Theorem frecuzrdg0t 10493

Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
frecuzrdgrclt.a	|- ( ph -> A e. S )
frecuzrdgrclt.t	|- ( ph -> S C_ T )
frecuzrdgrclt.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
frecuzrdgrclt.r	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
frecuzrdg0t.ran	|- ( ph -> P = ran R )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdg0t	|- ( ph -> ( P ` C ) = A )

Distinct variable groups:   x, C, y   x, F, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   P( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdg0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frecuzrdgrclt.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
3		frecuzrdgrclt.t	. . . 4 |- ( ph -> S C_ T )
4		frecuzrdgrclt.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
5		frecuzrdgrclt.r	. . . 4 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
6		frecuzrdg0t.ran	. . . 4 |- ( ph -> P = ran R )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	frecuzrdgtclt 10492	. . 3 |- ( ph -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )
8		ffun 5406	. . 3 |- ( P : ( ZZ>= ` C ) --> S -> Fun P )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> Fun P )
10	5	fveq1i 5555	. . . . 5 |- ( R ` (/) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` (/) )
11		opexg 4257	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. S ) -> <. C , A >. e. _V )
12	1, 2, 11	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> <. C , A >. e. _V )
13		frec0g 6450	. . . . . 6 |- ( <. C , A >. e. _V -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` (/) ) = <. C , A >. )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` (/) ) = <. C , A >. )
15	10, 14	eqtrid 2238	. . . 4 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = <. C , A >. )
16	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 10486	. . . . . 6 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
17		ffn 5403	. . . . . 6 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> R Fn om )
18	16, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> R Fn om )
19		peano1 4626	. . . . 5 |- (/) e. om
20		fnfvelrn 5690	. . . . 5 |- ( ( R Fn om /\ (/) e. om ) -> ( R ` (/) ) e. ran R )
21	18, 19, 20	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> ( R ` (/) ) e. ran R )
22	15, 21	eqeltrrd 2271	. . 3 |- ( ph -> <. C , A >. e. ran R )
23	22, 6	eleqtrrd 2273	. 2 |- ( ph -> <. C , A >. e. P )
24		funopfv 5596	. 2 |- ( Fun P -> ( <. C , A >. e. P -> ( P ` C ) = A ) )
25	9, 23, 24	sylc 62	1 |- ( ph -> ( P ` C ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   (/)c0 3446   <.cop 3621   omcom 4622   X. cxp 4657   ran crn 4660   Fun wfun 5248   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   e. cmpo 5920  freccfrec 6443   1c1 7873   + caddc 7875   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by:  seq3-1  10533  seq1cd  10540