Theorem fvmptd3 5655

Description: Deduction version of fvmpt 5638. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptd3.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmptd3.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptd3.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
fvmptd3.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmptd3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmptd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptd3.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
2		fvmptd3.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
3		nfcv 2339	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		nfcv 2339	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
5		fvmptd3.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
6		fvmptd3.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
7	3, 4, 5, 6	fvmptf 5654	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
8	1, 2, 7	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ↦ cmpt 4094  ‘cfv 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  ofvalg  6145  pw2f1odclem  6895  fival  7036  inl11  7131  djuss  7136  ctmlemr  7174  ctssdclemn0  7176  ctssdc  7179  enumctlemm  7180  nninfisollemne  7197  nninfisol  7199  fodjum  7212  fodju0  7213  ismkvnex  7221  nninfwlporlemd  7238  nninfwlpoimlemg  7241  nninfwlpoimlemginf  7242  cc2lem  7333  seqf1oglem2  10612  seqf1og  10613  xrnegiso  11427  summodclem3  11545  fsumf1o  11555  fsum3ser  11562  fsumadd  11571  sumsnf  11574  prodfdivap  11712  prodmodclem3  11740  prodmodclem2a  11741  fprodseq  11748  fprodf1o  11753  prodsnf  11757  fprodshft  11783  fprodrev  11784  nninfctlemfo  12207  eulerthlemh  12399  eulerthlemth  12400  phisum  12409  1arithlem2  12533  ennnfonelemjn  12619  ennnfonelemp1  12623  ctiunctlemfo  12656  nninfdclemf  12666  nninfdclemp1  12667  ptex  12935  divsfval  12971  divsfvalg  12972  plusffvalg  13005  grpidvalg  13016  issubm  13104  gsumfzz  13127  grpinvfvalg  13174  grpinvval  13175  grpsubfvalg  13177  grplactfval  13233  mulgfvalg  13251  issubg  13303  subgex  13306  isnsg  13332  conjghm  13406  conjnmz  13409  qusghm  13412  gsumfzconst  13471  gsumfzmhm2  13474  mgpvalg  13479  srglmhm  13549  srgrmhm  13550  ringlghm  13617  ringrghm  13618  opprvalg  13625  reldvdsrsrg  13648  dvdsrvald  13649  isunitd  13662  invrfvald  13678  dvrfvald  13689  issubrng  13755  issubrg  13777  rrgval  13818  aprval  13838  aprap  13842  scaffvalg  13862  lsssetm  13912  lspfval  13944  lspval  13946  sraval  13993  rlmvalg  14010  2idlvalg  14059  expghmap  14163  mulgghm2  14164  mulgrhm  14165  zrhvalg  14174  zrhmulg  14176  zlmval  14183  znval  14192  znzrhval  14203  ntrval  14346  clsval  14347  cnpval  14434  upxp  14508  uptx  14510  txlm  14515  cnmpt11  14519  cnmpt21  14527  ispsmet  14559  mopnval  14678  bdxmet  14737  cncfmptc  14832  cncfmptid  14833  addccncf  14836  negcncf  14841  ivthdec  14880  ivthreinc  14881  hovera  14883  hoverb  14884  hoverlt1  14885  hovergt0  14886  limcmpted  14899  cnmptlimc  14910  dvrecap  14949  dveflem  14962  dvef  14963  plyval  14968  plycoeid3  14993  plyrecj  14999  sgmppw  15228  lgsval  15245  lgsfvalg  15246  lgsdir  15276  lgsdilem2  15277  lgsdi  15278  lgsne0  15279  gausslemma2dlem1f1o  15301  gausslemma2dlem4  15305  lgseisenlem2  15312  2lgslem1b  15330  subctctexmid  15645  nninffeq  15664  trilpolemclim  15680  trilpolemcl  15681  trilpolemisumle  15682  trilpolemeq1  15684  trilpolemlt1  15685  iswomni0  15695  dceqnconst  15704  dcapnconst  15705  nconstwlpolemgt0  15708