Theorem hashfibclem 11260

Description: Lemma for hashfibc 11261: inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashbc.1	|- ( ph -> A e. Fin )
hashbc.2	|- ( ph -> -. z e. A )
hashfibc.3	|- ( ph -> A. j e. ZZ ( (♯ ` A ) _C j ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = j } ) )
hashbc.4	|- ( ph -> K e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
hashfibclem	|- ( ph -> ( (♯ ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, z   j, K, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( z, j)   K( z)

Proof of Theorem hashfibclem

Dummy variables u v r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6083	. . . . . 6 |- ( j = K -> ( (♯ ` A ) _C j ) = ( (♯ ` A ) _C K ) )
2		eqeq2 2248	. . . . . . . 8 |- ( j = K -> ( (♯ ` x ) = j <-> (♯ ` x ) = K ) )
3	2	rabbidv 2810	. . . . . . 7 |- ( j = K -> { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = j } = { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } )
4	3	fveq2d 5694	. . . . . 6 |- ( j = K -> (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = j } ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } ) )
5	1, 4	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( j = K -> ( ( (♯ ` A ) _C j ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = j } ) <-> ( (♯ ` A ) _C K ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } ) ) )
6		hashfibc.3	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. ZZ ( (♯ ` A ) _C j ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = j } ) )
7		hashbc.4	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ZZ )
8	5, 6, 7	rspcdva 2934	. . . 4 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) _C K ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } ) )
9		ssun1 3392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A C_ ( A u. { z } )
10	9	sspwi 3699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ~P A C_ ~P ( A u. { z } )
11	10	sseli 3244	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~P A -> x e. ~P ( A u. { z } ) )
12	11	anim1i 340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P A /\ x e. Fin ) -> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ x e. Fin ) )
13		elin 3412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( x e. ~P A /\ x e. Fin ) )
14		elin 3412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) <-> ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ x e. Fin ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) )
16	15	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) )
17		elinel1 3415	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ~P A )
18		hashbc.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. z e. A )
19		elpwi 3694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
20	19	ssneld 3250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P A -> ( -. z e. A -> -. z e. x ) )
21	18, 20	mpan9 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ~P A ) -> -. z e. x )
22	17, 21	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> -. z e. x )
23	16, 22	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ -. z e. x ) )
24		elinel1 3415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) -> x e. ~P ( A u. { z } ) )
25		elpwi 3694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> x C_ ( A u. { z } ) )
26		uncom 3373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A u. { z } ) = ( { z } u. A )
27	25, 26	sseqtrdi 3296	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ~P ( A u. { z } ) -> x C_ ( { z } u. A ) )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x C_ ( { z } u. A ) )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> -. z e. x )
30		disjsn 3767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. x )
31	29, 30	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> ( x i^i { z } ) = (/) )
32		disjssun 3587	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x i^i { z } ) = (/) -> ( x C_ ( { z } u. A ) <-> x C_ A ) )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> ( x C_ ( { z } u. A ) <-> x C_ A ) )
34	28, 33	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x C_ A )
35		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
36	35	elpw 3691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
37	34, 36	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ( A u. { z } ) /\ -. z e. x ) -> x e. ~P A )
38	24, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ -. z e. x ) -> x e. ~P A )
39		elinel2 3416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) -> x e. Fin )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ -. z e. x ) -> x e. Fin )
41	38, 40	elind 3414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ -. z e. x ) -> x e. ( ~P A i^i Fin ) )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ -. z e. x ) ) -> x e. ( ~P A i^i Fin ) )
43	23, 42	impbida 604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ -. z e. x ) ) )
44	43	anbi1d 469	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` x ) = K ) <-> ( ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ -. z e. x ) /\ (♯ ` x ) = K ) ) )
45		anass 405	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ -. z e. x ) /\ (♯ ` x ) = K ) <-> ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) )
46	44, 45	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` x ) = K ) <-> ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) ) )
47	46	rabbidva2 2805	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } = { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } )
48	47	fveq2d 5694	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } ) = (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) )
