Theorem fmpttd 5619

Description: Version of fmptd 5618 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		eqid 2157	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 5618	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2128   ↦ cmpt 4025  ⟶wf 5163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5620  ctmlemr  7042  ctssdclemn0  7044  ctssdc  7047  infnninf  7056  nnnninf  7058  ismkvnex  7081  fsumf1o  11269  isumss  11270  fisumss  11271  fsumcl2lem  11277  fsumadd  11285  isumclim3  11302  isummulc2  11305  fsummulc2  11327  isumshft  11369  prodfdivap  11426  fprodf1o  11467  prodssdc  11468  fprodssdc  11469  fprodmul  11470  tgrest  12529  resttopon  12531  rest0  12539  cnpfval  12555  txcnp  12631  uptx  12634  cnmpt11  12643  bdxmet  12861  cncfmptc  12942  cncfmptid  12943  cdivcncfap  12947  mulcncf  12951  limcmpted  12992  dvfgg  13017  dvcnp2cntop  13023  dvmulxxbr  13026  dvcjbr  13032  dvexp  13035  dvrecap  13037  dvmptclx  13040  dvmptaddx  13041  dvmptmulx  13042  dvmptcjx  13046  dvef  13048  subctctexmid  13533  nninffeq  13554  iswomni0  13584  dceqnconst  13592  dcapnconst  13593