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Theorem abs00ap 11811
Description: The absolute value of a number is apart from zero iff the number is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
abs00ap |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> A # 0 ) )
Proof of Theorem abs00ap
StepHypRef Expression
1 absval2 11806 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) )
21breq1d 4138 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # 0 ) )
3 sqrt0 11753 . . . . . . . . . 10 |- ( sqr ` 0 ) = 0
43breq2i 4136 . . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # 0 )
52, 4bitr4di 198 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) ) )
6 recl 11601 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
76resqcld 11120 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. RR )
8 imcl 11602 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
98resqcld 11120 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. RR )
107, 9readdcld 8349 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR )
116sqge0d 11121 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( Re ` A ) ^ 2 ) )
128sqge0d 11121 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) )
137, 9, 11, 12addge0d 8844 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )
14 0red 8321 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 e. RR )
1514leidd 8836 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 <_ 0 )
16 sqrt11ap 11787 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) /\ ( 0 e. RR /\ 0 <_ 0 ) ) -> ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 ) )
1710, 13, 14, 15, 16syl22anc 1279 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( sqr ` ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 0 ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 ) )
185, 17bitrd 188 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 ) )
19 00id 8461 . . . . . . . 8 |- ( 0 + 0 ) = 0
2019breq2i 4136 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # 0 )
2118, 20bitr4di 198 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) ) )
227recnd 8348 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC )
239recnd 8348 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC )
24 0cnd 8313 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> 0 e. CC )
25 addext 8932 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC ) /\ ( 0 e. CC /\ 0 e. CC ) ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) ) )
2622, 23, 24, 24, 25syl22anc 1279 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) # ( 0 + 0 ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) ) )
2721, 26sylbid 150 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) ) )
286recnd 8348 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
29 2nn 9449 . . . . . . 7 |- 2 e. NN
30 expap0 10989 . . . . . . 7 |- ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ 2 e. NN ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Re ` A ) # 0 ) )
3128, 29, 30sylancl 417 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Re ` A ) # 0 ) )
328recnd 8348 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
33 expap0 10989 . . . . . . 7 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ 2 e. NN ) -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Im ` A ) # 0 ) )
3432, 29, 33sylancl 417 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 <-> ( Im ` A ) # 0 ) )
3531, 34orbi12d 805 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) # 0 \/ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) # 0 ) <-> ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) ) )
3627, 35sylibd 149 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) ) )
37 crap0 9282 . . . . 5 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( Im ` A ) e. RR ) -> ( ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
386, 8, 37syl2anc 415 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) # 0 \/ ( Im ` A ) # 0 ) <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
3936, 38sylibd 149 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
40 replim 11607 . . . 4 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
4140breq1d 4138 . . 3 |- ( A e. CC -> ( A # 0 <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # 0 ) )
4239, 41sylibrd 169 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 -> A # 0 ) )
43 absrpclap 11810 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
4443rpap0d 10086 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( abs ` A ) # 0 )
4544ex 115 . 2 |- ( A e. CC -> ( A # 0 -> ( abs ` A ) # 0 ) )
4642, 45impbid 129 1 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> A # 0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   CCcc 8171   RRcr 8172   0cc0 8173   _ici 8175   + caddc 8176   x. cmul 8178   <_ cle 8355   # cap 8903   NNcn 9287   2c2 9338   ^cexp 10958   Recre 11588   Imcim 11589   sqrcsqrt 11745   abscabs 11746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-rp 10038  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748
This theorem is referenced by:  abs00  11813  absexpzap  11829  ltabs  11836  recvalap  11846  absgt0ap  11848  georeclim  12263  geoisumr  12268  cnopnap  15695  ltlenmkv  17094
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