49	8, 48	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) _C K ) = (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) )
50		oveq2 6083	. . . . . 6 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( (♯ ` A ) _C j ) = ( (♯ ` A ) _C ( K - 1 ) ) )
51		eqeq2 2248	. . . . . . . 8 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( (♯ ` x ) = j <-> (♯ ` x ) = ( K - 1 ) ) )
52	51	rabbidv 2810	. . . . . . 7 |- ( j = ( K - 1 ) -> { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = j } = { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } )
53	52	fveq2d 5694	. . . . . 6 |- ( j = ( K - 1 ) -> (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = j } ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
54	50, 53	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( j = ( K - 1 ) -> ( ( (♯ ` A ) _C j ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = j } ) <-> ( (♯ ` A ) _C ( K - 1 ) ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ) ) )
55		peano2zm 9661	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
56	7, 55	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( K - 1 ) e. ZZ )
57	54, 6, 56	rspcdva 2934	. . . 4 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) _C ( K - 1 ) ) = (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
58		eqid 2238	. . . . . . 7 |- { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } = { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) }
59		hashbc.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. Fin )
60	59	pwexd 4313	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ~P A e. _V )
61		inss1 3451	. . . . . . . . 9 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
62	61	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A )
63	60, 62	ssexd 4268	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
64	58, 63	rabexd 4276	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } e. _V )
65		eqid 2238	. . . . . . 7 |- { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } = { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) }
66		vsnex 4343	. . . . . . . . . 10 |- { z } e. _V
67		unexg 4584	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ { z } e. _V ) -> ( A u. { z } ) e. _V )
68	59, 66, 67	sylancl 417	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A u. { z } ) e. _V )
69	68	pwexd 4313	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ~P ( A u. { z } ) e. _V )
70		inex1g 4264	. . . . . . . 8 |- ( ~P ( A u. { z } ) e. _V -> ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) e. _V )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) e. _V )
72	65, 71	rabexd 4276	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } e. _V )
73		fveqeq2 5699	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( (♯ ` x ) = ( K - 1 ) <-> (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) )
74	73	elrab 2982	. . . . . . 7 |- ( u e. { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } <-> ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) )
75		eleq2 2302	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( z e. x <-> z e. ( u u. { z } ) ) )
76		fveqeq2 5699	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( (♯ ` x ) = K <-> (♯ ` ( u u. { z } ) ) = K ) )
77	75, 76	anbi12d 477	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( u u. { z } ) -> ( ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) <-> ( z e. ( u u. { z } ) /\ (♯ ` ( u u. { z } ) ) = K ) ) )
78		elinel1 3415	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( ~P A i^i Fin ) -> u e. ~P A )
79		elpwi 3694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ~P A -> u C_ A )
80	79	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> u C_ A )
81		unss1 3398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u C_ A -> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
82	80, 81	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
83		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- u e. _V
84	83, 66	unex 4582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u u. { z } ) e. _V
85	84	elpw 3691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) <-> ( u u. { z } ) C_ ( A u. { z } ) )
86	82, 85	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) )
87	78, 86	sylanr1 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. ~P ( A u. { z } ) )
88		simprl 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> u e. ( ~P A i^i Fin ) )
89	88	elin2d 3419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> u e. Fin )
90		vex 2824	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> z e. _V )
92	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> -. z e. A )
93	80, 92	ssneldd 3251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> -. z e. u )
94	78, 93	sylanr1 408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> -. z e. u )
95		unsnfi 7216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. Fin /\ z e. _V /\ -. z e. u ) -> ( u u. { z } ) e. Fin )
96	89, 91, 94, 95	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. Fin )
97	87, 96	elind 3414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) )
98		snfig 7093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. _V -> { z } e. Fin )
99	98	elv 2825	. . . . . . . . . . . . 13 |- { z } e. Fin
100	99	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> { z } e. Fin )
101		disjsn 3767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. u )
102	94, 101	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u i^i { z } ) = (/) )
