ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uztrn2 GIF version

Theorem uztrn2 9531
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
uztrn2.1 𝑍 = (ℤ𝐾)
Assertion
Ref Expression
uztrn2 ((𝑁𝑍𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀𝑍)

Proof of Theorem uztrn2
StepHypRef Expression
1 uztrn2.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝐾)
21eleq2i 2244 . . 3 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
3 uztrn 9530 . . . 4 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐾))
43ancoms 268 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐾))
52, 4sylanb 284 . 2 ((𝑁𝑍𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐾))
65, 1eleqtrrdi 2271 1 ((𝑁𝑍𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀𝑍)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5212  cuz 9514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-pre-ltwlin 7912
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-ov 5872  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-neg 8118  df-z 9240  df-uz 9515
This theorem is referenced by:  eluznn0  9585  eluznn  9586  elfzuz2  10012  rexuz3  10980  r19.29uz  10982  r19.2uz  10983  clim2  11272  clim2c  11273  clim0c  11275  2clim  11290  climabs0  11296  climcn1  11297  climcn2  11298  climsqz  11324  climsqz2  11325  clim2ser  11326  clim2ser2  11327  climub  11333  serf0  11341  mertenslemi1  11524  clim2divap  11529  fprodntrivap  11573  fprodeq0  11606  lmbrf  13375  lmss  13406  lmres  13408  txlm  13439
  Copyright terms: Public domain W3C validator