Theorem zeo3 11827

Description: An integer is even or odd. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zeo3	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem zeo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9250	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2		zeo 9317	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
4		zeo2 9318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
6		zcn 9217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7		1cnd 7936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
8	6, 7	npcand 8234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
9	8	oveq1d 5868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (𝑁 / 2))
10	9	eleq1d 2239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
11		2z 9240	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		2ne0 8970	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
13		dvdsval2 11752	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
14	11, 12, 13	mp3an12 1322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
15	10, 14	bitr4d 190	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ 2 ∥ 𝑁))
16	15	notbid 662	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
17	5, 16	bitrd 187	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
18	17, 15	orbi12d 788	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ) ↔ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∨ 2 ∥ 𝑁)))
19	3, 18	mpbid 146	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ∨ 2 ∥ 𝑁))
20	19	orcomd 724	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104   ∨ wo 703   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   − cmin 8090   / cdiv 8589  2c2 8929  ℤcz 9212   ∥ cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  zeoxor  11828  zeo5  11847  m1exp1  11860  flodddiv4  11893