103		hashun 11223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( u i^i { z } ) = (/) ) -> (♯ ` ( u u. { z } ) ) = ( (♯ ` u ) + (♯ ` { z } ) ) )
104	89, 100, 102, 103	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> (♯ ` ( u u. { z } ) ) = ( (♯ ` u ) + (♯ ` { z } ) ) )
105		simprr 537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> (♯ ` u ) = ( K - 1 ) )
106		hashsng 11215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. _V -> (♯ ` { z } ) = 1 )
107	106	elv 2825	. . . . . . . . . . . . 13 |- (♯ ` { z } ) = 1
108	107	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> (♯ ` { z } ) = 1 )
109	105, 108	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( (♯ ` u ) + (♯ ` { z } ) ) = ( ( K - 1 ) + 1 ) )
110	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
111	110	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> K e. CC )
112	78, 111	sylanr1 408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> K e. CC )
113		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
114		npcan 8525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
115	112, 113, 114	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
116	104, 109, 115	3eqtrd 2275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> (♯ ` ( u u. { z } ) ) = K )
117		ssun2 3393	. . . . . . . . . . 11 |- { z } C_ ( u u. { z } )
118	90	snss 3845	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( u u. { z } ) <-> { z } C_ ( u u. { z } ) )
119	117, 118	mpbir 146	. . . . . . . . . 10 |- z e. ( u u. { z } )
120	116, 119	jctil 312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( z e. ( u u. { z } ) /\ (♯ ` ( u u. { z } ) ) = K ) )
121	77, 97, 120	elrabd 2984	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u u. { z } ) e. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } )
122	121	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) -> ( u u. { z } ) e. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) )
123	74, 122	biimtrid 152	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } -> ( u u. { z } ) e. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) )
124		eleq2 2302	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( z e. x <-> z e. v ) )
125		fveqeq2 5699	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( (♯ ` x ) = K <-> (♯ ` v ) = K ) )
126	124, 125	anbi12d 477	. . . . . . . 8 |- ( x = v -> ( ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) <-> ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) )
127	126	elrab 2982	. . . . . . 7 |- ( v e. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } <-> ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) )
128		fveqeq2 5699	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( v \ { z } ) -> ( (♯ ` x ) = ( K - 1 ) <-> (♯ ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) ) )
129		elinel1 3415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) -> v e. ~P ( A u. { z } ) )
130	129	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> v e. ~P ( A u. { z } ) )
131		elpwi 3694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. ~P ( A u. { z } ) -> v C_ ( A u. { z } ) )
132	131, 26	sseqtrdi 3296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ~P ( A u. { z } ) -> v C_ ( { z } u. A ) )
133		ssundifim 3608	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v C_ ( { z } u. A ) -> ( v \ { z } ) C_ A )
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ~P ( A u. { z } ) -> ( v \ { z } ) C_ A )
135		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- v e. _V
136	135	difexi 4271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v \ { z } ) e. _V
137	136	elpw 3691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v \ { z } ) e. ~P A <-> ( v \ { z } ) C_ A )
138	134, 137	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. ~P ( A u. { z } ) -> ( v \ { z } ) e. ~P A )
139	130, 138	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. ~P A )
140		elinel2 3416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) -> v e. Fin )
141	140	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> v e. Fin )
142		simprrl 545	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> z e. v )
143		diffisn 7187	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. Fin /\ z e. v ) -> ( v \ { z } ) e. Fin )
144	141, 142, 143	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. Fin )
145	139, 144	elind 3414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
146		hashcl 11198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v \ { z } ) e. Fin -> (♯ ` ( v \ { z } ) ) e. NN0 )
147	144, 146	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> (♯ ` ( v \ { z } ) ) e. NN0 )
148	147	nn0cnd 9601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> (♯ ` ( v \ { z } ) ) e. CC )
149		pncan 8522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = (♯ ` ( v \ { z } ) ) )
150	148, 113, 149	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = (♯ ` ( v \ { z } ) ) )
151		uncom 3373	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v \ { z } ) u. { z } ) = ( { z } u. ( v \ { z } ) )
152	99	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> { z } e. Fin )
153	142	snssd 3855	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> { z } C_ v )
154		undiffi 7222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. Fin /\ { z } e. Fin /\ { z } C_ v ) -> v = ( { z } u. ( v \ { z } ) ) )
155	141, 152, 153, 154	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> v = ( { z } u. ( v \ { z } ) ) )
156	151, 155	eqtr4id 2290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) u. { z } ) = v )
