Theorem fmpttd 5720

Description: Version of fmptd 5719 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		eqid 2196	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 5719	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   ↦ cmpt 4095  ⟶wf 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5721  pw2f1odclem  6904  ctmlemr  7183  ctssdclemn0  7185  ctssdc  7188  infnninf  7199  nnnninf  7201  ismkvnex  7230  seqf1og  10632  fsumf1o  11574  isumss  11575  fisumss  11576  fsumcl2lem  11582  fsumadd  11590  isumclim3  11607  isummulc2  11610  fsummulc2  11632  isumshft  11674  prodfdivap  11731  fprodf1o  11772  prodssdc  11773  fprodssdc  11774  fprodmul  11775  gsumfzz  13199  gsumfzmptfidmadd  13547  gsumfzconst  13549  gsumfzmhm2  13552  srglmhm  13627  srgrmhm  13628  ringlghm  13695  ringrghm  13696  gsumfzfsumlemm  14221  expghmap  14241  fczpsrbag  14303  tgrest  14491  resttopon  14493  rest0  14501  cnpfval  14517  txcnp  14593  uptx  14596  cnmpt11  14605  bdxmet  14823  cncfmptc  14918  cncfmptid  14919  cdivcncfap  14926  mulcncf  14930  maxcncf  14937  mincncf  14938  ivthreinc  14967  hovercncf  14968  limcmpted  14985  dvfgg  15010  dvcnp2cntop  15021  dvmulxxbr  15024  dvcjbr  15030  dvexp  15033  dvrecap  15035  dvmptclx  15040  dvmptaddx  15041  dvmptmulx  15042  dvmptcjx  15046  dvef  15049  elply2  15057  plyf  15059  elplyd  15063  dvply2g  15088  lgseisenlem3  15399  lgseisenlem4  15400  2omap  15728  subctctexmid  15733  nninffeq  15753  iswomni0  15786  dceqnconst  15795  dcapnconst  15796