Theorem recvalap 11886

Description: Reciprocal expressed with a real denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
recvalap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) = ((∗‘𝐴) / ((abs‘𝐴)↑2)))

Proof of Theorem recvalap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 11635	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcomd 8353	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((∗‘𝐴) · 𝐴) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
5		absvalsq 11841	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
7	4, 6	eqtr4d 2274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((∗‘𝐴) · 𝐴) = ((abs‘𝐴)↑2))
8		abscl 11839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 8360	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	sqcld 11130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
12		cjap0 11695	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ↔ (∗‘𝐴) # 0))
13	12	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (∗‘𝐴) # 0)
14	11, 2, 3, 13	divmulapd 9150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴)) = 𝐴 ↔ ((∗‘𝐴) · 𝐴) = ((abs‘𝐴)↑2)))
15	7, 14	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴)) = 𝐴)
16	15	oveq2d 6104	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / (((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴))) = (1 / 𝐴))
17		abs00ap 11850	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
18	17	biimpar 297	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) # 0)
19		sqap0 11064	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (abs‘𝐴) # 0))
20	10, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (((abs‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (abs‘𝐴) # 0))
21	18, 20	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((abs‘𝐴)↑2) # 0)
22	11, 2, 21, 13	recdivapd 9145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / (((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴))) = ((∗‘𝐴) / ((abs‘𝐴)↑2)))
23	16, 22	eqtr3d 2273	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) = ((∗‘𝐴) / ((abs‘𝐴)↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   · cmul 8190   # cap 8917   / cdiv 9010  2c2 9364  ↑cexp 10996  ∗ccj 11626  abscabs 11785

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787

This theorem is used by: (None)