Theorem gcdsupcl 12095

Description: Closure of the supremum used in defining gcd. A lemma for gcdval 12096 and gcdn0cl 12099. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
gcdsupcl	|- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> sup ( { n e. ZZ | ( n || X /\ n || Y ) } , RR , < ) e. NN )

Distinct variable groups:   n, X   n, Y

Proof of Theorem gcdsupcl

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9344	. . 3 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> 1 e. ZZ )
2		breq1 4032	. . . 4 |- ( n = 1 -> ( n || X <-> 1 || X ) )
3		breq1 4032	. . . 4 |- ( n = 1 -> ( n || Y <-> 1 || Y ) )
4	2, 3	anbi12d 473	. . 3 |- ( n = 1 -> ( ( n || X /\ n || Y ) <-> ( 1 || X /\ 1 || Y ) ) )
5		1dvds 11948	. . . . 5 |- ( X e. ZZ -> 1 || X )
6		1dvds 11948	. . . . 5 |- ( Y e. ZZ -> 1 || Y )
7	5, 6	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( 1 || X /\ 1 || Y ) )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> ( 1 || X /\ 1 || Y ) )
9		elnnuz 9629	. . . . . . 7 |- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
10	9	biimpri 133	. . . . . 6 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> n e. NN )
11		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> X e. ZZ )
12		dvdsdc 11941	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ X e. ZZ ) -> DECID n || X )
13	10, 11, 12	syl2an2 594	. . . . 5 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID n || X )
14		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> Y e. ZZ )
15		dvdsdc 11941	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ Y e. ZZ ) -> DECID n || Y )
16	10, 14, 15	syl2an2 594	. . . . 5 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID n || Y )
17	13, 16	dcand 934	. . . 4 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID ( n || X /\ n || Y ) )
18	17	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID ( n || X /\ n || Y ) )
19		dvdsbnd 12093	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ZZ /\ X =/= 0 ) -> E. j e. NN A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || X )
20		nnuz 9628	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
21	20	rexeqi 2695	. . . . . . 7 |- ( E. j e. NN A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || X <-> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || X )
22	19, 21	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ X =/= 0 ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || X )
23		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( -. n || X -> -. n || X )
24	23	intnanrd 933	. . . . . . . 8 |- ( -. n || X -> -. ( n || X /\ n || Y ) )
25	24	ralimi 2557	. . . . . . 7 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || X -> A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
26	25	reximi 2591	. . . . . 6 |- ( E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || X -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
27	22, 26	syl 14	. . . . 5 |- ( ( X e. ZZ /\ X =/= 0 ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
28	27	ad4ant14 514	. . . 4 |- ( ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) /\ X =/= 0 ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
29		dvdsbnd 12093	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> E. j e. NN A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || Y )
30	20	rexeqi 2695	. . . . . . 7 |- ( E. j e. NN A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || Y <-> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || Y )
31	29, 30	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || Y )
32		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( -. n || Y -> -. n || Y )
33	32	intnand 932	. . . . . . . 8 |- ( -. n || Y -> -. ( n || X /\ n || Y ) )
34	33	ralimi 2557	. . . . . . 7 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || Y -> A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
35	34	reximi 2591	. . . . . 6 |- ( E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || Y -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
36	31, 35	syl 14	. . . . 5 |- ( ( Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
37	36	ad4ant24 516	. . . 4 |- ( ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) /\ Y =/= 0 ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
38		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) )
39		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> X e. ZZ )
40		0z 9328	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
41		zdceq 9392	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID X = 0 )
42	39, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> DECID X = 0 )
43		ianordc 900	. . . . . . 7 |- (DECID X = 0 -> ( -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) <-> ( -. X = 0 \/ -. Y = 0 ) ) )
44	42, 43	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> ( -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) <-> ( -. X = 0 \/ -. Y = 0 ) ) )
45	38, 44	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> ( -. X = 0 \/ -. Y = 0 ) )
46		df-ne 2365	. . . . . 6 |- ( X =/= 0 <-> -. X = 0 )
47		df-ne 2365	. . . . . 6 |- ( Y =/= 0 <-> -. Y = 0 )
48	46, 47	orbi12i 765	. . . . 5 |- ( ( X =/= 0 \/ Y =/= 0 ) <-> ( -. X = 0 \/ -. Y = 0 ) )
49	45, 48	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> ( X =/= 0 \/ Y =/= 0 ) )
50	28, 37, 49	mpjaodan 799	. . 3 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
51	1, 4, 8, 18, 50	zsupcl 12084	. 2 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> sup ( { n e. ZZ | ( n || X /\ n || Y ) } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
52	51, 20	eleqtrrdi 2287	1 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> sup ( { n e. ZZ | ( n || X /\ n || Y ) } , RR , < ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   E.wrex 2473   {crab 2476   class class class wbr 4029   ` cfv 5254   supcsup 7041   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   < clt 8054   NNcn 8982   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   || cdvds 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931

This theorem is referenced by:  gcdval  12096  gcdn0cl  12099