Theorem sshashneg 11303

Description: Subsets of a class of a negative size (a degenerate case). Together with ssenneg 11302 this shows that sseqn 11301 could not be extended beyond 𝑁 ∈ ℕ₀. (Contributed by Jim Kingdon, 22-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sshashneg	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝐴

Proof of Theorem sshashneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8333	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ ℝ)
2		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
3	2	elin2d 3419	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
4		hashcl 11242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
6	5	nn0red 9632	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
7	5	nn0ge0d 9634	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ (♯‘𝑥))
8	1, 6, 7	lensymd 8455	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ (♯‘𝑥) < 0)
9		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑁) → (♯‘𝑥) = 𝑁)
10		simpllr 540	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑁) → 𝑁 < 0)
11	9, 10	eqbrtrd 4153	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑁) → (♯‘𝑥) < 0)
12	8, 11	mtand 675	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ (♯‘𝑥) = 𝑁)
13	12	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ¬ (♯‘𝑥) = 𝑁)
14		rabeq0 3552	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ¬ (♯‘𝑥) = 𝑁)
15	13, 14	sylibr 134	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   ∩ cin 3219  ∅c0 3520  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  Fincfn 7026  0cc0 8185   < clt 8366  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655  ♯chash 11236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-recs 6580  df-frec 6666  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-ihash 11237

This theorem is used by: (None)