Theorem dvdsexp 12575

Description: A power divides a power with a greater exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexp	|- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) || ( A ^ N ) )

Proof of Theorem dvdsexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. ZZ )
2		uznn0sub 9907	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )
3	2	3ad2ant3 1047	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N - M ) e. NN0 )
4		zexpcl 10943	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( N - M ) ) e. ZZ )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( N - M ) ) e. ZZ )
6		zexpcl 10943	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( A ^ M ) e. ZZ )
7	6	3adant3 1044	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) e. ZZ )
8		dvdsmul2 12528	. . 3 |- ( ( ( A ^ ( N - M ) ) e. ZZ /\ ( A ^ M ) e. ZZ ) -> ( A ^ M ) || ( ( A ^ ( N - M ) ) x. ( A ^ M ) ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) || ( ( A ^ ( N - M ) ) x. ( A ^ M ) ) )
10	1	zcnd 9722	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. CC )
11		simp2 1025	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. NN0 )
12	10, 11, 3	expaddd 11065	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( ( A ^ ( N - M ) ) x. ( A ^ M ) ) )
13		eluzelcn 9886	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. CC )
14	13	3ad2ant3 1047	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. CC )
15	11	nn0cnd 9575	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. CC )
16	14, 15	npcand 8605	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( N - M ) + M ) = N )
17	16	oveq2d 6074	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( A ^ N ) )
18	12, 17	eqtr3d 2269	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( A ^ ( N - M ) ) x. ( A ^ M ) ) = ( A ^ N ) )
19	9, 18	breqtrd 4140	1 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) || ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   + caddc 8146   x. cmul 8148   - cmin 8461   NN0cn0 9516   ZZcz 9597   ZZ>=cuz 9874   ^cexp 10927   || cdvds 12501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-dvds 12502

This theorem is referenced by:  bitsmod  12670  pcpremul  13019  pcdvdsb  13046  dvdsppwf1o  15986