Theorem umgrnloop0 15874

Description: A multigraph has no loops. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrnloop0	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑈

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem umgrnloop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2387	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑈 ≠ 𝑈
2		umgrnloopv.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	2	umgrnloop 15873	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈} → 𝑈 ≠ 𝑈))
4	1, 3	mtoi 666	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈})
5		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}) → (𝐸‘𝑥) = {𝑈})
6		dfsn2 3658	. . . . . . 7 ⊢ {𝑈} = {𝑈, 𝑈}
7	5, 6	eqtrdi 2256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}) → (𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈})
8	7	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐸‘𝑥) = {𝑈} → (𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈}))
9	8	reximdv 2609	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈} → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈}))
10	4, 9	mtod 665	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈})
11		ralnex 2496	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ (𝐸‘𝑥) = {𝑈} ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈})
12	10, 11	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ (𝐸‘𝑥) = {𝑈})
13		rabeq0 3499	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ (𝐸‘𝑥) = {𝑈})
14	12, 13	sylibr 134	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378  ∀wral 2486  ∃wrex 2487  {crab 2490  ∅c0 3469  {csn 3644  {cpr 3645  dom cdm 4694  ‘cfv 5291  iEdgciedg 15773  UMGraphcumgr 15849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-iinf 4655  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-cnre 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-tr 4160  df-id 4359  df-iord 4432  df-on 4434  df-suc 4437  df-iom 4658  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-1o 6527  df-2o 6528  df-er 6645  df-en 6853  df-sub 8282  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-5 9135  df-6 9136  df-7 9137  df-8 9138  df-9 9139  df-n0 9333  df-dec 9542  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-base 12999  df-edgf 15765  df-vtx 15774  df-iedg 15775  df-uhgrm 15826  df-upgren 15850  df-umgren 15851

This theorem is referenced by:  usgrnloop0  15958