Theorem hashfibclem 11210

Description: Lemma for hashfibc 11211: inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashbc.1	|- ( ph -> A e. Fin )
hashbc.2	|- ( ph -> -. z e. A )
hashfibc.3	|- ( ph -> A. j e. ZZ ( (♯ ` A ) _C j ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = j } ) )
hashbc.4	|- ( ph -> K e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
hashfibclem	|- ( ph -> ( (♯ ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, z   j, K, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( z, j)   K( z)

Proof of Theorem hashfibclem

Dummy variables u v r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6060	. . . . . 6 |- ( j = K -> ( (♯ ` A ) _C j ) = ( (♯ ` A ) _C K ) )
2		eqeq2 2244	. . . . . . . 8 |- ( j = K -> ( (♯ ` x ) = j <-> (♯ ` x ) = K ) )
3	2	rabbidv 2804	. . . . . . 7 |- ( j = K -> { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = j } = { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } )
4	3	fveq2d 5676	. . . . . 6 |- ( j = K -> (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = j } ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } ) )
5	1, 4	eqeq12d 2249	. . . . 5 |- ( j = K -> ( ( (♯ ` A ) _C j ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = j } ) <-> ( (♯ ` A ) _C K ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } ) ) )
6		hashfibc.3	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. ZZ ( (♯ ` A ) _C j ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = j } ) )
7		hashbc.4	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ZZ )
8	5, 6, 7	rspcdva 2928	. . . 4 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) _C K ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } ) )
9		ssun1 3384	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A C_ ( A u. { z } )
10	9	sspwi 3685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ~P A C_ ~P ( A u. { z } )
11	10	sseli 3236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~P A -> x e. ~P ( A u. { z } ) )
12	11	anim1i 340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P A /\ x e. Fin ) -> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ x e. Fin ) )
13		elin 3404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( x e. ~P A /\ x e. Fin ) )
14		elin 3404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) <-> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ x e. Fin ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) )
16	15	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) )
17		elinel1 3407	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ~P A )
18		hashbc.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. z e. A )
19		elpwi 3680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
20	19	ssneld 3242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P A -> ( -. z e. A -> -. z e. x ) )
21	18, 20	mpan9 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ~P A ) -> -. z e. x )
22	17, 21	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> -. z e. x )
23	16, 22	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ -. z e. x ) )
24		elinel1 3407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) -> x e. ~P ( A u. { z } ) )
25		elpwi 3680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> x C_ ( A u. { z } ) )
26		uncom 3365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A u. { z } ) = ( { z } u. A )
27	25, 26	sseqtrdi 3288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> x C_ ( { z } u. A ) )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x C_ ( { z } u. A ) )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> -. z e. x )
30		disjsn 3753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. x )
31	29, 30	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> ( x i^i { z } ) = (/) )
32		disjssun 3574	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x i^i { z } ) = (/) -> ( x C_ ( { z } u. A ) <-> x C_ A ) )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> ( x C_ ( { z } u. A ) <-> x C_ A ) )
34	28, 33	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x C_ A )
35		vex 2818	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
36	35	elpw 3677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
37	34, 36	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x e. ~P A )
38	24, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ -. z e. x ) -> x e. ~P A )
39		elinel2 3408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) -> x e. Fin )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ -. z e. x ) -> x e. Fin )
41	38, 40	elind 3406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ -. z e. x ) -> x e. ( ~P A i^i Fin ) )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ -. z e. x ) ) -> x e. ( ~P A i^i Fin ) )
43	23, 42	impbida 600	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ -. z e. x ) ) )
44	43	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` x ) = K ) <-> ( ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ -. z e. x ) /\ (♯ ` x ) = K ) ) )
45		anass 401	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ -. z e. x ) /\ (♯ ` x ) = K ) <-> ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) )
46	44, 45	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` x ) = K ) <-> ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) ) )
47	46	rabbidva2 2799	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } = { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } )
