ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcdsupcl Unicode version

Theorem gcdsupcl 10832
Description: Closure of the supremum used in defining  gcd. A lemma for gcdval 10833 and gcdn0cl 10836. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
gcdsupcl  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  X  /\  n  ||  Y ) } ,  RR ,  <  )  e.  NN )
Distinct variable groups:    n, X    n, Y

Proof of Theorem gcdsupcl
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 8710 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  1  e.  ZZ )
2 breq1 3823 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
n  ||  X  <->  1  ||  X ) )
3 breq1 3823 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
n  ||  Y  <->  1  ||  Y ) )
42, 3anbi12d 457 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  (
( n  ||  X  /\  n  ||  Y )  <-> 
( 1  ||  X  /\  1  ||  Y ) ) )
5 1dvds 10692 . . . . 5  |-  ( X  e.  ZZ  ->  1  ||  X )
6 1dvds 10692 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  1  ||  Y )
75, 6anim12i 331 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( 1  ||  X  /\  1  ||  Y ) )
87adantr 270 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  ( 1  ||  X  /\  1  ||  Y
) )
9 elnnuz 8987 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
109biimpri 131 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  n  e.  NN )
11 simpll 496 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  ->  X  e.  ZZ )
12 dvdsdc 10686 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  X  e.  ZZ )  -> DECID  n 
||  X )
1310, 11, 12syl2an2 559 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  -> DECID 
n  ||  X )
14 simplr 497 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  ->  Y  e.  ZZ )
15 dvdsdc 10686 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  Y  e.  ZZ )  -> DECID  n 
||  Y )
1610, 14, 15syl2an2 559 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  -> DECID 
n  ||  Y )
17 dcan 878 . . . . 5  |-  (DECID  n  ||  X  ->  (DECID  n  ||  Y  -> DECID  (
n  ||  X  /\  n  ||  Y ) ) )
1813, 16, 17sylc 61 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  -> DECID 
( n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
1918adantlr 461 . . 3  |-  ( ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  ( n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
20 simplll 500 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0
) )  /\  X  =/=  0 )  ->  X  e.  ZZ )
21 dvdsbnd 10830 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  X  =/=  0 )  ->  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  X )
22 nnuz 8986 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2322rexeqi 2563 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  X  <->  E. j  e.  (
ZZ>= `  1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  X )
2421, 23sylib 120 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  X  =/=  0 )  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  X )
25 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  ||  X  ->  -.  n  ||  X )
2625intnanrd 877 . . . . . . . 8  |-  ( -.  n  ||  X  ->  -.  ( n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
2726ralimi 2434 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  X  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ( n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
2827reximi 2466 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  X  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  (
n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
2924, 28syl 14 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  X  =/=  0 )  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  (
n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
3020, 29sylancom 411 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0
) )  /\  X  =/=  0 )  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  1 ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  j )  -.  ( n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
31 simpllr 501 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0
) )  /\  Y  =/=  0 )  ->  Y  e.  ZZ )
32 dvdsbnd 10830 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  Y )
3322rexeqi 2563 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  Y  <->  E. j  e.  (
ZZ>= `  1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  Y )
3432, 33sylib 120 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  Y )
35 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  ||  Y  ->  -.  n  ||  Y )
3635intnand 876 . . . . . . . 8  |-  ( -.  n  ||  Y  ->  -.  ( n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
3736ralimi 2434 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  Y  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ( n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
3837reximi 2466 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  Y  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  (
n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
3934, 38syl 14 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  (
n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
4031, 39sylancom 411 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0
) )  /\  Y  =/=  0 )  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  1 ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  j )  -.  ( n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
41 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )
42 simpll 496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  X  e.  ZZ )
43 0z 8694 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
44 zdceq 8755 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  X  =  0 )
4542, 43, 44sylancl 404 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  -> DECID 
X  =  0 )
46 ianordc 835 . . . . . . 7  |-  (DECID  X  =  0  ->  ( -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0
)  <->  ( -.  X  =  0  \/  -.  Y  =  0 ) ) )
4745, 46syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  ( -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 )  <-> 
( -.  X  =  0  \/  -.  Y  =  0 ) ) )
4841, 47mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  ( -.  X  =  0  \/  -.  Y  =  0 ) )
49 df-ne 2252 . . . . . 6  |-  ( X  =/=  0  <->  -.  X  =  0 )
50 df-ne 2252 . . . . . 6  |-  ( Y  =/=  0  <->  -.  Y  =  0 )
5149, 50orbi12i 714 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  0  \/  Y  =/=  0 )  <-> 
( -.  X  =  0  \/  -.  Y  =  0 ) )
5248, 51sylibr 132 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  ( X  =/=  0  \/  Y  =/=  0 ) )
5330, 40, 52mpjaodan 745 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  (
n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
541, 4, 8, 19, 53zsupcl 10825 . 2  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  X  /\  n  ||  Y ) } ,  RR ,  <  )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
5554, 22syl6eleqr 2178 1  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  X  /\  n  ||  Y ) } ,  RR ,  <  )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662  DECID wdc 778    = wceq 1287    e. wcel 1436    =/= wne 2251   A.wral 2355   E.wrex 2356   {crab 2359   class class class wbr 3820   ` cfv 4981   supcsup 6621   RRcr 7293   0cc0 7294   1c1 7295    < clt 7466   NNcn 8357   ZZcz 8683   ZZ>=cuz 8951    || cdvds 10678
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408  ax-caucvg 7409
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-frec 6110  df-sup 6623  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-3 8417  df-4 8418  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-q 9037  df-rp 9067  df-fz 9357  df-fzo 9482  df-fl 9605  df-mod 9658  df-iseq 9780  df-iexp 9854  df-cj 10172  df-re 10173  df-im 10174  df-rsqrt 10327  df-abs 10328  df-dvds 10679
This theorem is referenced by:  gcdval  10833  gcdn0cl  10836
  Copyright terms: Public domain W3C validator