ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncfmpt1f GIF version

Theorem cncfmpt1f 14224
Description: Composition of continuous functions. –cnβ†’ analogue of cnmpt11f 13924. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmpt1f.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
cncfmpt1f.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
Assertion
Ref Expression
cncfmpt1f (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π΄)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘₯)

Proof of Theorem cncfmpt1f
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfmpt1f.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
2 cncff 14204 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚)
31, 2syl 14 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚)
4 eqid 2177 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
54fmpt 5669 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚)
63, 5sylibr 134 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ β„‚)
7 eqidd 2178 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
8 cncfmpt1f.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
9 cncff 14204 . . . . 5 (𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
108, 9syl 14 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
1110feqmptd 5572 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
12 fveq2 5517 . . 3 (𝑦 = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄))
136, 7, 11, 12fmptcof 5686 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π΄)))
141, 8cncfco 14218 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
1513, 14eqeltrrd 2255 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π΄)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455   ↦ cmpt 4066   ∘ ccom 4632  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  β„‚cc 7812  β€“cnβ†’ccncf 14197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-map 6653  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-2 8981  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-cncf 14198
This theorem is referenced by:  sincn  14330  coscn  14331
  Copyright terms: Public domain W3C validator