Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq1cd GIF version

Theorem seq1cd 10267
 Description: Initial value of the recursive sequence builder. A version of seq3-1 10262 which provides two classes 𝐷 and 𝐶 for the terms and the value being accumulated, respectively. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
seq1cd.1 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝐶)
seq1cd.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
seq1cd.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
seq1cd.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
seq1cd (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq1cd
Dummy variables 𝑠 𝑡 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seq1cd.4 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 seq1cd.1 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝐶)
3 ssv 3122 . . 3 𝐶 ⊆ V
43a1i 9 . 2 (𝜑𝐶 ⊆ V)
5 seq1cd.5 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
6 seq1cd.2 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
75, 6seqovcd 10265 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝐶)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝐶)
8 iseqvalcbv 10259 . 2 frec((𝑠 ∈ (ℤ𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ𝑀), 𝑣𝐶 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
91, 8, 2, 6, 5seqvalcd 10261 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = ran frec((𝑠 ∈ (ℤ𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ𝑀), 𝑣𝐶 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
101, 2, 4, 7, 8, 9frecuzrdg0t 10224 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689   ⊆ wss 3074  ⟨cop 3533  ‘cfv 5129  (class class class)co 5780   ∈ cmpo 5782  freccfrec 6293  1c1 7643   + caddc 7645  ℤcz 9076  ℤ≥cuz 9348  seqcseq 10247 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4049  ax-sep 4052  ax-nul 4060  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-iinf 4508  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-1re 7736  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-addcom 7742  ax-addass 7744  ax-distr 7746  ax-i2m1 7747  ax-0lt1 7748  ax-0id 7750  ax-rnegex 7751  ax-cnre 7753  ax-pre-ltirr 7754  ax-pre-ltwlin 7755  ax-pre-lttrn 7756  ax-pre-ltadd 7758 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-nul 3367  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-int 3778  df-iun 3821  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-tr 4033  df-id 4221  df-iord 4294  df-on 4296  df-ilim 4297  df-suc 4299  df-iom 4511  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-f1 5134  df-fo 5135  df-f1o 5136  df-fv 5137  df-riota 5736  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-1st 6044  df-2nd 6045  df-recs 6208  df-frec 6294  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-ltxr 7827  df-le 7828  df-sub 7957  df-neg 7958  df-inn 8743  df-n0 9000  df-z 9077  df-uz 9349  df-seqfrec 10248 This theorem is referenced by:  ennnfonelem0  11947
 Copyright terms: Public domain W3C validator