157	156	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> (♯ ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = (♯ ` v ) )
158		disjdifr 3597	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/)
159	158	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/) )
160		hashun 11223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( v \ { z } ) e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( ( v \ { z } ) i^i { z } ) = (/) ) -> (♯ ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) + (♯ ` { z } ) ) )
161	144, 152, 159, 160	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> (♯ ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) + (♯ ` { z } ) ) )
162	107	oveq2i 6086	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) + (♯ ` { z } ) ) = ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) + 1 )
163	161, 162	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> (♯ ` ( ( v \ { z } ) u. { z } ) ) = ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) )
164		simprrr 546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> (♯ ` v ) = K )
165	157, 163, 164	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) = K )
166	165	oveq1d 6090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( ( (♯ ` ( v \ { z } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( K - 1 ) )
167	150, 166	eqtr3d 2273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> (♯ ` ( v \ { z } ) ) = ( K - 1 ) )
168	128, 145, 167	elrabd 2984	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( v \ { z } ) e. { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } )
169	168	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) -> ( v \ { z } ) e. { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
170	127, 169	biimtrid 152	. . . . . 6 |- ( ph -> ( v e. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } -> ( v \ { z } ) e. { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ) )
171	74, 127	anbi12i 464	. . . . . . 7 |- ( ( u e. { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } /\ v e. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) <-> ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) )
172		uncom 3373	. . . . . . . . . 10 |- ( { z } u. ( v \ { z } ) ) = ( ( v \ { z } ) u. { z } )
173	141	adantrl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> v e. Fin )
174	99	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> { z } e. Fin )
175	153	adantrl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> { z } C_ v )
176	173, 174, 175, 154	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> v = ( { z } u. ( v \ { z } ) ) )
177	176	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) /\ u = ( v \ { z } ) ) -> v = ( { z } u. ( v \ { z } ) ) )
178		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) /\ u = ( v \ { z } ) ) -> u = ( v \ { z } ) )
179	178	uneq1d 3382	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) /\ u = ( v \ { z } ) ) -> ( u u. { z } ) = ( ( v \ { z } ) u. { z } ) )
180	172, 177, 179	3eqtr4a 2297	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) /\ u = ( v \ { z } ) ) -> v = ( u u. { z } ) )
181		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) /\ v = ( u u. { z } ) ) -> v = ( u u. { z } ) )
182		uncom 3373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u u. { z } ) = ( { z } u. u )
183	181, 182	eqtr2di 2288	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) /\ v = ( u u. { z } ) ) -> ( { z } u. u ) = v )
184		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> ph )
185	78	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) -> u e. ~P A )
186	185	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> u e. ~P A )
187		simprlr 544	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> (♯ ` u ) = ( K - 1 ) )
188		incom 3421	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { z } i^i u ) = ( u i^i { z } )
189	93, 101	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( u i^i { z } ) = (/) )
190	188, 189	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P A /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) ) -> ( { z } i^i u ) = (/) )
191	184, 186, 187, 190	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> ( { z } i^i u ) = (/) )
192		uneqdifeqim 3610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { z } C_ v /\ ( { z } i^i u ) = (/) ) -> ( ( { z } u. u ) = v -> ( v \ { z } ) = u ) )
193	175, 191, 192	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> ( ( { z } u. u ) = v -> ( v \ { z } ) = u ) )
194	193	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) /\ v = ( u u. { z } ) ) -> ( ( { z } u. u ) = v -> ( v \ { z } ) = u ) )
195	183, 194	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) /\ v = ( u u. { z } ) ) -> ( v \ { z } ) = u )
196	195	eqcomd 2244	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) /\ v = ( u u. { z } ) ) -> u = ( v \ { z } ) )
197	180, 196	impbida 604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) )
198	197	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (♯ ` u ) = ( K - 1 ) ) /\ ( v e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) /\ ( z e. v /\ (♯ ` v ) = K ) ) ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) ) )
199	171, 198	biimtrid 152	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } /\ v e. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) -> ( u = ( v \ { z } ) <-> v = ( u u. { z } ) ) ) )
200	64, 72, 123, 170, 199	en3d 7045	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } )
201		fipwfi 7311	. . . . . . . 8 |- ( A e. Fin -> ( ~P A i^i Fin ) e. Fin )
