ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recvalap GIF version

Theorem recvalap 10809
Description: Reciprocal expressed with a real denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
recvalap ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) = ((∗‘𝐴) / ((abs‘𝐴)↑2)))

Proof of Theorem recvalap
StepHypRef Expression
1 cjcl 10560 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
21adantr 272 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3 simpl 108 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
42, 3mulcomd 7751 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((∗‘𝐴) · 𝐴) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
5 absvalsq 10765 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
65adantr 272 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
74, 6eqtr4d 2151 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((∗‘𝐴) · 𝐴) = ((abs‘𝐴)↑2))
8 abscl 10763 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
98adantr 272 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
109recnd 7758 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
1110sqcld 10362 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
12 cjap0 10619 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ↔ (∗‘𝐴) # 0))
1312biimpa 292 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (∗‘𝐴) # 0)
1411, 2, 3, 13divmulapd 8532 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴)) = 𝐴 ↔ ((∗‘𝐴) · 𝐴) = ((abs‘𝐴)↑2)))
157, 14mpbird 166 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴)) = 𝐴)
1615oveq2d 5756 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / (((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴))) = (1 / 𝐴))
17 abs00ap 10774 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
1817biimpar 293 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) # 0)
19 sqap0 10299 . . . . 5 ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (abs‘𝐴) # 0))
2010, 19syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (((abs‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (abs‘𝐴) # 0))
2118, 20mpbird 166 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((abs‘𝐴)↑2) # 0)
2211, 2, 21, 13recdivapd 8527 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / (((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴))) = ((∗‘𝐴) / ((abs‘𝐴)↑2)))
2316, 22eqtr3d 2150 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) = ((∗‘𝐴) / ((abs‘𝐴)↑2)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3897  cfv 5091  (class class class)co 5740  cc 7582  cr 7583  0cc0 7584  1c1 7585   · cmul 7589   # cap 8306   / cdiv 8392  2c2 8728  cexp 10232  ccj 10551  abscabs 10709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-rp 9391  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator