ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leexp2a Unicode version
Theorem leexp2a 10826
Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2a |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) )
Proof of Theorem leexp2a
StepHypRef Expression
1 simp1 1021 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. RR )
2 0red 8158 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 e. RR )
3 1red 8172 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 e. RR )
4 0lt1 8284 . . . . . . . . 9 |- 0 < 1
54a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 < 1 )
6 simp2 1022 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 <_ A )
72, 3, 1, 5, 6ltletrd 8581 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 < A )
81, 7elrpd 9901 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. RR+ )
9 eluzel2 9738 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
1093ad2ant3 1044 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
11 rpexpcl 10792 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ M e. ZZ ) -> ( A ^ M ) e. RR+ )
128, 10, 11syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) e. RR+ )
1312rpred 9904 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) e. RR )
1413recnd 8186 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) e. CC )
1514mulid2d 8176 . 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 x. ( A ^ M ) ) = ( A ^ M ) )
16 uznn0sub 9766 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )
17163ad2ant3 1044 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N - M ) e. NN0 )
18 expge1 10810 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ ( N - M ) e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ ( A ^ ( N - M ) ) )
191, 17, 6, 18syl3anc 1271 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 <_ ( A ^ ( N - M ) ) )
201recnd 8186 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. CC )
211, 7gt0ap0d 8787 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A # 0 )
22 eluzelz 9743 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
23223ad2ant3 1044 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
24 expsubap 10821 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( A ^ ( N - M ) ) = ( ( A ^ N ) / ( A ^ M ) ) )
2520, 21, 23, 10, 24syl22anc 1272 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( N - M ) ) = ( ( A ^ N ) / ( A ^ M ) ) )
2619, 25breqtrd 4109 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 <_ ( ( A ^ N ) / ( A ^ M ) ) )
27 rpexpcl 10792 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. RR+ )
288, 23, 27syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ N ) e. RR+ )
2928rpred 9904 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ N ) e. RR )
303, 29, 12lemuldivd 9954 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( 1 x. ( A ^ M ) ) <_ ( A ^ N ) <-> 1 <_ ( ( A ^ N ) / ( A ^ M ) ) ) )
3126, 30mpbird 167 . 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 x. ( A ^ M ) ) <_ ( A ^ N ) )
3215, 31eqbrtrrd 4107 1 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   CCcc 8008   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   x. cmul 8015   < clt 8192   <_ cle 8193   - cmin 8328   # cap 8739   / cdiv 8830   NN0cn0 9380   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733   RR+crp 9861   ^cexp 10772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-rp 9862  df-seqfrec 10682  df-exp 10773
This theorem is referenced by:  expnlbnd2  10899  leexp2ad  10936  ef01bndlem  12282
  Copyright terms: Public domain W3C validator