Theorem usgr2v1e2w 16370

Description: A simple graph with two vertices and one edge represented by a singleton word. (Contributed by AV, 9-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2v1e2w	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩⟩ ∈ USGraph)

Proof of Theorem usgr2v1e2w

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prexg 4330	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
2	1	3adant3 1044	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
3		s1val 11333	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ V → ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩ = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩})
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩ = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩})
5	4	opeq2d 3895	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩⟩ = ⟨{𝐴, 𝐵}, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩)
6		c0ex 8284	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 0 ∈ V)
8		prid1g 3800	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
9	8	3ad2ant1 1045	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
10		prid2g 3801	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
11	10	3ad2ant2 1046	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
12		simp3 1026	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
13		usgr1eop 16369	. . . 4 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ⟨{𝐴, 𝐵}, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩ ∈ USGraph))
14	13	3impia 1227	. . 3 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩ ∈ USGraph)
15	2, 7, 9, 11, 12, 14	syl221anc 1285	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩ ∈ USGraph)
16	5, 15	eqeltrd 2311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩⟩ ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  Vcvv 2815  {csn 3694  {cpr 3695  ⟨cop 3697  0cc0 8143  ⟨“cs1 11331  USGraphcusgr 16278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-sub 8463  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-dec 9731  df-s1 11332  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-edgf 16129  df-vtx 16138  df-iedg 16139  df-edg 16182  df-uspgren 16279  df-usgren 16280

This theorem is referenced by: (None)