48	47	fveq2d 5676	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } ) = (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) )
49	8, 48	eqtrd 2267	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) _C K ) = (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) )
50		oveq2 6060	. . . . . 6 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( (♯ ` A ) _C j ) = ( (♯ ` A ) _C ( K - 1 ) ) )
51		eqeq2 2244	. . . . . . . 8 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( (♯ ` x ) = j <-> (♯ ` x ) = ( K - 1 ) ) )
52	51	rabbidv 2804	. . . . . . 7 |- ( j = ( K - 1 ) -> { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = j } = { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } )
53	52	fveq2d 5676	. . . . . 6 |- ( j = ( K - 1 ) -> (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = j } ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
54	50, 53	eqeq12d 2249	. . . . 5 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( ( (♯ ` A ) _C j ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = j } ) <-> ( (♯ ` A ) _C ( K - 1 ) ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ) ) )
55		peano2zm 9617	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
56	7, 55	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( K - 1 ) e. ZZ )
57	54, 6, 56	rspcdva 2928	. . . 4 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) _C ( K - 1 ) ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
58		eqid 2234	. . . . . . 7 |- { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } = { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) }
59		hashbc.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. Fin )
60	59	pwexd 4296	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ~P A e. _V )
61		inss1 3443	. . . . . . . . 9 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
62	61	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A )
63	60, 62	ssexd 4252	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
64	58, 63	rabexd 4259	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } e. _V )
65		eqid 2234	. . . . . . 7 |- { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } = { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) }
66		vsnex 4326	. . . . . . . . . 10 |- { z } e. _V
67		unexg 4566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ { z } e. _V ) -> ( A u. { z } ) e. _V )
68	59, 66, 67	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A u. { z } ) e. _V )
69	68	pwexd 4296	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ~P ( A u. { z } ) e. _V )
70		inex1g 4248	. . . . . . . 8 |- ( ~P ( A u. { z } ) e. _V -> ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) e. _V )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) e. _V )
72	65, 71	rabexd 4259	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } e. _V )
73		fveqeq2 5681	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( (♯ ` x ) = ( K - 1 ) <-> (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) )
74	73	elrab 2975	. . . . . . 7 |- ( u e. { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } <-> ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) )
75		eleq2 2298	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( z e. x <-> z e. ( u u. { z } ) ) )
76		fveqeq2 5681	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( (♯ ` x ) = K <-> (♯ ` ( u u. { z } ) ) = K ) )
77	75, 76	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) <-> ( z e. ( u u. { z } ) /\ (♯ ` ( u u. { z } ) ) = K ) ) )
78		elinel1 3407	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( ~P A i^i Fin ) -> u e. ~P A )
79		elpwi 3680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ~P A -> u C_ A )
80	79	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> u C_ A )
81		unss1 3390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u C_ A -> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
82	80, 81	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
83		vex 2818	. . . . . . . . . . . . . 14 |- u e. _V
84	83, 66	unex 4564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u u. { z } ) e. _V
85	84	elpw 3677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) <-> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
86	82, 85	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) )
87	78, 86	sylanr1 404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) )
88		simprl 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> u e. ( ~P A i^i Fin ) )
89	88	elin2d 3411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> u e. Fin )
90		vex 2818	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> z e. _V )
92	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> -. z e. A )
93	80, 92	ssneldd 3243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> -. z e. u )
94	78, 93	sylanr1 404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> -. z e. u )
95		unsnfi 7181	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. Fin /\ z e. _V /\ -. z e. u ) -> ( u u. { z } ) e. Fin )
96	89, 91, 94, 95	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. Fin )
97	87, 96	elind 3406	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) )
98		snfig 7058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. _V -> { z } e. Fin )
99	98	elv 2819	. . . . . . . . . . . . 13 |- { z } e. Fin
100	99	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> { z } e. Fin )
