Theorem zeo3 12033

Description: An integer is even or odd. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zeo3	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem zeo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9364	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2		zeo 9431	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
4		zeo2 9432	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
6		zcn 9331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7		1cnd 8042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
8	6, 7	npcand 8341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
9	8	oveq1d 5937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (𝑁 / 2))
10	9	eleq1d 2265	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
11		2z 9354	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		2ne0 9082	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
13		dvdsval2 11955	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
14	11, 12, 13	mp3an12 1338	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
15	10, 14	bitr4d 191	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ 2 ∥ 𝑁))
16	15	notbid 668	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
17	5, 16	bitrd 188	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
18	17, 15	orbi12d 794	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ) ↔ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∨ 2 ∥ 𝑁)))
19	3, 18	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ∨ 2 ∥ 𝑁))
20	19	orcomd 730	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   − cmin 8197   / cdiv 8699  2c2 9041  ℤcz 9326   ∥ cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-dvds 11953

This theorem is referenced by:  zeoxor  12034  zeo5  12053  m1exp1  12066  flodddiv4  12101  2lgslem1c  15331