Theorem usgr2v1e2w 16704

Description: A simple graph with two vertices and one edge represented by a singleton word. (Contributed by AV, 9-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2v1e2w	|- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> <. { A , B } , <" { A , B } "> >. e. USGraph )

Proof of Theorem usgr2v1e2w

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prexg 4351	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> { A , B } e. _V )
2	1	3adant3 1048	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> { A , B } e. _V )
3		s1val 11408	. . . 4 |- ( { A , B } e. _V -> <" { A , B } "> = { <. 0 , { A , B } >. } )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> <" { A , B } "> = { <. 0 , { A , B } >. } )
5	4	opeq2d 3911	. 2 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> <. { A , B } , <" { A , B } "> >. = <. { A , B } , { <. 0 , { A , B } >. } >. )
6		c0ex 8327	. . . 4 |- 0 e. _V
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> 0 e. _V )
8		prid1g 3815	. . . 4 |- ( A e. X -> A e. { A , B } )
9	8	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> A e. { A , B } )
10		prid2g 3816	. . . 4 |- ( B e. Y -> B e. { A , B } )
11	10	3ad2ant2 1050	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> B e. { A , B } )
12		simp3 1030	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> A =/= B )
13		usgr1eop 16703	. . . 4 |- ( ( ( { A , B } e. _V /\ 0 e. _V ) /\ ( A e. { A , B } /\ B e. { A , B } ) ) -> ( A =/= B -> <. { A , B } , { <. 0 , { A , B } >. } >. e. USGraph ) )
14	13	3impia 1231	. . 3 |- ( ( ( { A , B } e. _V /\ 0 e. _V ) /\ ( A e. { A , B } /\ B e. { A , B } ) /\ A =/= B ) -> <. { A , B } , { <. 0 , { A , B } >. } >. e. USGraph )
15	2, 7, 9, 11, 12, 14	syl221anc 1289	. 2 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> <. { A , B } , { <. 0 , { A , B } >. } >. e. USGraph )
16	5, 15	eqeltrd 2315	1 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> <. { A , B } , <" { A , B } "> >. e. USGraph )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   _Vcvv 2821   {csn 3709   {cpr 3710   <.cop 3712   0cc0 8186   <"cs1 11406  USGraphcusgr 16612

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7028  df-sub 8507  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-dec 9790  df-s1 11407  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-edgf 16463  df-vtx 16472  df-iedg 16473  df-edg 16516  df-uspgren 16613  df-usgren 16614

This theorem is used by: (None)