Theorem usgr2v1e2w 16290

Description: A simple graph with two vertices and one edge represented by a singleton word. (Contributed by AV, 9-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2v1e2w	|- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> <. { A , B } , <" { A , B } "> >. e. USGraph )

Proof of Theorem usgr2v1e2w

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prexg 4327	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> { A , B } e. _V )
2	1	3adant3 1044	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> { A , B } e. _V )
3		s1val 11313	. . . 4 |- ( { A , B } e. _V -> <" { A , B } "> = { <. 0 , { A , B } >. } )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> <" { A , B } "> = { <. 0 , { A , B } >. } )
5	4	opeq2d 3892	. 2 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> <. { A , B } , <" { A , B } "> >. = <. { A , B } , { <. 0 , { A , B } >. } >. )
6		c0ex 8273	. . . 4 |- 0 e. _V
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> 0 e. _V )
8		prid1g 3797	. . . 4 |- ( A e. X -> A e. { A , B } )
9	8	3ad2ant1 1045	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> A e. { A , B } )
10		prid2g 3798	. . . 4 |- ( B e. Y -> B e. { A , B } )
11	10	3ad2ant2 1046	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> B e. { A , B } )
12		simp3 1026	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> A =/= B )
13		usgr1eop 16289	. . . 4 |- ( ( ( { A , B } e. _V /\ 0 e. _V ) /\ ( A e. { A , B } /\ B e. { A , B } ) ) -> ( A =/= B -> <. { A , B } , { <. 0 , { A , B } >. } >. e. USGraph ) )
14	13	3impia 1227	. . 3 |- ( ( ( { A , B } e. _V /\ 0 e. _V ) /\ ( A e. { A , B } /\ B e. { A , B } ) /\ A =/= B ) -> <. { A , B } , { <. 0 , { A , B } >. } >. e. USGraph )
15	2, 7, 9, 11, 12, 14	syl221anc 1285	. 2 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> <. { A , B } , { <. 0 , { A , B } >. } >. e. USGraph )
16	5, 15	eqeltrd 2311	1 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> <. { A , B } , <" { A , B } "> >. e. USGraph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   _Vcvv 2815   {csn 3691   {cpr 3692   <.cop 3694   0cc0 8132   <"cs1 11311  USGraphcusgr 16198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-en 6978  df-sub 8451  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-dec 9716  df-s1 11312  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-edgf 16049  df-vtx 16058  df-iedg 16059  df-edg 16102  df-uspgren 16199  df-usgren 16200

This theorem is referenced by: (None)