Theorem usgr2v1e2w 16100

Description: A simple graph with two vertices and one edge represented by a singleton word. (Contributed by AV, 9-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2v1e2w	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩⟩ ∈ USGraph)

Proof of Theorem usgr2v1e2w

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prexg 4301	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
2	1	3adant3 1043	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
3		s1val 11195	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ V → ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩ = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩})
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩ = {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩})
5	4	opeq2d 3869	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩⟩ = ⟨{𝐴, 𝐵}, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩)
6		c0ex 8173	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 0 ∈ V)
8		prid1g 3775	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
9	8	3ad2ant1 1044	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
10		prid2g 3776	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
11	10	3ad2ant2 1045	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
12		simp3 1025	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
13		usgr1eop 16099	. . . 4 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ⟨{𝐴, 𝐵}, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩ ∈ USGraph))
14	13	3impia 1226	. . 3 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩ ∈ USGraph)
15	2, 7, 9, 11, 12, 14	syl221anc 1284	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, {⟨0, {𝐴, 𝐵}⟩}⟩ ∈ USGraph)
16	5, 15	eqeltrd 2308	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨{𝐴, 𝐵}, ⟨“{𝐴, 𝐵}”⟩⟩ ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  Vcvv 2802  {csn 3669  {cpr 3670  ⟨cop 3672  0cc0 8032  ⟨“cs1 11193  USGraphcusgr 16008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612  df-s1 11194  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-edgf 15859  df-vtx 15868  df-iedg 15869  df-edg 15912  df-uspgren 16009  df-usgren 16010

This theorem is referenced by: (None)