->  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 ) #  0  <->  (
Im `  A ) #  0 ) )
3432, 29, 33sylancl 413 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Im `  A ) ^ 2 ) #  0  <->  ( Im `  A ) #  0 ) )
3531, 34orbi12d 793 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  0  \/  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) #  0 )  <->  ( (
Re `  A ) #  0  \/  ( Im `  A ) #  0 ) ) )
3627, 35sylibd 149 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  ->  (
( Re `  A
) #  0  \/  (
Im `  A ) #  0 ) ) )
37 crap0 8891 . . . . 5  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( Im `  A )  e.  RR )  -> 
( ( ( Re
`  A ) #  0  \/  ( Im `  A ) #  0 )  <-> 
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) #  0 ) )
386, 8, 37syl2anc 411 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A ) #  0  \/  ( Im `  A ) #  0 )  <->  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) #  0 ) )
3936, 38sylibd 149 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  ->  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) #  0 ) )
40 replim 10839 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
4140breq1d 4010 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A #  0  <->  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) #  0 ) )
4239, 41sylibrd 169 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  ->  A #  0 ) )
43 absrpclap 11041 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
4443rpap0d 9676 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  ( abs `  A ) #  0 )
4544ex 115 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A #  0  ->  ( abs `  A ) #  0 ) )
4642, 45impbid 129 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  <->  A #  0
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    e. wcel 2148   class class class wbr 4000   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   CCcc 7787   RRcr 7788   0cc0 7789   _ici 7791    + caddc 7792    x. cmul 7794    <_ cle 7970   # cap 8515   NNcn 8895   2c2 8946   ^cexp 10492   Recre 10820   Imcim 10821   sqrcsqrt 10976   abscabs 10977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-rp 9628  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979
This theorem is referenced by:  abs00  11044  absexpzap  11060  ltabs  11067  recvalap  11077  absgt0ap  11079  georeclim  11492  geoisumr  11497  cnopnap  13727
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