Theorem frecuzrdg0t 10419

Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
frecuzrdgrclt.a	|- ( ph -> A e. S )
frecuzrdgrclt.t	|- ( ph -> S C_ T )
frecuzrdgrclt.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
frecuzrdgrclt.r	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
frecuzrdg0t.ran	|- ( ph -> P = ran R )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdg0t	|- ( ph -> ( P ` C ) = A )

Distinct variable groups:   x, C, y   x, F, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   P( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdg0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frecuzrdgrclt.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
3		frecuzrdgrclt.t	. . . 4 |- ( ph -> S C_ T )
4		frecuzrdgrclt.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
5		frecuzrdgrclt.r	. . . 4 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
6		frecuzrdg0t.ran	. . . 4 |- ( ph -> P = ran R )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	frecuzrdgtclt 10418	. . 3 |- ( ph -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )
8		ffun 5368	. . 3 |- ( P : ( ZZ>= ` C ) --> S -> Fun P )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> Fun P )
10	5	fveq1i 5516	. . . . 5 |- ( R ` (/) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` (/) )
11		opexg 4228	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. S ) -> <. C , A >. e. _V )
12	1, 2, 11	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> <. C , A >. e. _V )
13		frec0g 6397	. . . . . 6 |- ( <. C , A >. e. _V -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` (/) ) = <. C , A >. )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` (/) ) = <. C , A >. )
15	10, 14	eqtrid 2222	. . . 4 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = <. C , A >. )
16	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 10412	. . . . . 6 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
17		ffn 5365	. . . . . 6 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> R Fn om )
18	16, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> R Fn om )
19		peano1 4593	. . . . 5 |- (/) e. om
20		fnfvelrn 5648	. . . . 5 |- ( ( R Fn om /\ (/) e. om ) -> ( R ` (/) ) e. ran R )
21	18, 19, 20	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> ( R ` (/) ) e. ran R )
22	15, 21	eqeltrrd 2255	. . 3 |- ( ph -> <. C , A >. e. ran R )
23	22, 6	eleqtrrd 2257	. 2 |- ( ph -> <. C , A >. e. P )
24		funopfv 5555	. 2 |- ( Fun P -> ( <. C , A >. e. P -> ( P ` C ) = A ) )
25	9, 23, 24	sylc 62	1 |- ( ph -> ( P ` C ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   C_ wss 3129   (/)c0 3422   <.cop 3595   omcom 4589   X. cxp 4624   ran crn 4627   Fun wfun 5210   Fn wfn 5211   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   e. cmpo 5876  freccfrec 6390   1c1 7811   + caddc 7813   ZZcz 9251   ZZ>=cuz 9526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527

This theorem is referenced by:  seq3-1  10457  seq1cd  10462