ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leexp2a Unicode version
Theorem leexp2a 10809
Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2a |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) )
Proof of Theorem leexp2a
StepHypRef Expression
1 simp1 1021 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. RR )
2 0red 8143 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 e. RR )
3 1red 8157 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 e. RR )
4 0lt1 8269 . . . . . . . . 9 |- 0 < 1
54a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 < 1 )
6 simp2 1022 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 <_ A )
72, 3, 1, 5, 6ltletrd 8566 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 < A )
81, 7elrpd 9885 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. RR+ )
9 eluzel2 9723 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
1093ad2ant3 1044 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
11 rpexpcl 10775 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ M e. ZZ ) -> ( A ^ M ) e. RR+ )
128, 10, 11syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) e. RR+ )
1312rpred 9888 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) e. RR )
1413recnd 8171 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) e. CC )
1514mulid2d 8161 . 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 x. ( A ^ M ) ) = ( A ^ M ) )
16 uznn0sub 9750 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )
17163ad2ant3 1044 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N - M ) e. NN0 )
18 expge1 10793 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ ( N - M ) e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ ( A ^ ( N - M ) ) )
191, 17, 6, 18syl3anc 1271 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 <_ ( A ^ ( N - M ) ) )
201recnd 8171 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. CC )
211, 7gt0ap0d 8772 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A # 0 )
22 eluzelz 9727 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
23223ad2ant3 1044 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
24 expsubap 10804 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( A ^ ( N - M ) ) = ( ( A ^ N ) / ( A ^ M ) ) )
2520, 21, 23, 10, 24syl22anc 1272 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( N - M ) ) = ( ( A ^ N ) / ( A ^ M ) ) )
2619, 25breqtrd 4108 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 <_ ( ( A ^ N ) / ( A ^ M ) ) )
27 rpexpcl 10775 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. RR+ )
288, 23, 27syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ N ) e. RR+ )
2928rpred 9888 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ N ) e. RR )
303, 29, 12lemuldivd 9938 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( 1 x. ( A ^ M ) ) <_ ( A ^ N ) <-> 1 <_ ( ( A ^ N ) / ( A ^ M ) ) ) )
3126, 30mpbird 167 . 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 x. ( A ^ M ) ) <_ ( A ^ N ) )
3215, 31eqbrtrrd 4106 1 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   CCcc 7993   RRcr 7994   0cc0 7995   1c1 7996   x. cmul 8000   < clt 8177   <_ cle 8178   - cmin 8313   # cap 8724   / cdiv 8815   NN0cn0 9365   ZZcz 9442   ZZ>=cuz 9718   RR+crp 9845   ^cexp 10755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-rp 9846  df-seqfrec 10665  df-exp 10756
This theorem is referenced by:  expnlbnd2  10882  leexp2ad  10919  ef01bndlem  12262
  Copyright terms: Public domain W3C validator