Theorem frecuzrdg0t 10357

Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
frecuzrdgrclt.a	|- ( ph -> A e. S )
frecuzrdgrclt.t	|- ( ph -> S C_ T )
frecuzrdgrclt.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
frecuzrdgrclt.r	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
frecuzrdg0t.ran	|- ( ph -> P = ran R )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdg0t	|- ( ph -> ( P ` C ) = A )

Distinct variable groups:   x, C, y   x, F, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   P( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdg0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frecuzrdgrclt.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
3		frecuzrdgrclt.t	. . . 4 |- ( ph -> S C_ T )
4		frecuzrdgrclt.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
5		frecuzrdgrclt.r	. . . 4 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
6		frecuzrdg0t.ran	. . . 4 |- ( ph -> P = ran R )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	frecuzrdgtclt 10356	. . 3 |- ( ph -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )
8		ffun 5340	. . 3 |- ( P : ( ZZ>= ` C ) --> S -> Fun P )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> Fun P )
10	5	fveq1i 5487	. . . . 5 |- ( R ` (/) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` (/) )
11		opexg 4206	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. S ) -> <. C , A >. e. _V )
12	1, 2, 11	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ph -> <. C , A >. e. _V )
13		frec0g 6365	. . . . . 6 |- ( <. C , A >. e. _V -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` (/) ) = <. C , A >. )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` (/) ) = <. C , A >. )
15	10, 14	syl5eq 2211	. . . 4 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = <. C , A >. )
16	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 10350	. . . . . 6 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
17		ffn 5337	. . . . . 6 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> R Fn om )
18	16, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> R Fn om )
19		peano1 4571	. . . . 5 |- (/) e. om
20		fnfvelrn 5617	. . . . 5 |- ( ( R Fn om /\ (/) e. om ) -> ( R ` (/) ) e. ran R )
21	18, 19, 20	sylancl 410	. . . 4 |- ( ph -> ( R ` (/) ) e. ran R )
22	15, 21	eqeltrrd 2244	. . 3 |- ( ph -> <. C , A >. e. ran R )
23	22, 6	eleqtrrd 2246	. 2 |- ( ph -> <. C , A >. e. P )
24		funopfv 5526	. 2 |- ( Fun P -> ( <. C , A >. e. P -> ( P ` C ) = A ) )
25	9, 23, 24	sylc 62	1 |- ( ph -> ( P ` C ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   (/)c0 3409   <.cop 3579   omcom 4567   X. cxp 4602   ran crn 4605   Fun wfun 5182   Fn wfn 5183   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844  freccfrec 6358   1c1 7754   + caddc 7756   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by:  seq3-1  10395  seq1cd  10400