Theorem abscl 11477

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
abscl	|- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )

Proof of Theorem abscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absval 11427	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )
2		cjmulrcl 11313	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) e. RR )
3		cjmulge0 11315	. . 3 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( A x. ( * ` A ) ) )
4		resqrtcl 11455	. . 3 |- ( ( ( A x. ( * ` A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. ( * ` A ) ) ) -> ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. RR )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. RR )
6	1, 5	eqeltrd 2284	1 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   RRcr 7959   0cc0 7960   x. cmul 7965   <_ cle 8143   *ccj 11265   sqrcsqrt 11422   abscabs 11423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-rp 9811  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425

This theorem is referenced by:  abs00  11490  absreim  11494  absdivap  11496  leabs  11500  absexp  11505  absexpzap  11506  sqabs  11508  absimle  11510  ltabs  11513  abslt  11514  absle  11515  abssubap0  11516  lenegsq  11521  releabs  11522  recvalap  11523  absidm  11524  absgt0ap  11525  abstri  11530  abs2dif  11532  abs2difabs  11534  absf  11536  abs3lem  11537  caubnd2  11543  abscli  11568  abscld  11607  mulcn2  11738  efcllemp  12084  efcllem  12085  cnbl0  15121  cnblcld  15122  dveflem  15313  lgslem3  15594