202	59, 201	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ~P A i^i Fin ) e. Fin )
203		elinel2 3416	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. Fin )
204		hashcl 11198	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Fin -> (♯ ` x ) e. NN0 )
205	203, 204	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> (♯ ` x ) e. NN0 )
206	205	nn0zd 9745	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> (♯ ` x ) e. ZZ )
207		zdceq 9699	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` x ) e. ZZ /\ ( K - 1 ) e. ZZ ) -> DECID (♯ ` x ) = ( K - 1 ) )
208	206, 56, 207	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> DECID (♯ ` x ) = ( K - 1 ) )
209	208	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( ~P A i^i Fin )DECID (♯ ` x ) = ( K - 1 ) )
210	202, 209	ssfirab 7234	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin )
211	90	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> z e. _V )
212		unsnfi 7216	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ z e. _V /\ -. z e. A ) -> ( A u. { z } ) e. Fin )
213	59, 211, 18, 212	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A u. { z } ) e. Fin )
214		fipwfi 7311	. . . . . . . 8 |- ( ( A u. { z } ) e. Fin -> ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) e. Fin )
215	213, 214	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) e. Fin )
216		elequ1 2213	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = z -> ( r e. x <-> z e. x ) )
217	216	dcbid 850	. . . . . . . . . 10 |- ( r = z -> (DECID r e. x <-> DECID z e. x ) )
218	24	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> x e. ~P ( A u. { z } ) )
219	218, 25	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> x C_ ( A u. { z } ) )
220	213	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> ( A u. { z } ) e. Fin )
221	39	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
222		fissfi 7253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x C_ ( A u. { z } ) /\ ( A u. { z } ) e. Fin /\ x e. Fin ) -> A. r e. ( A u. { z } )DECID r e. x )
223	219, 220, 221, 222	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> A. r e. ( A u. { z } )DECID r e. x )
224		ssun2 3393	. . . . . . . . . . . 12 |- { z } C_ ( A u. { z } )
225		vsnid 3737	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. { z }
226	224, 225	sselii 3245	. . . . . . . . . . 11 |- z e. ( A u. { z } )
227	226	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> z e. ( A u. { z } ) )
228	217, 223, 227	rspcdva 2934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> DECID z e. x )
229	39, 204	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) -> (♯ ` x ) e. NN0 )
230	229	nn0zd 9745	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) -> (♯ ` x ) e. ZZ )
231		zdceq 9699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` x ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> DECID (♯ ` x ) = K )
232	230, 7, 231	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> DECID (♯ ` x ) = K )
233	228, 232	dcand 945	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> DECID ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) )
234	233	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin )DECID ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) )
235	215, 234	ssfirab 7234	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } e. Fin )
236		hashen 11201	. . . . . 6 |- ( ( { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } e. Fin /\ { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } e. Fin ) -> ( (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ) = (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) <-> { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) )
237	210, 235, 236	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ) = (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) <-> { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ~~ { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) )
238	200, 237	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. ( ~P A i^i Fin ) | (♯ ` x ) = ( K - 1 ) } ) = (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) )
239	57, 238	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` A ) _C ( K - 1 ) ) = (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) )
240	49, 239	oveq12d 6093	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) _C K ) + ( (♯ ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) + (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) ) )
241	99	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> { z } e. Fin )
242		disjsn 3767	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. A )
243	18, 242	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A i^i { z } ) = (/) )
244		hashun 11223	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( A i^i { z } ) = (/) ) -> (♯ ` ( A u. { z } ) ) = ( (♯ ` A ) + (♯ ` { z } ) ) )
245	59, 241, 243, 244	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` ( A u. { z } ) ) = ( (♯ ` A ) + (♯ ` { z } ) ) )
246	107	oveq2i 6086	. . . . 5 |- ( (♯ ` A ) + (♯ ` { z } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 )
247	245, 246	eqtrdi 2287	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` ( A u. { z } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) )
248	247	oveq1d 6090	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( ( (♯ ` A ) + 1 ) _C K ) )
249		hashcl 11198	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
250	59, 249	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. NN0 )
