Theorem abscl 11074

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
abscl	|- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )

Proof of Theorem abscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absval 11024	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) )
2		cjmulrcl 10910	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) e. RR )
3		cjmulge0 10912	. . 3 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( A x. ( * ` A ) ) )
4		resqrtcl 11052	. . 3 |- ( ( ( A x. ( * ` A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. ( * ` A ) ) ) -> ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. RR )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( A x. ( * ` A ) ) ) e. RR )
6	1, 5	eqeltrd 2264	1 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7823   RRcr 7824   0cc0 7825   x. cmul 7830   <_ cle 8007   *ccj 10862   sqrcsqrt 11019   abscabs 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-rp 9668  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022

This theorem is referenced by:  abs00  11087  absreim  11091  absdivap  11093  leabs  11097  absexp  11102  absexpzap  11103  sqabs  11105  absimle  11107  ltabs  11110  abslt  11111  absle  11112  abssubap0  11113  lenegsq  11118  releabs  11119  recvalap  11120  absidm  11121  absgt0ap  11122  abstri  11127  abs2dif  11129  abs2difabs  11131  absf  11133  abs3lem  11134  caubnd2  11140  abscli  11165  abscld  11204  mulcn2  11334  efcllemp  11680  efcllem  11681  cnbl0  14387  cnblcld  14388  dveflem  14540  lgslem3  14756