ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncfmpt1f GIF version

Theorem cncfmpt1f 13080
Description: Composition of continuous functions. cn analogue of cnmpt11f 12780. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmpt1f.1 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
cncfmpt1f.2 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
cncfmpt1f (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem cncfmpt1f
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfmpt1f.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ))
2 cncff 13060 . . . . 5 ((𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ) → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
31, 2syl 14 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
4 eqid 2157 . . . . 5 (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝐴)
54fmpt 5620 . . . 4 (∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
63, 5sylibr 133 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
7 eqidd 2158 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝐴))
8 cncfmpt1f.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9 cncff 13060 . . . . 5 (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
108, 9syl 14 . . . 4 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
1110feqmptd 5524 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑦)))
12 fveq2 5471 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
136, 7, 11, 12fmptcof 5637 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝐴)))
141, 8cncfco 13074 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥𝑋𝐴)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
1513, 14eqeltrrd 2235 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2128  wral 2435  cmpt 4028  ccom 4593  wf 5169  cfv 5173  (class class class)co 5827  cc 7733  cnccncf 13053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-mulrcl 7834  ax-addcom 7835  ax-mulcom 7836  ax-addass 7837  ax-mulass 7838  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-1rid 7842  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-precex 7845  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851  ax-pre-mulgt0 7852  ax-pre-mulext 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-map 6598  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-reap 8455  df-ap 8462  df-div 8551  df-2 8898  df-cj 10754  df-re 10755  df-im 10756  df-rsqrt 10910  df-abs 10911  df-cncf 13054
This theorem is referenced by:  sincn  13186  coscn  13187
  Copyright terms: Public domain W3C validator