Theorem fmpttd 5651

Description: Version of fmptd 5650 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		eqid 2170	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 5650	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141   ↦ cmpt 4050  ⟶wf 5194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5652  ctmlemr  7085  ctssdclemn0  7087  ctssdc  7090  infnninf  7100  nnnninf  7102  ismkvnex  7131  fsumf1o  11353  isumss  11354  fisumss  11355  fsumcl2lem  11361  fsumadd  11369  isumclim3  11386  isummulc2  11389  fsummulc2  11411  isumshft  11453  prodfdivap  11510  fprodf1o  11551  prodssdc  11552  fprodssdc  11553  fprodmul  11554  tgrest  12963  resttopon  12965  rest0  12973  cnpfval  12989  txcnp  13065  uptx  13068  cnmpt11  13077  bdxmet  13295  cncfmptc  13376  cncfmptid  13377  cdivcncfap  13381  mulcncf  13385  limcmpted  13426  dvfgg  13451  dvcnp2cntop  13457  dvmulxxbr  13460  dvcjbr  13466  dvexp  13469  dvrecap  13471  dvmptclx  13474  dvmptaddx  13475  dvmptmulx  13476  dvmptcjx  13480  dvef  13482  subctctexmid  14034  nninffeq  14053  iswomni0  14083  dceqnconst  14091  dcapnconst  14092