Theorem fvmptd3 5578

Description: Deduction version of fvmpt 5562. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptd3.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmptd3.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptd3.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
fvmptd3.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmptd3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmptd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptd3.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
2		fvmptd3.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
3		nfcv 2307	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		nfcv 2307	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
5		fvmptd3.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
6		fvmptd3.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
7	3, 4, 5, 6	fvmptf 5577	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
8	1, 2, 7	syl2anc 409	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ↦ cmpt 4042  ‘cfv 5187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rex 2449  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195

This theorem is referenced by:  ofvalg  6058  fival  6931  inl11  7026  djuss  7031  ctmlemr  7069  ctssdclemn0  7071  ctssdc  7074  enumctlemm  7075  nninfisollemne  7091  nninfisol  7093  fodjum  7106  fodju0  7107  ismkvnex  7115  cc2lem  7203  xrnegiso  11199  summodclem3  11317  fsumf1o  11327  fsum3ser  11334  fsumadd  11343  sumsnf  11346  prodfdivap  11484  prodmodclem3  11512  prodmodclem2a  11513  fprodseq  11520  fprodf1o  11525  prodsnf  11529  fprodshft  11555  fprodrev  11556  eulerthlemh  12159  eulerthlemth  12160  phisum  12168  1arithlem2  12290  ennnfonelemjn  12331  ennnfonelemp1  12335  ctiunctlemfo  12368  nninfdclemf  12378  nninfdclemp1  12379  ntrval  12710  clsval  12711  cnpval  12798  upxp  12872  uptx  12874  txlm  12879  cnmpt11  12883  cnmpt21  12891  ispsmet  12923  mopnval  13042  bdxmet  13101  cncfmptc  13182  cncfmptid  13183  addccncf  13186  negcncf  13188  ivthdec  13222  limcmpted  13232  cnmptlimc  13243  dvrecap  13277  dveflem  13287  dvef  13288  lgsval  13505  lgsfvalg  13506  lgsdir  13536  lgsdilem2  13537  lgsdi  13538  lgsne0  13539  subctctexmid  13841  nninffeq  13860  trilpolemclim  13875  trilpolemcl  13876  trilpolemisumle  13877  trilpolemeq1  13879  trilpolemlt1  13880  iswomni0  13890  dceqnconst  13898  dcapnconst  13899  nconstwlpolemgt0  13902