Theorem unitcld 14186

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
unitcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
unitcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
unitcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
unitcld	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		eqidd 2232	. 2 ⊢ (𝜑 → (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅))
3		unitcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
4		unitcld.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
5		unitcld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
6		eqidd 2232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅))
7		eqidd 2232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅))
8		eqidd 2232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
9	5, 6, 2, 7, 8, 3	isunitd 14184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
10	4, 9	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
11	10	simpld 112	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
12	1, 2, 3, 11	dvdsrcld 14175	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  Basecbs 13145  1_rcur 14036  SRingcsrg 14040  opp_rcoppr 14144  ∥_rcdsr 14163  Unitcui 14164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-mgp 13998  df-srg 14041  df-dvdsr 14166  df-unit 14167

This theorem is referenced by:  unitssd  14187  unitmulcl  14191  unitgrp  14194  ringinvcl  14203  unitnegcl  14208  dvrvald  14212  unitdvcl  14214  dvrid  14215  dvrcan1  14218  dvrcan3  14219  dvreq1  14220  dvrdir  14221  elrhmunit  14255  subrguss  14314  subrginv  14315  subrgunit  14317  unitrrg  14346