ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdg0t Unicode version

Theorem frecuzrdg0t 10419
Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecuzrdgrclt.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frecuzrdgrclt.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
frecuzrdgrclt.t  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
frecuzrdgrclt.f  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
frecuzrdgrclt.r  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )
frecuzrdg0t.ran  |-  ( ph  ->  P  =  ran  R
)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdg0t  |-  ( ph  ->  ( P `  C
)  =  A )
Distinct variable groups:    x, C, y   
x, F, y    x, S, y    x, T, y    ph, x, y    x, R, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    P( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdg0t
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgrclt.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frecuzrdgrclt.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
3 frecuzrdgrclt.t . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
4 frecuzrdgrclt.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
5 frecuzrdgrclt.r . . . 4  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )
6 frecuzrdg0t.ran . . . 4  |-  ( ph  ->  P  =  ran  R
)
71, 2, 3, 4, 5, 6frecuzrdgtclt 10418 . . 3  |-  ( ph  ->  P : ( ZZ>= `  C ) --> S )
8 ffun 5368 . . 3  |-  ( P : ( ZZ>= `  C
) --> S  ->  Fun  P )
97, 8syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  P )
105fveq1i 5516 . . . . 5  |-  ( R `
 (/) )  =  (frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. ) `  (/) )
11 opexg 4228 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  S )  -> 
<. C ,  A >.  e. 
_V )
121, 2, 11syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. C ,  A >.  e. 
_V )
13 frec0g 6397 . . . . . 6  |-  ( <. C ,  A >.  e. 
_V  ->  (frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x F y ) >. ) ,  <. C ,  A >. ) `  (/) )  = 
<. C ,  A >. )
1412, 13syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C
) ,  y  e.  T  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x F y )
>. ) ,  <. C ,  A >. ) `  (/) )  = 
<. C ,  A >. )
1510, 14eqtrid 2222 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  = 
<. C ,  A >. )
161, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrclt 10412 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R : om --> ( (
ZZ>= `  C )  X.  S ) )
17 ffn 5365 . . . . . 6  |-  ( R : om --> ( (
ZZ>= `  C )  X.  S )  ->  R  Fn  om )
1816, 17syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  Fn  om )
19 peano1 4593 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
20 fnfvelrn 5648 . . . . 5  |-  ( ( R  Fn  om  /\  (/) 
e.  om )  ->  ( R `  (/) )  e. 
ran  R )
2118, 19, 20sylancl 413 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  e. 
ran  R )
2215, 21eqeltrrd 2255 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. C ,  A >.  e. 
ran  R )
2322, 6eleqtrrd 2257 . 2  |-  ( ph  -> 
<. C ,  A >.  e.  P )
24 funopfv 5555 . 2  |-  ( Fun 
P  ->  ( <. C ,  A >.  e.  P  ->  ( P `  C
)  =  A ) )
259, 23, 24sylc 62 1  |-  ( ph  ->  ( P `  C
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    C_ wss 3129   (/)c0 3422   <.cop 3595   omcom 4589    X. cxp 4624   ran crn 4627   Fun wfun 5210    Fn wfn 5211   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874    e. cmpo 5876  freccfrec 6390   1c1 7811    + caddc 7813   ZZcz 9251   ZZ>=cuz 9526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527
This theorem is referenced by:  seq3-1  10457  seq1cd  10462
  Copyright terms: Public domain W3C validator