ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leexp2a Unicode version
Theorem leexp2a 11044
Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2a |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) )
Proof of Theorem leexp2a
StepHypRef Expression
1 simp1 1028 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. RR )
2 0red 8328 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 e. RR )
3 1red 8342 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 e. RR )
4 0lt1 8455 . . . . . . . . 9 |- 0 < 1
54a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 < 1 )
6 simp2 1029 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 <_ A )
72, 3, 1, 5, 6ltletrd 8753 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 < A )
81, 7elrpd 10105 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. RR+ )
9 eluzel2 9936 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
1093ad2ant3 1051 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
11 rpexpcl 11010 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ M e. ZZ ) -> ( A ^ M ) e. RR+ )
128, 10, 11syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) e. RR+ )
1312rpred 10108 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) e. RR )
1413recnd 8355 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) e. CC )
1514mullidd 8345 . 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 x. ( A ^ M ) ) = ( A ^ M ) )
16 uznn0sub 9964 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )
17163ad2ant3 1051 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N - M ) e. NN0 )
18 expge1 11028 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ ( N - M ) e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ ( A ^ ( N - M ) ) )
191, 17, 6, 18syl3anc 1278 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 <_ ( A ^ ( N - M ) ) )
201recnd 8355 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. CC )
211, 7gt0ap0d 8960 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A # 0 )
22 eluzelz 9941 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
23223ad2ant3 1051 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
24 expsubap 11039 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( A ^ ( N - M ) ) = ( ( A ^ N ) / ( A ^ M ) ) )
2520, 21, 23, 10, 24syl22anc 1279 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( N - M ) ) = ( ( A ^ N ) / ( A ^ M ) ) )
2619, 25breqtrd 4156 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 <_ ( ( A ^ N ) / ( A ^ M ) ) )
27 rpexpcl 11010 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. RR+ )
288, 23, 27syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ N ) e. RR+ )
2928rpred 10108 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ N ) e. RR )
303, 29, 12lemuldivd 10158 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( 1 x. ( A ^ M ) ) <_ ( A ^ N ) <-> 1 <_ ( ( A ^ N ) / ( A ^ M ) ) ) )
3126, 30mpbird 167 . 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 x. ( A ^ M ) ) <_ ( A ^ N ) )
3215, 31eqbrtrrd 4154 1 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8178   RRcr 8179   0cc0 8180   1c1 8181   x. cmul 8185   < clt 8361   <_ cle 8362   - cmin 8499   # cap 8912   / cdiv 9005   NN0cn0 9568   ZZcz 9649   ZZ>=cuz 9931   RR+crp 10065   ^cexp 10990
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-rp 10066  df-seqfrec 10900  df-exp 10991
This theorem is used by:  expnlbnd2  11118  leexp2ad  11155  ef01bndlem  12542
  Copyright terms: Public domain W3C validator