Theorem recvalap 11458

Description: Reciprocal expressed with a real denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
recvalap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) = ((∗‘𝐴) / ((abs‘𝐴)↑2)))

Proof of Theorem recvalap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 11209	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcomd 8107	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((∗‘𝐴) · 𝐴) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
5		absvalsq 11414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
7	4, 6	eqtr4d 2242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((∗‘𝐴) · 𝐴) = ((abs‘𝐴)↑2))
8		abscl 11412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 8114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	sqcld 10829	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
12		cjap0 11268	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ↔ (∗‘𝐴) # 0))
13	12	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (∗‘𝐴) # 0)
14	11, 2, 3, 13	divmulapd 8898	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴)) = 𝐴 ↔ ((∗‘𝐴) · 𝐴) = ((abs‘𝐴)↑2)))
15	7, 14	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴)) = 𝐴)
16	15	oveq2d 5970	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / (((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴))) = (1 / 𝐴))
17		abs00ap 11423	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
18	17	biimpar 297	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) # 0)
19		sqap0 10764	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (abs‘𝐴) # 0))
20	10, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (((abs‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (abs‘𝐴) # 0))
21	18, 20	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((abs‘𝐴)↑2) # 0)
22	11, 2, 21, 13	recdivapd 8893	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / (((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴))) = ((∗‘𝐴) / ((abs‘𝐴)↑2)))
23	16, 22	eqtr3d 2241	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) = ((∗‘𝐴) / ((abs‘𝐴)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4048  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  ℂcc 7936  ℝcr 7937  0cc0 7938  1c1 7939   · cmul 7943   # cap 8667   / cdiv 8758  2c2 9100  ↑cexp 10696  ∗ccj 11200  abscabs 11358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057  ax-caucvg 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-frec 6487  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-rp 9789  df-seqfrec 10606  df-exp 10697  df-cj 11203  df-re 11204  df-im 11205  df-rsqrt 11359  df-abs 11360

This theorem is referenced by: (None)