Theorem cncfmpt1f 15293

Description: Composition of continuous functions. –cn→ analogue of cnmpt11f 14979. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmpt1f.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
cncfmpt1f.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
cncfmpt1f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem cncfmpt1f

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfmpt1f.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
2		cncff 15272	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
4		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
5	4	fmpt 5790	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
6	3, 5	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
7		eqidd 2230	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
8		cncfmpt1f.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9		cncff 15272	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
10	8, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
11	10	feqmptd 5692	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑦)))
12		fveq2 5632	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
13	6, 7, 11, 12	fmptcof 5807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐴)))
14	1, 8	cncfco 15286	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
15	13, 14	eqeltrrd 2307	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ↦ cmpt 4145   ∘ ccom 4724  ⟶wf 5317  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  –cn→ccncf 15265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-map 6810  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-2 9185  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-cncf 15266

This theorem is referenced by:  maxcncf  15310  mincncf  15311  sincn  15464  coscn  15465