101		disjsn 3753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. u )
102	94, 101	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u i^i { z } ) = (/) )
103		hashun 11173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( u i^i { z } ) = (/) ) -> (♯ ` ( u u. { z } ) ) = ( (♯ ` u ) + (♯ ` { z } ) ) )
104	89, 100, 102, 103	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> (♯ ` ( u u. { z } ) ) = ( (♯ ` u ) + (♯ ` { z } ) ) )
105		simprr 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> (♯ ` u ) = ( K - 1 ) )
106		hashsng 11165	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. _V -> (♯ ` { z } ) = 1 )
107	106	elv 2819	. . . . . . . . . . . . 13 |- (♯ ` { z } ) = 1
108	107	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> (♯ ` { z } ) = 1 )
109	105, 108	oveq12d 6070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( (♯ ` u ) + (♯ ` { z } ) ) = ( ( K - 1 ) + 1 ) )
110	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
111	110	zcnd 9704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> K e. CC )
112	78, 111	sylanr1 404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> K e. CC )
113		ax-1cn 8222	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
114		npcan 8484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
115	112, 113, 114	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
116	104, 109, 115	3eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> (♯ ` ( u u. { z } ) ) = K )
117		ssun2 3385	. . . . . . . . . . 11 |- { z } C_ ( u u. { z } )
118	90	snss 3831	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( u u. { z } ) <-> { z } C_ ( u u. { z } ) )
119	117, 118	mpbir 146	. . . . . . . . . 10 |- z e. ( u u. { z } )
120	116, 119	jctil 312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( z e. ( u u. { z } ) /\ (♯ ` ( u u. { z } ) ) = K ) )
121	77, 97, 120	elrabd 2977	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } )
122	121	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) -> ( u u. { z } ) e. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) )
123	74, 122	biimtrid 152	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } -> ( u u. { z } ) e. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) )
124		eleq2 2298	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( z e. x <-> z e. v ) )
125		fveqeq2 5681	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( (♯ ` x ) = K <-> (♯ ` v ) = K ) )
126	124, 125	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( x = v -> ( ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) <-> ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) )
127	126	elrab 2975	. . . . . . 7 |- ( v e. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } <-> ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) )
128		fveqeq2 5681	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( v \ { z } ) -> ( (♯ ` x ) = ( K - 1 ) <-> (♯ ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) ) )
129		elinel1 3407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) -> v e. ~P ( A u. { z } ) )
130	129	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> v e. ~P ( A u. { z } ) )
131		elpwi 3680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. ~P ( A u. { z } ) -> v C_ ( A u. { z } ) )
132	131, 26	sseqtrdi 3288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ~P ( A u. { z } ) -> v C_ ( { z } u. A ) )
133		ssundifim 3595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v C_ ( { z } u. A ) -> ( v \ { z } ) C_ A )
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ~P ( A u. { z } ) -> ( v \ { z } ) C_ A )
135		vex 2818	. . . . . . . . . . . . . 14 |- v e. _V
136	135	difexi 4255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v \ { z } ) e. _V
137	136	elpw 3677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v \ { z } ) e. ~P A <-> ( v \ { z } ) C_ A )
138	134, 137	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. ~P ( A u. { z } ) -> ( v \ { z } ) e. ~P A )
139	130, 138	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. ~P A )
140		elinel2 3408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) -> v e. Fin )
141	140	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> v e. Fin )
142		simprrl 541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> z e. v )
143		diffisn 7152	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. Fin /\ z e. v ) -> ( v \ { z } ) e. Fin )
144	141, 142, 143	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. Fin )
145	139, 144	elind 3406	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
146		hashcl 11148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v \ { z } ) e. Fin -> (♯ ` ( v \ { z } ) ) e. NN0 )
147	144, 146	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> (♯ ` ( v \ { z } ) ) e. NN0 )
148	147	nn0cnd 9557	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> (♯ ` ( v \ { z } ) ) e. CC )
149		pncan 8481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = (♯ ` ( v \ { z } ) ) )
150	148, 113, 149	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = (♯ ` ( v \ { z } ) ) )
151		uncom 3365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v \ { z } ) u. { z } ) = ( { z } u. ( v \ { z } ) )
152	99	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> { z } e. Fin )
153	142	snssd 3841	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> { z } C_ v )
154		undiffi 7187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. Fin /\ { z } e. Fin /\ { z } C_ v ) -> v = ( { z } u. ( v \ { z } ) ) )
