ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uztrn2 GIF version

Theorem uztrn2 9366
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
uztrn2.1 𝑍 = (ℤ𝐾)
Assertion
Ref Expression
uztrn2 ((𝑁𝑍𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀𝑍)

Proof of Theorem uztrn2
StepHypRef Expression
1 uztrn2.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝐾)
21eleq2i 2207 . . 3 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
3 uztrn 9365 . . . 4 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐾))
43ancoms 266 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐾))
52, 4sylanb 282 . 2 ((𝑁𝑍𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐾))
65, 1eleqtrrdi 2234 1 ((𝑁𝑍𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀𝑍)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  cfv 5130  cuz 9349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-pre-ltwlin 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-ov 5784  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-neg 7959  df-z 9078  df-uz 9350
This theorem is referenced by:  eluznn0  9419  eluznn  9420  elfzuz2  9839  rexuz3  10793  r19.29uz  10795  r19.2uz  10796  clim2  11083  clim2c  11084  clim0c  11086  2clim  11101  climabs0  11107  climcn1  11108  climcn2  11109  climsqz  11135  climsqz2  11136  clim2ser  11137  clim2ser2  11138  climub  11144  serf0  11152  mertenslemi1  11335  clim2divap  11340  lmbrf  12421  lmss  12452  lmres  12454  txlm  12485
  Copyright terms: Public domain W3C validator