ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recvalap GIF version

Theorem recvalap 11077
Description: Reciprocal expressed with a real denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
recvalap ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) = ((∗‘𝐴) / ((abs‘𝐴)↑2)))

Proof of Theorem recvalap
StepHypRef Expression
1 cjcl 10828 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
21adantr 276 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3 simpl 109 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
42, 3mulcomd 7956 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((∗‘𝐴) · 𝐴) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
5 absvalsq 11033 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
65adantr 276 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
74, 6eqtr4d 2213 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((∗‘𝐴) · 𝐴) = ((abs‘𝐴)↑2))
8 abscl 11031 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
98adantr 276 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
109recnd 7963 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
1110sqcld 10624 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
12 cjap0 10887 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ↔ (∗‘𝐴) # 0))
1312biimpa 296 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (∗‘𝐴) # 0)
1411, 2, 3, 13divmulapd 8745 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴)) = 𝐴 ↔ ((∗‘𝐴) · 𝐴) = ((abs‘𝐴)↑2)))
157, 14mpbird 167 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴)) = 𝐴)
1615oveq2d 5884 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / (((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴))) = (1 / 𝐴))
17 abs00ap 11042 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
1817biimpar 297 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) # 0)
19 sqap0 10559 . . . . 5 ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (abs‘𝐴) # 0))
2010, 19syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (((abs‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (abs‘𝐴) # 0))
2118, 20mpbird 167 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((abs‘𝐴)↑2) # 0)
2211, 2, 21, 13recdivapd 8740 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / (((abs‘𝐴)↑2) / (∗‘𝐴))) = ((∗‘𝐴) / ((abs‘𝐴)↑2)))
2316, 22eqtr3d 2212 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) = ((∗‘𝐴) / ((abs‘𝐴)↑2)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cfv 5211  (class class class)co 5868  cc 7787  cr 7788  0cc0 7789  1c1 7790   · cmul 7794   # cap 8515   / cdiv 8605  2c2 8946  cexp 10492  ccj 10819  abscabs 10977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-rp 9628  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator