Theorem uztrn2 9666

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
2	1	eleq2i 2272	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		uztrn 9665	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
4	3	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 4	sylanb 284	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	5, 1	eleqtrrdi 2299	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ‘cfv 5271  ℤ_≥cuz 9648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-pre-ltwlin 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-neg 8246  df-z 9373  df-uz 9649

This theorem is referenced by:  eluznn0  9720  eluznn  9721  elfzuz2  10151  rexuz3  11301  r19.29uz  11303  r19.2uz  11304  clim2  11594  clim2c  11595  clim0c  11597  2clim  11612  climabs0  11618  climcn1  11619  climcn2  11620  climsqz  11646  climsqz2  11647  clim2ser  11648  clim2ser2  11649  climub  11655  serf0  11663  mertenslemi1  11846  clim2divap  11851  fprodntrivap  11895  fprodeq0  11928  lmbrf  14687  lmss  14718  lmres  14720  txlm  14751