Theorem fmpttd 5714

Description: Version of fmptd 5713 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		eqid 2193	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 5713	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164   ↦ cmpt 4091  ⟶wf 5251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5715  pw2f1odclem  6892  ctmlemr  7169  ctssdclemn0  7171  ctssdc  7174  infnninf  7185  nnnninf  7187  ismkvnex  7216  seqf1og  10595  fsumf1o  11536  isumss  11537  fisumss  11538  fsumcl2lem  11544  fsumadd  11552  isumclim3  11569  isummulc2  11572  fsummulc2  11594  isumshft  11636  prodfdivap  11693  fprodf1o  11734  prodssdc  11735  fprodssdc  11736  fprodmul  11737  gsumfzz  13070  gsumfzmptfidmadd  13412  gsumfzconst  13414  gsumfzmhm2  13417  srglmhm  13492  srgrmhm  13493  ringlghm  13560  ringrghm  13561  gsumfzfsumlemm  14086  expghmap  14106  fczpsrbag  14168  tgrest  14348  resttopon  14350  rest0  14358  cnpfval  14374  txcnp  14450  uptx  14453  cnmpt11  14462  bdxmet  14680  cncfmptc  14775  cncfmptid  14776  cdivcncfap  14783  mulcncf  14787  maxcncf  14794  mincncf  14795  ivthreinc  14824  hovercncf  14825  limcmpted  14842  dvfgg  14867  dvcnp2cntop  14878  dvmulxxbr  14881  dvcjbr  14887  dvexp  14890  dvrecap  14892  dvmptclx  14897  dvmptaddx  14898  dvmptmulx  14899  dvmptcjx  14903  dvef  14906  elply2  14914  plyf  14916  elplyd  14920  lgseisenlem3  15229  lgseisenlem4  15230  subctctexmid  15561  nninffeq  15580  iswomni0  15611  dceqnconst  15620  dcapnconst  15621