Theorem usgr2v1e2w 16065

Description: A simple graph with two vertices and one edge represented by a singleton word. (Contributed by AV, 9-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2v1e2w	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩⟩ ∈ USGraph)

Proof of Theorem usgr2v1e2w

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prexg 4296	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
2	1	3adant3 1041	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
3		s1val 11170	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ V → ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩ = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩})
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩ = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩})
5	4	opeq2d 3864	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩⟩ = ⟨{𝐴, 𝐵}, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩)
6		c0ex 8156	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 0 ∈ V)
8		prid1g 3770	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
9	8	3ad2ant1 1042	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
10		prid2g 3771	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
11	10	3ad2ant2 1043	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
12		simp3 1023	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
13		usgr1eop 16064	. . . 4 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ⟨{𝐴, 𝐵}, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩ ∈ USGraph))
14	13	3impia 1224	. . 3 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩ ∈ USGraph)
15	2, 7, 9, 11, 12, 14	syl221anc 1282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩ ∈ USGraph)
16	5, 15	eqeltrd 2306	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩⟩ ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  Vcvv 2799  {csn 3666  {cpr 3667  ⟨cop 3669  0cc0 8015  ⟨“cs1 11168  USGraphcusgr 15973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-1o 6573  df-2o 6574  df-er 6693  df-en 6901  df-sub 8335  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-dec 9595  df-s1 11169  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-edgf 15827  df-vtx 15836  df-iedg 15837  df-edg 15880  df-uspgren 15974  df-usgren 15975

This theorem is referenced by: (None)