Theorem dvdsexp 12654

Description: A power divides a power with a greater exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexp	|- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) || ( A ^ N ) )

Proof of Theorem dvdsexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1028	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. ZZ )
2		uznn0sub 9971	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )
3	2	3ad2ant3 1051	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N - M ) e. NN0 )
4		zexpcl 11013	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( N - M ) ) e. ZZ )
5	1, 3, 4	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( N - M ) ) e. ZZ )
6		zexpcl 11013	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( A ^ M ) e. ZZ )
7	6	3adant3 1048	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) e. ZZ )
8		dvdsmul2 12607	. . 3 |- ( ( ( A ^ ( N - M ) ) e. ZZ /\ ( A ^ M ) e. ZZ ) -> ( A ^ M ) || ( ( A ^ ( N - M ) ) x. ( A ^ M ) ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 415	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) || ( ( A ^ ( N - M ) ) x. ( A ^ M ) ) )
10	1	zcnd 9781	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. CC )
11		simp2 1029	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. NN0 )
12	10, 11, 3	expaddd 11135	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( ( A ^ ( N - M ) ) x. ( A ^ M ) ) )
13		eluzelcn 9950	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. CC )
14	13	3ad2ant3 1051	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. CC )
15	11	nn0cnd 9634	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. CC )
16	14, 15	npcand 8649	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( N - M ) + M ) = N )
17	16	oveq2d 6104	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( A ^ N ) )
18	12, 17	eqtr3d 2273	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( A ^ ( N - M ) ) x. ( A ^ M ) ) = ( A ^ N ) )
19	9, 18	breqtrd 4157	1 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) || ( A ^ N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8184   + caddc 8189   x. cmul 8191   - cmin 8505   NN0cn0 9575   ZZcz 9656   ZZ>=cuz 9938   ^cexp 10997   || cdvds 12580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-dvds 12581

This theorem is used by:  bitsmod  12749  pcpremul  13102  pcdvdsb  13129  dvdsppwf1o  16295