Theorem fvmptd3 5740

Description: Deduction version of fvmpt 5723. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptd3.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmptd3.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptd3.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
fvmptd3.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmptd3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmptd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptd3.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
2		fvmptd3.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
3		nfcv 2374	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		nfcv 2374	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
5		fvmptd3.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
6		fvmptd3.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
7	3, 4, 5, 6	fvmptf 5739	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
8	1, 2, 7	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ↦ cmpt 4150  ‘cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  ofvalg  6245  pw2f1odclem  7020  fival  7169  inl11  7264  djuss  7269  ctmlemr  7307  ctssdclemn0  7309  ctssdc  7312  enumctlemm  7313  nninfisollemne  7330  nninfisol  7332  fodjum  7345  fodju0  7346  ismkvnex  7354  nninfwlporlemd  7371  nninfwlpoimlemg  7374  nninfwlpoimlemginf  7375  cc2lem  7485  seqf1oglem2  10783  seqf1og  10784  lswwrd  11164  swrdfv  11238  swrdswrd  11290  xrnegiso  11840  summodclem3  11959  fsumf1o  11969  fsum3ser  11976  fsumadd  11985  sumsnf  11988  prodfdivap  12126  prodmodclem3  12154  prodmodclem2a  12155  fprodseq  12162  fprodf1o  12167  prodsnf  12171  fprodshft  12197  fprodrev  12198  nninfctlemfo  12629  eulerthlemh  12821  eulerthlemth  12822  phisum  12831  1arithlem2  12955  ennnfonelemjn  13041  ennnfonelemp1  13045  ctiunctlemfo  13078  nninfdclemf  13088  nninfdclemp1  13089  ptex  13365  prdsplusgfval  13385  prdsmulrfval  13387  divsfval  13429  divsfvalg  13430  plusffvalg  13463  grpidvalg  13474  issubm  13573  gsumfzz  13596  grpinvfvalg  13643  grpinvval  13644  grpsubfvalg  13646  grplactfval  13702  prdsinvlem  13709  mulgfvalg  13726  issubg  13778  subgex  13781  isnsg  13807  conjghm  13881  conjnmz  13884  qusghm  13887  gsumfzconst  13946  gsumfzmhm2  13949  mgpvalg  13955  srglmhm  14025  srgrmhm  14026  ringlghm  14093  ringrghm  14094  opprvalg  14101  dvdsrvald  14126  isunitd  14139  invrfvald  14155  dvrfvald  14166  issubrng  14232  issubrg  14254  rrgval  14295  aprval  14315  aprap  14319  scaffvalg  14339  lsssetm  14389  lspfval  14421  lspval  14423  sraval  14470  rlmvalg  14487  2idlvalg  14536  expghmap  14640  mulgghm2  14641  mulgrhm  14642  zrhvalg  14651  zrhmulg  14653  zlmval  14660  znval  14669  znzrhval  14680  ntrval  14853  clsval  14854  cnpval  14941  upxp  15015  uptx  15017  txlm  15022  cnmpt11  15026  cnmpt21  15034  ispsmet  15066  mopnval  15185  bdxmet  15244  cncfmptc  15339  cncfmptid  15340  addccncf  15343  negcncf  15348  ivthdec  15387  ivthreinc  15388  hovera  15390  hoverb  15391  hoverlt1  15392  hovergt0  15393  limcmpted  15406  cnmptlimc  15417  dvrecap  15456  dveflem  15469  dvef  15470  plyval  15475  plycoeid3  15500  plyrecj  15506  sgmppw  15735  lgsval  15752  lgsfvalg  15753  lgsdir  15783  lgsdilem2  15784  lgsdi  15785  lgsne0  15786  gausslemma2dlem1f1o  15808  gausslemma2dlem4  15812  lgseisenlem2  15819  2lgslem1b  15837  vtxvalg  15886  iedgvalg  15887  edgvalg  15929  edgopval  15932  edgstruct  15934  vtxdgfifival  16161  wksfval  16192  trlsfvalg  16253  clwwlkg  16263  clwwlknonmpo  16298  eupthsg  16315  depindlem1  16376  2omap  16645  pw1map  16647  subctctexmid  16652  nninffeq  16673  nnnninfex  16675  trilpolemclim  16691  trilpolemcl  16692  trilpolemisumle  16693  trilpolemeq1  16695  trilpolemlt1  16696  iswomni0  16707  dceqnconst  16716  dcapnconst  16717  nconstwlpolemgt0  16720  gsumgfsumlem  16735  gfsumsn  16737