Theorem dvdsexp 12003

Description: A power divides a power with a greater exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexp	|- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) || ( A ^ N ) )

Proof of Theorem dvdsexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. ZZ )
2		uznn0sub 9624	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )
3	2	3ad2ant3 1022	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N - M ) e. NN0 )
4		zexpcl 10625	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( N - M ) ) e. ZZ )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( N - M ) ) e. ZZ )
6		zexpcl 10625	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( A ^ M ) e. ZZ )
7	6	3adant3 1019	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) e. ZZ )
8		dvdsmul2 11957	. . 3 |- ( ( ( A ^ ( N - M ) ) e. ZZ /\ ( A ^ M ) e. ZZ ) -> ( A ^ M ) || ( ( A ^ ( N - M ) ) x. ( A ^ M ) ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) || ( ( A ^ ( N - M ) ) x. ( A ^ M ) ) )
10	1	zcnd 9440	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. CC )
11		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. NN0 )
12	10, 11, 3	expaddd 10746	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( ( A ^ ( N - M ) ) x. ( A ^ M ) ) )
13		eluzelcn 9603	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. CC )
14	13	3ad2ant3 1022	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. CC )
15	11	nn0cnd 9295	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. CC )
16	14, 15	npcand 8334	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( N - M ) + M ) = N )
17	16	oveq2d 5934	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( A ^ N ) )
18	12, 17	eqtr3d 2228	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( A ^ ( N - M ) ) x. ( A ^ M ) ) = ( A ^ N ) )
19	9, 18	breqtrd 4055	1 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) || ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   + caddc 7875   x. cmul 7877   - cmin 8190   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ^cexp 10609   || cdvds 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-dvds 11931

This theorem is referenced by:  pcpremul  12431  pcdvdsb  12458