Theorem zeo3 11908

Description: An integer is even or odd. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zeo3	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem zeo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9322	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2		zeo 9389	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
4		zeo2 9390	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
6		zcn 9289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7		1cnd 8004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
8	6, 7	npcand 8303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
9	8	oveq1d 5912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (𝑁 / 2))
10	9	eleq1d 2258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
11		2z 9312	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		2ne0 9042	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
13		dvdsval2 11832	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
14	11, 12, 13	mp3an12 1338	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
15	10, 14	bitr4d 191	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ 2 ∥ 𝑁))
16	15	notbid 668	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
17	5, 16	bitrd 188	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
18	17, 15	orbi12d 794	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ) ↔ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∨ 2 ∥ 𝑁)))
19	3, 18	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ∨ 2 ∥ 𝑁))
20	19	orcomd 730	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  0cc0 7842  1c1 7843   + caddc 7845   − cmin 8159   / cdiv 8660  2c2 9001  ℤcz 9284   ∥ cdvds 11829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-n0 9208  df-z 9285  df-dvds 11830

This theorem is referenced by:  zeoxor  11909  zeo5  11928  m1exp1  11941  flodddiv4  11974