Theorem fvmptd3 5589

Description: Deduction version of fvmpt 5573. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptd3.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmptd3.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptd3.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
fvmptd3.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmptd3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmptd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptd3.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
2		fvmptd3.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
3		nfcv 2312	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		nfcv 2312	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
5		fvmptd3.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
6		fvmptd3.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
7	3, 4, 5, 6	fvmptf 5588	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
8	1, 2, 7	syl2anc 409	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ↦ cmpt 4050  ‘cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  ofvalg  6070  fival  6947  inl11  7042  djuss  7047  ctmlemr  7085  ctssdclemn0  7087  ctssdc  7090  enumctlemm  7091  nninfisollemne  7107  nninfisol  7109  fodjum  7122  fodju0  7123  ismkvnex  7131  nninfwlporlemd  7148  nninfwlpoimlemg  7151  nninfwlpoimlemginf  7152  cc2lem  7228  xrnegiso  11225  summodclem3  11343  fsumf1o  11353  fsum3ser  11360  fsumadd  11369  sumsnf  11372  prodfdivap  11510  prodmodclem3  11538  prodmodclem2a  11539  fprodseq  11546  fprodf1o  11551  prodsnf  11555  fprodshft  11581  fprodrev  11582  eulerthlemh  12185  eulerthlemth  12186  phisum  12194  1arithlem2  12316  ennnfonelemjn  12357  ennnfonelemp1  12361  ctiunctlemfo  12394  nninfdclemf  12404  nninfdclemp1  12405  plusffvalg  12616  grpidvalg  12627  issubm  12695  grpinvfvalg  12745  grpinvval  12746  grpsubfvalg  12748  ntrval  12904  clsval  12905  cnpval  12992  upxp  13066  uptx  13068  txlm  13073  cnmpt11  13077  cnmpt21  13085  ispsmet  13117  mopnval  13236  bdxmet  13295  cncfmptc  13376  cncfmptid  13377  addccncf  13380  negcncf  13382  ivthdec  13416  limcmpted  13426  cnmptlimc  13437  dvrecap  13471  dveflem  13481  dvef  13482  lgsval  13699  lgsfvalg  13700  lgsdir  13730  lgsdilem2  13731  lgsdi  13732  lgsne0  13733  subctctexmid  14034  nninffeq  14053  trilpolemclim  14068  trilpolemcl  14069  trilpolemisumle  14070  trilpolemeq1  14072  trilpolemlt1  14073  iswomni0  14083  dceqnconst  14091  dcapnconst  14092  nconstwlpolemgt0  14095