155	141, 152, 153, 154	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> v = ( { z } u. ( v \ { z } ) ) )
156	151, 155	eqtr4id 2286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) u. { z } ) = v )
157	156	fveq2d 5676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> (♯ ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = (♯ ` v ) )
158		disjdifr 3584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/)
159	158	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/) )
160		hashun 11173	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( v \ { z } ) e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/) ) -> (♯ ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) + (♯ ` { z } ) ) )
161	144, 152, 159, 160	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> (♯ ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) + (♯ ` { z } ) ) )
162	107	oveq2i 6063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) + (♯ ` { z } ) ) = ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) + 1 )
163	161, 162	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> (♯ ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) )
164		simprrr 542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> (♯ ` v ) = K )
165	157, 163, 164	3eqtr3d 2275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) = K )
166	165	oveq1d 6067	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( K - 1 ) )
167	150, 166	eqtr3d 2269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> (♯ ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) )
168	128, 145, 167	elrabd 2977	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } )
169	168	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) -> ( v \ { z } ) e. { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
170	127, 169	biimtrid 152	. . . . . 6 |- ( ph -> ( v e. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } -> ( v \ { z } ) e. { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
171	74, 127	anbi12i 460	. . . . . . 7 |- ( ( u e. { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } /\ v e. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) <-> ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) )
172		uncom 3365	. . . . . . . . . 10 |- ( { z } u. ( v \ { z } ) ) = ( ( v \ { z } ) u. { z } )
173	141	adantrl 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> v e. Fin )
174	99	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> { z } e. Fin )
175	153	adantrl 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> { z } C_ v )
176	173, 174, 175, 154	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> v = ( { z } u. ( v \ { z } ) ) )
177	176	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) /\ u = ( v \ { z } ) ) -> v = ( { z } u. ( v \ { z } ) ) )
178		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) /\ u = ( v \ { z } ) ) -> u = ( v \ { z } ) )
179	178	uneq1d 3374	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) /\ u = ( v \ { z } ) ) -> ( u u. { z } ) = ( ( v \ { z } ) u. { z } ) )
180	172, 177, 179	3eqtr4a 2293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) /\ u = ( v \ { z } ) ) -> v = ( u u. { z } ) )
181		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) /\ v = ( u u. { z } ) ) -> v = ( u u. { z } ) )
182		uncom 3365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u u. { z } ) = ( { z } u. u )
183	181, 182	eqtr2di 2284	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) /\ v = ( u u. { z } ) ) -> ( { z } u. u ) = v )
184		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> ph )
185	78	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) -> u e. ~P A )
186	185	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> u e. ~P A )
187		simprlr 540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> (♯ ` u ) = ( K - 1 ) )
188		incom 3413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { z } i^i u ) = ( u i^i { z } )
189	93, 101	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u i^i { z } ) = (/) )
190	188, 189	eqtrid 2279	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( { z } i^i u ) = (/) )
191	184, 186, 187, 190	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> ( { z } i^i u ) = (/) )
192		uneqdifeqim 3597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { z } C_ v /\ ( { z } i^i u ) = (/) ) -> ( ( { z } u. u ) = v -> ( v \ { z } ) = u ) )
193	175, 191, 192	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> ( ( { z } u. u ) = v -> ( v \ { z } ) = u ) )
194	193	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) /\ v = ( u u. { z } ) ) -> ( ( { z } u. u ) = v -> ( v \ { z } ) = u ) )
195	183, 194	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) /\ v = ( u u. { z } ) ) -> ( v \ { z } ) = u )
196	195	eqcomd 2240	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) /\ v = ( u u. { z } ) ) -> u = ( v \ { z } ) )
197	180, 196	impbida 600	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) )
198	197	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) ) )
199	171, 198	biimtrid 152	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } /\ v e. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) ) )
200	64, 72, 123, 170, 199	en3d 7010	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } )
201		fipwfi 7274	. . . . . . . 8 |- ( A e. Fin -> ( ~P A i^i Fin ) e. Fin )
