Theorem sshashneg 11198

Description: Subsets of a class of a negative size (a degenerate case). Together with ssenneg 11197 this shows that sseqn 11196 could not be extended beyond 𝑁 ∈ ℕ₀. (Contributed by Jim Kingdon, 22-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sshashneg	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝐴

Proof of Theorem sshashneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8271	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ ℝ)
2		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
3	2	elin2d 3408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
4		hashcl 11139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
6	5	nn0red 9550	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
7	5	nn0ge0d 9552	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ (♯‘𝑥))
8	1, 6, 7	lensymd 8391	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ (♯‘𝑥) < 0)
9		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑁) → (♯‘𝑥) = 𝑁)
10		simpllr 536	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑁) → 𝑁 < 0)
11	9, 10	eqbrtrd 4130	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑁) → (♯‘𝑥) < 0)
12	8, 11	mtand 671	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ (♯‘𝑥) = 𝑁)
13	12	ralrimiva 2615	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ¬ (♯‘𝑥) = 𝑁)
14		rabeq0 3537	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ¬ (♯‘𝑥) = 𝑁)
15	13, 14	sylibr 134	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  {crab 2524   ∩ cin 3209  ∅c0 3507  𝒫 cpw 3668   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  Fincfn 6974  0cc0 8123   < clt 8304  ℕ₀cn0 9492  ℤcz 9573  ♯chash 11133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-recs 6535  df-frec 6621  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-ihash 11134

This theorem is referenced by: (None)