Theorem fmpttd 5720

Description: Version of fmptd 5719 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		eqid 2196	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 5719	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   ↦ cmpt 4095  ⟶wf 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5721  pw2f1odclem  6904  ctmlemr  7183  ctssdclemn0  7185  ctssdc  7188  infnninf  7199  nnnninf  7201  ismkvnex  7230  seqf1og  10630  fsumf1o  11572  isumss  11573  fisumss  11574  fsumcl2lem  11580  fsumadd  11588  isumclim3  11605  isummulc2  11608  fsummulc2  11630  isumshft  11672  prodfdivap  11729  fprodf1o  11770  prodssdc  11771  fprodssdc  11772  fprodmul  11773  gsumfzz  13197  gsumfzmptfidmadd  13545  gsumfzconst  13547  gsumfzmhm2  13550  srglmhm  13625  srgrmhm  13626  ringlghm  13693  ringrghm  13694  gsumfzfsumlemm  14219  expghmap  14239  fczpsrbag  14301  tgrest  14489  resttopon  14491  rest0  14499  cnpfval  14515  txcnp  14591  uptx  14594  cnmpt11  14603  bdxmet  14821  cncfmptc  14916  cncfmptid  14917  cdivcncfap  14924  mulcncf  14928  maxcncf  14935  mincncf  14936  ivthreinc  14965  hovercncf  14966  limcmpted  14983  dvfgg  15008  dvcnp2cntop  15019  dvmulxxbr  15022  dvcjbr  15028  dvexp  15031  dvrecap  15033  dvmptclx  15038  dvmptaddx  15039  dvmptmulx  15040  dvmptcjx  15044  dvef  15047  elply2  15055  plyf  15057  elplyd  15061  dvply2g  15086  lgseisenlem3  15397  lgseisenlem4  15398  2omap  15726  subctctexmid  15731  nninffeq  15751  iswomni0  15782  dceqnconst  15791  dcapnconst  15792