Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratnnlembern Unicode version

Theorem cvgratnnlembern 11243
 Description: Lemma for cvgratnn 11251. Upper bound for a geometric progression of positive ratio less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnnlembern.3
cvgratnnlembern.4
cvgratnnlembern.gt0
cvgratnnlembern.m
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlembern

Proof of Theorem cvgratnnlembern
StepHypRef Expression
1 cvgratnnlembern.3 . . . . . . . . 9
2 cvgratnnlembern.gt0 . . . . . . . . . 10
31, 2gt0ap0d 8354 . . . . . . . . 9 #
41, 3rerecclapd 8556 . . . . . . . 8
5 1red 7745 . . . . . . . 8
64, 5resubcld 8107 . . . . . . 7
7 cvgratnnlembern.m . . . . . . . 8
87nnred 8693 . . . . . . 7
96, 8remulcld 7760 . . . . . 6
109recnd 7758 . . . . 5
11 cvgratnnlembern.4 . . . . . . . . . 10
121, 2elrpd 9432 . . . . . . . . . . 11
1312reclt1d 9448 . . . . . . . . . 10
1411, 13mpbid 146 . . . . . . . . 9
155, 4posdifd 8257 . . . . . . . . 9
1614, 15mpbid 146 . . . . . . . 8
176, 16elrpd 9432 . . . . . . 7
187nnrpd 9433 . . . . . . 7
1917, 18rpmulcld 9451 . . . . . 6
2019rpap0d 9440 . . . . 5 #
2110, 20recrecapd 8508 . . . 4
229, 5readdcld 7759 . . . . 5
237nnnn0d 8984 . . . . . . 7
241, 23reexpcld 10392 . . . . . 6
251recnd 7758 . . . . . . 7
267nnzd 9126 . . . . . . 7
2725, 3, 26expap0d 10381 . . . . . 6 #
2824, 27rerecclapd 8556 . . . . 5
299ltp1d 8648 . . . . 5
30 0le1 8207 . . . . . . . . 9
3130a1i 9 . . . . . . . 8
325, 12, 31divge0d 9475 . . . . . . 7
33 bernneq2 10364 . . . . . . 7
344, 23, 32, 33syl3anc 1199 . . . . . 6
3525, 3, 26exprecapd 10383 . . . . . 6
3634, 35breqtrd 3922 . . . . 5
379, 22, 28, 29, 36ltletrd 8149 . . . 4
3821, 37eqbrtrd 3918 . . 3
3912, 26rpexpcld 10399 . . . 4
4019rpreccld 9445 . . . 4
4139, 40ltrecd 9453 . . 3
4238, 41mpbird 166 . 2
436recnd 7758 . . 3
447nncnd 8694 . . 3
4517rpap0d 9440 . . 3 #
4618rpap0d 9440 . . 3 #
4743, 44, 45, 46recdivap2d 8531 . 2
4842, 47breqtrrd 3924 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  cr 7583  cc0 7584  c1 7585   caddc 7587   cmul 7589   clt 7764   cle 7765   cmin 7897   cdiv 8395  cn 8680  cn0 8931  cexp 10243 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-rp 9394  df-seqfrec 10170  df-exp 10244 This theorem is referenced by:  cvgratnnlemfm  11249
 Copyright terms: Public domain W3C validator