Theorem sshashneg 11264

Description: Subsets of a class of a negative size (a degenerate case). Together with ssenneg 11263 this shows that sseqn 11262 could not be extended beyond N e. NN0. (Contributed by Jim Kingdon, 22-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sshashneg	|- ( ( N e. ZZ /\ N < 0 ) -> { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = N } = (/) )

Distinct variable groups:   x, N   x, A

Proof of Theorem sshashneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8321	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ N < 0 ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> 0 e. RR )
2		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ZZ /\ N < 0 ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. ( ~P A i^i Fin ) )
3	2	elin2d 3419	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ N < 0 ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
4		hashcl 11203	. . . . . . 7 |- ( x e. Fin -> (♯ ` x ) e. NN0 )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ N < 0 ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (♯ ` x ) e. NN0 )
6	5	nn0red 9604	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ N < 0 ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (♯ ` x ) e. RR )
7	5	nn0ge0d 9606	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ N < 0 ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> 0 <_ (♯ ` x ) )
8	1, 6, 7	lensymd 8442	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ N < 0 ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> -. (♯ ` x ) < 0 )
9		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ N < 0 ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (♯ ` x ) = N ) -> (♯ ` x ) = N )
10		simpllr 540	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ N < 0 ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (♯ ` x ) = N ) -> N < 0 )
11	9, 10	eqbrtrd 4150	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ N < 0 ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (♯ ` x ) = N ) -> (♯ ` x ) < 0 )
12	8, 11	mtand 675	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ N < 0 ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> -. (♯ ` x ) = N )
13	12	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ N < 0 ) -> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) -. (♯ ` x ) = N )
14		rabeq0 3552	. 2 |- ( { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = N } = (/) <-> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) -. (♯ ` x ) = N )
15	13, 14	sylibr 134	1 |- ( ( N e. ZZ /\ N < 0 ) -> { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = N } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   i^i cin 3219   (/)c0 3520   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4128   ` cfv 5375   Fincfn 7016   0cc0 8173   < clt 8354   NN0cn0 9546   ZZcz 9627  ♯chash 11197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-recs 6570  df-frec 6656  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-ihash 11198

This theorem is referenced by: (None)