Theorem sshashneg 11264

Description: Subsets of a class of a negative size (a degenerate case). Together with ssenneg 11263 this shows that sseqn 11262 could not be extended beyond 𝑁 ∈ ℕ₀. (Contributed by Jim Kingdon, 22-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sshashneg	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝐴

Proof of Theorem sshashneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8321	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ ℝ)
2		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
3	2	elin2d 3419	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
4		hashcl 11203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
6	5	nn0red 9604	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
7	5	nn0ge0d 9606	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ (♯‘𝑥))
8	1, 6, 7	lensymd 8442	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ (♯‘𝑥) < 0)
9		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑁) → (♯‘𝑥) = 𝑁)
10		simpllr 540	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑁) → 𝑁 < 0)
11	9, 10	eqbrtrd 4150	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑁) → (♯‘𝑥) < 0)
12	8, 11	mtand 675	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ (♯‘𝑥) = 𝑁)
13	12	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ¬ (♯‘𝑥) = 𝑁)
14		rabeq0 3552	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ¬ (♯‘𝑥) = 𝑁)
15	13, 14	sylibr 134	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑁} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   ∩ cin 3219  ∅c0 3520  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  Fincfn 7016  0cc0 8173   < clt 8354  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  ♯chash 11197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-recs 6570  df-frec 6656  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-ihash 11198

This theorem is referenced by: (None)