Theorem zeo3 12294

Description: An integer is even or odd. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zeo3	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem zeo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9445	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2		zeo 9513	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
4		zeo2 9514	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
6		zcn 9412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7		1cnd 8123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
8	6, 7	npcand 8422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
9	8	oveq1d 5982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (𝑁 / 2))
10	9	eleq1d 2276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
11		2z 9435	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		2ne0 9163	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
13		dvdsval2 12216	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
14	11, 12, 13	mp3an12 1340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
15	10, 14	bitr4d 191	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ 2 ∥ 𝑁))
16	15	notbid 669	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
17	5, 16	bitrd 188	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
18	17, 15	orbi12d 795	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ) ↔ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∨ 2 ∥ 𝑁)))
19	3, 18	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ∨ 2 ∥ 𝑁))
20	19	orcomd 731	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 710   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967  0cc0 7960  1c1 7961   + caddc 7963   − cmin 8278   / cdiv 8780  2c2 9122  ℤcz 9407   ∥ cdvds 12213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-n0 9331  df-z 9408  df-dvds 12214

This theorem is referenced by:  zeoxor  12295  zeo5  12314  m1exp1  12327  flodddiv4  12362  2lgslem1c  15682