Theorem fvmptd3 5658

Description: Deduction version of fvmpt 5641. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptd3.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmptd3.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptd3.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
fvmptd3.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmptd3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmptd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptd3.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
2		fvmptd3.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
3		nfcv 2339	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		nfcv 2339	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
5		fvmptd3.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
6		fvmptd3.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
7	3, 4, 5, 6	fvmptf 5657	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
8	1, 2, 7	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ↦ cmpt 4095  ‘cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  ofvalg  6149  pw2f1odclem  6904  fival  7045  inl11  7140  djuss  7145  ctmlemr  7183  ctssdclemn0  7185  ctssdc  7188  enumctlemm  7189  nninfisollemne  7206  nninfisol  7208  fodjum  7221  fodju0  7222  ismkvnex  7230  nninfwlporlemd  7247  nninfwlpoimlemg  7250  nninfwlpoimlemginf  7251  cc2lem  7351  seqf1oglem2  10631  seqf1og  10632  xrnegiso  11446  summodclem3  11564  fsumf1o  11574  fsum3ser  11581  fsumadd  11590  sumsnf  11593  prodfdivap  11731  prodmodclem3  11759  prodmodclem2a  11760  fprodseq  11767  fprodf1o  11772  prodsnf  11776  fprodshft  11802  fprodrev  11803  nninfctlemfo  12234  eulerthlemh  12426  eulerthlemth  12427  phisum  12436  1arithlem2  12560  ennnfonelemjn  12646  ennnfonelemp1  12650  ctiunctlemfo  12683  nninfdclemf  12693  nninfdclemp1  12694  ptex  12968  prdsplusgfval  12988  prdsmulrfval  12990  divsfval  13032  divsfvalg  13033  plusffvalg  13066  grpidvalg  13077  issubm  13176  gsumfzz  13199  grpinvfvalg  13246  grpinvval  13247  grpsubfvalg  13249  grplactfval  13305  prdsinvlem  13312  mulgfvalg  13329  issubg  13381  subgex  13384  isnsg  13410  conjghm  13484  conjnmz  13487  qusghm  13490  gsumfzconst  13549  gsumfzmhm2  13552  mgpvalg  13557  srglmhm  13627  srgrmhm  13628  ringlghm  13695  ringrghm  13696  opprvalg  13703  reldvdsrsrg  13726  dvdsrvald  13727  isunitd  13740  invrfvald  13756  dvrfvald  13767  issubrng  13833  issubrg  13855  rrgval  13896  aprval  13916  aprap  13920  scaffvalg  13940  lsssetm  13990  lspfval  14022  lspval  14024  sraval  14071  rlmvalg  14088  2idlvalg  14137  expghmap  14241  mulgghm2  14242  mulgrhm  14243  zrhvalg  14252  zrhmulg  14254  zlmval  14261  znval  14270  znzrhval  14281  ntrval  14454  clsval  14455  cnpval  14542  upxp  14616  uptx  14618  txlm  14623  cnmpt11  14627  cnmpt21  14635  ispsmet  14667  mopnval  14786  bdxmet  14845  cncfmptc  14940  cncfmptid  14941  addccncf  14944  negcncf  14949  ivthdec  14988  ivthreinc  14989  hovera  14991  hoverb  14992  hoverlt1  14993  hovergt0  14994  limcmpted  15007  cnmptlimc  15018  dvrecap  15057  dveflem  15070  dvef  15071  plyval  15076  plycoeid3  15101  plyrecj  15107  sgmppw  15336  lgsval  15353  lgsfvalg  15354  lgsdir  15384  lgsdilem2  15385  lgsdi  15386  lgsne0  15387  gausslemma2dlem1f1o  15409  gausslemma2dlem4  15413  lgseisenlem2  15420  2lgslem1b  15438  2omap  15750  subctctexmid  15755  nninffeq  15775  nnnninfex  15777  trilpolemclim  15793  trilpolemcl  15794  trilpolemisumle  15795  trilpolemeq1  15797  trilpolemlt1  15798  iswomni0  15808  dceqnconst  15817  dcapnconst  15818  nconstwlpolemgt0  15821