Theorem unitcld 13940

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
unitcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
unitcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
unitcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
unitcld	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		eqidd 2207	. 2 ⊢ (𝜑 → (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅))
3		unitcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
4		unitcld.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
5		unitcld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
6		eqidd 2207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅))
7		eqidd 2207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅))
8		eqidd 2207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
9	5, 6, 2, 7, 8, 3	isunitd 13938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
10	4, 9	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
11	10	simpld 112	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
12	1, 2, 3, 11	dvdsrcld 13929	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4050  ‘cfv 5279  Basecbs 12902  1_rcur 13791  SRingcsrg 13795  opp_rcoppr 13899  ∥_rcdsr 13918  Unitcui 13919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-ltxr 8127  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-ndx 12905  df-slot 12906  df-base 12908  df-sets 12909  df-plusg 12992  df-mulr 12993  df-0g 13160  df-mgm 13258  df-sgrp 13304  df-mnd 13319  df-mgp 13753  df-srg 13796  df-dvdsr 13921  df-unit 13922

This theorem is referenced by:  unitssd  13941  unitmulcl  13945  unitgrp  13948  ringinvcl  13957  unitnegcl  13962  dvrvald  13966  unitdvcl  13968  dvrid  13969  dvrcan1  13972  dvrcan3  13973  dvreq1  13974  dvrdir  13975  elrhmunit  14009  subrguss  14068  subrginv  14069  subrgunit  14071  unitrrg  14099