Theorem fvmptd3 5685

Description: Deduction version of fvmpt 5668. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptd3.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmptd3.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptd3.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
fvmptd3.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmptd3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmptd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptd3.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
2		fvmptd3.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
3		nfcv 2349	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		nfcv 2349	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
5		fvmptd3.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
6		fvmptd3.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
7	3, 4, 5, 6	fvmptf 5684	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
8	1, 2, 7	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ↦ cmpt 4112  ‘cfv 5279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287

This theorem is referenced by:  ofvalg  6180  pw2f1odclem  6945  fival  7086  inl11  7181  djuss  7186  ctmlemr  7224  ctssdclemn0  7226  ctssdc  7229  enumctlemm  7230  nninfisollemne  7247  nninfisol  7249  fodjum  7262  fodju0  7263  ismkvnex  7271  nninfwlporlemd  7288  nninfwlpoimlemg  7291  nninfwlpoimlemginf  7292  cc2lem  7393  seqf1oglem2  10682  seqf1og  10683  lswwrd  11057  swrdfv  11124  swrdswrd  11176  xrnegiso  11643  summodclem3  11761  fsumf1o  11771  fsum3ser  11778  fsumadd  11787  sumsnf  11790  prodfdivap  11928  prodmodclem3  11956  prodmodclem2a  11957  fprodseq  11964  fprodf1o  11969  prodsnf  11973  fprodshft  11999  fprodrev  12000  nninfctlemfo  12431  eulerthlemh  12623  eulerthlemth  12624  phisum  12633  1arithlem2  12757  ennnfonelemjn  12843  ennnfonelemp1  12847  ctiunctlemfo  12880  nninfdclemf  12890  nninfdclemp1  12891  ptex  13166  prdsplusgfval  13186  prdsmulrfval  13188  divsfval  13230  divsfvalg  13231  plusffvalg  13264  grpidvalg  13275  issubm  13374  gsumfzz  13397  grpinvfvalg  13444  grpinvval  13445  grpsubfvalg  13447  grplactfval  13503  prdsinvlem  13510  mulgfvalg  13527  issubg  13579  subgex  13582  isnsg  13608  conjghm  13682  conjnmz  13685  qusghm  13688  gsumfzconst  13747  gsumfzmhm2  13750  mgpvalg  13755  srglmhm  13825  srgrmhm  13826  ringlghm  13893  ringrghm  13894  opprvalg  13901  reldvdsrsrg  13924  dvdsrvald  13925  isunitd  13938  invrfvald  13954  dvrfvald  13965  issubrng  14031  issubrg  14053  rrgval  14094  aprval  14114  aprap  14118  scaffvalg  14138  lsssetm  14188  lspfval  14220  lspval  14222  sraval  14269  rlmvalg  14286  2idlvalg  14335  expghmap  14439  mulgghm2  14440  mulgrhm  14441  zrhvalg  14450  zrhmulg  14452  zlmval  14459  znval  14468  znzrhval  14479  ntrval  14652  clsval  14653  cnpval  14740  upxp  14814  uptx  14816  txlm  14821  cnmpt11  14825  cnmpt21  14833  ispsmet  14865  mopnval  14984  bdxmet  15043  cncfmptc  15138  cncfmptid  15139  addccncf  15142  negcncf  15147  ivthdec  15186  ivthreinc  15187  hovera  15189  hoverb  15190  hoverlt1  15191  hovergt0  15192  limcmpted  15205  cnmptlimc  15216  dvrecap  15255  dveflem  15268  dvef  15269  plyval  15274  plycoeid3  15299  plyrecj  15305  sgmppw  15534  lgsval  15551  lgsfvalg  15552  lgsdir  15582  lgsdilem2  15583  lgsdi  15584  lgsne0  15585  gausslemma2dlem1f1o  15607  gausslemma2dlem4  15611  lgseisenlem2  15618  2lgslem1b  15636  vtxvalg  15685  iedgvalg  15686  edgvalg  15726  edgopval  15728  edgstruct  15730  2omap  16067  subctctexmid  16072  nninffeq  16092  nnnninfex  16094  trilpolemclim  16110  trilpolemcl  16111  trilpolemisumle  16112  trilpolemeq1  16114  trilpolemlt1  16115  iswomni0  16125  dceqnconst  16134  dcapnconst  16135  nconstwlpolemgt0  16138