Theorem sshashneg 11209

Description: Subsets of a class of a negative size (a degenerate case). Together with ssenneg 11208 this shows that sseqn 11207 could not be extended beyond 𝑁 ∈ ℕ₀. (Contributed by Jim Kingdon, 22-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sshashneg	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝐴

Proof of Theorem sshashneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8277	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ ℝ)
2		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
3	2	elin2d 3411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
4		hashcl 11148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
6	5	nn0red 9556	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
7	5	nn0ge0d 9558	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ (♯‘𝑥))
8	1, 6, 7	lensymd 8397	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ (♯‘𝑥) < 0)
9		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑁) → (♯‘𝑥) = 𝑁)
10		simpllr 536	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑁) → 𝑁 < 0)
11	9, 10	eqbrtrd 4133	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑁) → (♯‘𝑥) < 0)
12	8, 11	mtand 671	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ (♯‘𝑥) = 𝑁)
13	12	ralrimiva 2617	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ¬ (♯‘𝑥) = 𝑁)
14		rabeq0 3540	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ¬ (♯‘𝑥) = 𝑁)
15	13, 14	sylibr 134	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  {crab 2526   ∩ cin 3212  ∅c0 3510  𝒫 cpw 3671   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  Fincfn 6977  0cc0 8129   < clt 8310  ℕ₀cn0 9498  ℤcz 9579  ♯chash 11142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-recs 6538  df-frec 6624  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-ihash 11143

This theorem is referenced by: (None)