202	59, 201	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ~P A i^i Fin ) e. Fin )
203		elinel2 3408	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. Fin )
204		hashcl 11148	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Fin -> (♯ ` x ) e. NN0 )
205	203, 204	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> (♯ ` x ) e. NN0 )
206	205	nn0zd 9701	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> (♯ ` x ) e. ZZ )
207		zdceq 9655	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` x ) e. ZZ /\ ( K - 1 ) e. ZZ ) -> DECID (♯ ` x ) = ( K - 1 ) )
208	206, 56, 207	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> DECID (♯ ` x ) = ( K - 1 ) )
209	208	ralrimiva 2617	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( ~P A i^i Fin )DECID (♯ ` x ) = ( K - 1 ) )
210	202, 209	ssfirab 7199	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin )
211	90	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> z e. _V )
212		unsnfi 7181	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ z e. _V /\ -. z e. A ) -> ( A u. { z } ) e. Fin )
213	59, 211, 18, 212	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A u. { z } ) e. Fin )
214		fipwfi 7274	. . . . . . . 8 |- ( ( A u. { z } ) e. Fin -> ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) e. Fin )
215	213, 214	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) e. Fin )
216		elequ1 2209	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = z -> ( r e. x <-> z e. x ) )
217	216	dcbid 846	. . . . . . . . . 10 |- ( r = z -> (DECID r e. x <-> DECID z e. x ) )
218	24	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> x e. ~P ( A u. { z } ) )
219	218, 25	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> x C_ ( A u. { z } ) )
220	213	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> ( A u. { z } ) e. Fin )
221	39	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
222		fissfi 7218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x C_ ( A u. { z } ) /\ ( A u. { z } ) e. Fin /\ x e. Fin ) -> A. r e. ( A u. { z } )DECID r e. x )
223	219, 220, 221, 222	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> A. r e. ( A u. { z } )DECID r e. x )
224		ssun2 3385	. . . . . . . . . . . 12 |- { z } C_ ( A u. { z } )
225		vsnid 3723	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. { z }
226	224, 225	sselii 3237	. . . . . . . . . . 11 |- z e. ( A u. { z } )
227	226	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> z e. ( A u. { z } ) )
228	217, 223, 227	rspcdva 2928	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> DECID z e. x )
229	39, 204	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) -> (♯ ` x ) e. NN0 )
230	229	nn0zd 9701	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) -> (♯ ` x ) e. ZZ )
231		zdceq 9655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` x ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> DECID (♯ ` x ) = K )
232	230, 7, 231	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> DECID (♯ ` x ) = K )
233	228, 232	dcand 941	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> DECID ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) )
234	233	ralrimiva 2617	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin )DECID ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) )
235	215, 234	ssfirab 7199	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } e. Fin )
236		hashen 11151	. . . . . 6 |- ( ( { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin /\ { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } e. Fin ) -> ( (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ) = (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) <-> { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) )
237	210, 235, 236	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ) = (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) <-> { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) )
238	200, 237	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ) = (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) )
239	57, 238	eqtrd 2267	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) _C ( K - 1 ) ) = (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) )
240	49, 239	oveq12d 6070	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) _C K ) + ( (♯ ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) + (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) ) )
241	99	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> { z } e. Fin )
242		disjsn 3753	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. A )
243	18, 242	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A i^i { z } ) = (/) )
244		hashun 11173	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( A i^i { z } ) = (/) ) -> (♯ ` ( A u. { z } ) ) = ( (♯ ` A ) + (♯ ` { z } ) ) )
245	59, 241, 243, 244	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` ( A u. { z } ) ) = ( (♯ ` A ) + (♯ ` { z } ) ) )
246	107	oveq2i 6063	. . . . 5 |- ( (♯ ` A ) + (♯ ` { z } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 )
247	245, 246	eqtrdi 2283	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` ( A u. { z } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) )
248	247	oveq1d 6067	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( ( (♯ ` A ) + 1 ) _C K ) )
249		hashcl 11148	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
250	59, 249	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. NN0 )
