Theorem unitcld 14388

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
unitcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
unitcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
unitcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
unitcld	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		eqidd 2239	. 2 ⊢ (𝜑 → (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅))
3		unitcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
4		unitcld.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
5		unitcld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
6		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅))
7		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅))
8		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
9	5, 6, 2, 7, 8, 3	isunitd 14386	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
10	4, 9	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
11	10	simpld 112	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
12	1, 2, 3, 11	dvdsrcld 14377	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  Basecbs 13330  1_rcur 14237  SRingcsrg 14241  opp_rcoppr 14345  ∥_rcdsr 14365  Unitcui 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-mgp 14195  df-srg 14242  df-dvdsr 14368  df-unit 14369

This theorem is referenced by:  unitssd  14389  unitmulcl  14393  unitgrp  14396  ringinvcl  14405  unitnegcl  14410  dvrvald  14414  unitdvcl  14416  dvrid  14417  dvrcan1  14420  dvrcan3  14421  dvreq1  14422  dvrdir  14423  elrhmunit  14457  subrguss  14517  subrginv  14518  subrgunit  14520  unitrrg  14549  ringunitap  14566  aprnzr  14572  drngunitap  14581