Theorem fmpttd 5672

Description: Version of fmptd 5671 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		eqid 2177	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 5671	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148   ↦ cmpt 4065  ⟶wf 5213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5673  ctmlemr  7107  ctssdclemn0  7109  ctssdc  7112  infnninf  7122  nnnninf  7124  ismkvnex  7153  fsumf1o  11398  isumss  11399  fisumss  11400  fsumcl2lem  11406  fsumadd  11414  isumclim3  11431  isummulc2  11434  fsummulc2  11456  isumshft  11498  prodfdivap  11555  fprodf1o  11596  prodssdc  11597  fprodssdc  11598  fprodmul  11599  srglmhm  13176  srgrmhm  13177  tgrest  13672  resttopon  13674  rest0  13682  cnpfval  13698  txcnp  13774  uptx  13777  cnmpt11  13786  bdxmet  14004  cncfmptc  14085  cncfmptid  14086  cdivcncfap  14090  mulcncf  14094  limcmpted  14135  dvfgg  14160  dvcnp2cntop  14166  dvmulxxbr  14169  dvcjbr  14175  dvexp  14178  dvrecap  14180  dvmptclx  14183  dvmptaddx  14184  dvmptmulx  14185  dvmptcjx  14189  dvef  14191  subctctexmid  14753  nninffeq  14772  iswomni0  14802  dceqnconst  14810  dcapnconst  14811