251		bcpasc 11182	. . . 4 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( (♯ ` A ) _C K ) + ( (♯ ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( (♯ ` A ) + 1 ) _C K ) )
252	250, 7, 251	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) _C K ) + ( (♯ ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( (♯ ` A ) + 1 ) _C K ) )
253	248, 252	eqtr4d 2274	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = ( ( (♯ ` A ) _C K ) + ( (♯ ` A ) _C ( K - 1 ) ) ) )
254		pm2.1dc 849	. . . . . . . . 9 |- (DECID z e. x -> ( -. z e. x \/ z e. x ) )
255	228, 254	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> ( -. z e. x \/ z e. x ) )
256	255	biantrurd 305	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> ( (♯ ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x \/ z e. x ) /\ (♯ ` x ) = K ) ) )
257		andir 831	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. z e. x \/ z e. x ) /\ (♯ ` x ) = K ) <-> ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) )
258	256, 257	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> ( (♯ ` x ) = K <-> ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) ) )
259	258	rabbidva 2809	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } = { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) } )
260		unrab 3504	. . . . 5 |- ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } u. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) = { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) \/ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) }
261	259, 260	eqtr4di 2289	. . . 4 |- ( ph -> { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } = ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } u. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) )
262	261	fveq2d 5694	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } ) = (♯ ` ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } u. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) ) )
263		dcn 854	. . . . . . . 8 |- (DECID z e. x -> DECID -. z e. x )
264	228, 263	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> DECID -. z e. x )
265	264, 232	dcand 945	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) ) -> DECID ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) )
266	265	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin )DECID ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) )
267	215, 266	ssfirab 7234	. . . 4 |- ( ph -> { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } e. Fin )
268		inrab 3505	. . . . . 6 |- ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } i^i { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) = { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) }
269		simprl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) -> z e. x )
270		simpll 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) -> -. z e. x )
271	269, 270	pm2.65i 648	. . . . . . . 8 |- -. ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) )
272	271	rgenw 2605	. . . . . . 7 |- A. x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) -. ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) )
273		rabeq0 3552	. . . . . . 7 |- ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) } = (/) <-> A. x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) -. ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) )
274	272, 273	mpbir 146	. . . . . 6 |- { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) /\ ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) ) } = (/)
275	268, 274	eqtri 2259	. . . . 5 |- ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } i^i { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) = (/)
276	275	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } i^i { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) = (/) )
277		hashun 11223	. . . 4 |- ( ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } e. Fin /\ { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } e. Fin /\ ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } i^i { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) = (/) ) -> (♯ ` ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } u. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) ) = ( (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) + (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) ) )
278	267, 235, 276, 277	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` ( { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } u. { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) ) = ( (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) + (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) ) )
279	262, 278	eqtrd 2271	. 2 |- ( ph -> (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } ) = ( (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( -. z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) + (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | ( z e. x /\ (♯ ` x ) = K ) } ) ) )
280	240, 253, 279	3eqtr4d 2281	1 |- ( ph -> ( (♯ ` ( A u. { z } ) ) _C K ) = (♯ ` { x e. ( ~P ( A u. { z } ) i^i Fin ) | (♯ ` x ) = K } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ~Pcpw 3685   {csn 3705   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   ~~ cen 7010   Fincfn 7012   CCcc 8167   1c1 8170   + caddc 8172   - cmin 8487   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   _C cbc 11163  ♯chash 11192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-er 6797  df-map 6914  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-seqfrec 10863  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193

This theorem is referenced by:  hashfibc  11261