251		bcpasc 11132	. . . 4 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( (♯ ` A ) _C K ) + ( (♯ ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( (♯ ` A ) + 1 ) _C K ) )
252	250, 7, 251	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) _C K ) + ( (♯ ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( (♯ ` A ) + 1 ) _C K ) )
253	248, 252	eqtr4d 2270	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( ( (♯ ` A ) _C K ) + ( (♯ ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) )
254		pm2.1dc 845	. . . . . . . . 9 |- (DECID z e. x -> ( -. z e. x \/ z e. x ) )
255	228, 254	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> ( -. z e. x \/ z e. x ) )
256	255	biantrurd 305	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> ( (♯ ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x \/ z e. x ) /\ (♯ ` x ) = K ) ) )
257		andir 827	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. z e. x \/ z e. x ) /\ (♯ ` x ) = K ) <-> ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) )
258	256, 257	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> ( (♯ ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) ) )
259	258	rabbidva 2803	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } = { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) } )
260		unrab 3494	. . . . 5 |- ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } u. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) = { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) }
261	259, 260	eqtr4di 2285	. . . 4 |- ( ph -> { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } = ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } u. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) )
262	261	fveq2d 5676	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } ) = (♯ ` ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } u. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) ) )
263		dcn 850	. . . . . . . 8 |- (DECID z e. x -> DECID -. z e. x )
264	228, 263	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> DECID -. z e. x )
265	264, 232	dcand 941	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> DECID ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) )
266	265	ralrimiva 2617	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin )DECID ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) )
267	215, 266	ssfirab 7199	. . . 4 |- ( ph -> { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } e. Fin )
268		inrab 3495	. . . . . 6 |- ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } i^i { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) = { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) }
269		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) -> z e. x )
270		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) -> -. z e. x )
271	269, 270	pm2.65i 644	. . . . . . . 8 |- -. ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) )
272	271	rgenw 2599	. . . . . . 7 |- A. x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) -. ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) )
273		rabeq0 3540	. . . . . . 7 |- ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) } = (/) <-> A. x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) -. ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) )
274	272, 273	mpbir 146	. . . . . 6 |- { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) } = (/)
275	268, 274	eqtri 2255	. . . . 5 |- ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } i^i { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) = (/)
276	275	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } i^i { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) = (/) )
277		hashun 11173	. . . 4 |- ( ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } e. Fin /\ { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } e. Fin /\ ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } i^i { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) = (/) ) -> (♯ ` ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } u. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) ) = ( (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) + (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) ) )
278	267, 235, 276, 277	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } u. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) ) = ( (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) + (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) ) )
279	262, 278	eqtrd 2267	. 2 |- ( ph -> (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } ) = ( (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) + (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) ) )
280	240, 253, 279	3eqtr4d 2277	1 |- ( ph -> ( (♯ ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   _Vcvv 2815   \ cdif 3210   u. cun 3211   i^i cin 3212   C_ wss 3213   (/)c0 3510   ~Pcpw 3671   {csn 3691   class class class wbr 4111   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   ~~ cen 6975   Fincfn 6977   CCcc 8127   1c1 8130   + caddc 8132   - cmin 8446   NN0cn0 9498   ZZcz 9579   _C cbc 11113  ♯chash 11142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-oadd 6653  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-fz 10346  df-seqfrec 10814  df-fac 11092  df-bc 11114  df-ihash 11143

This theorem is referenced by:  hashfibc  11211