Theorem dvdsexp 12423

Description: A power divides a power with a greater exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexp	|- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) || ( A ^ N ) )

Proof of Theorem dvdsexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1023	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. ZZ )
2		uznn0sub 9788	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )
3	2	3ad2ant3 1046	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N - M ) e. NN0 )
4		zexpcl 10816	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( N - M ) ) e. ZZ )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( N - M ) ) e. ZZ )
6		zexpcl 10816	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( A ^ M ) e. ZZ )
7	6	3adant3 1043	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) e. ZZ )
8		dvdsmul2 12376	. . 3 |- ( ( ( A ^ ( N - M ) ) e. ZZ /\ ( A ^ M ) e. ZZ ) -> ( A ^ M ) || ( ( A ^ ( N - M ) ) x. ( A ^ M ) ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) || ( ( A ^ ( N - M ) ) x. ( A ^ M ) ) )
10	1	zcnd 9603	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. CC )
11		simp2 1024	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. NN0 )
12	10, 11, 3	expaddd 10937	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( ( A ^ ( N - M ) ) x. ( A ^ M ) ) )
13		eluzelcn 9767	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. CC )
14	13	3ad2ant3 1046	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. CC )
15	11	nn0cnd 9457	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. CC )
16	14, 15	npcand 8494	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( N - M ) + M ) = N )
17	16	oveq2d 6034	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( A ^ N ) )
18	12, 17	eqtr3d 2266	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( A ^ ( N - M ) ) x. ( A ^ M ) ) = ( A ^ N ) )
19	9, 18	breqtrd 4114	1 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) || ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   + caddc 8035   x. cmul 8037   - cmin 8350   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   ^cexp 10800   || cdvds 12349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-seqfrec 10710  df-exp 10801  df-dvds 12350

This theorem is referenced by:  bitsmod  12518  pcpremul  12867  pcdvdsb  12894  dvdsppwf1o  15715