Theorem unitcld 13740

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
unitcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
unitcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
unitcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
unitcld	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem unitcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		eqidd 2197	. 2 ⊢ (𝜑 → (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅))
3		unitcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
4		unitcld.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
5		unitcld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
6		eqidd 2197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅))
7		eqidd 2197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅))
8		eqidd 2197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
9	5, 6, 2, 7, 8, 3	isunitd 13738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
10	4, 9	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
11	10	simpld 112	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
12	1, 2, 3, 11	dvdsrcld 13729	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  Basecbs 12703  1_rcur 13591  SRingcsrg 13595  opp_rcoppr 13699  ∥_rcdsr 13718  Unitcui 13719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-mgp 13553  df-srg 13596  df-dvdsr 13721  df-unit 13722

This theorem is referenced by:  unitssd  13741  unitmulcl  13745  unitgrp  13748  ringinvcl  13757  unitnegcl  13762  dvrvald  13766  unitdvcl  13768  dvrid  13769  dvrcan1  13772  dvrcan3  13773  dvreq1  13774  dvrdir  13775  elrhmunit  13809  subrguss  13868  subrginv  13869  subrgunit  13871  unitrrg  13899