Theorem fmpttd 5674

Description: Version of fmptd 5673 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		eqid 2177	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 5673	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148   ↦ cmpt 4066  ⟶wf 5214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5675  ctmlemr  7110  ctssdclemn0  7112  ctssdc  7115  infnninf  7125  nnnninf  7127  ismkvnex  7156  fsumf1o  11401  isumss  11402  fisumss  11403  fsumcl2lem  11409  fsumadd  11417  isumclim3  11434  isummulc2  11437  fsummulc2  11459  isumshft  11501  prodfdivap  11558  fprodf1o  11599  prodssdc  11600  fprodssdc  11601  fprodmul  11602  srglmhm  13187  srgrmhm  13188  tgrest  13830  resttopon  13832  rest0  13840  cnpfval  13856  txcnp  13932  uptx  13935  cnmpt11  13944  bdxmet  14162  cncfmptc  14243  cncfmptid  14244  cdivcncfap  14248  mulcncf  14252  limcmpted  14293  dvfgg  14318  dvcnp2cntop  14324  dvmulxxbr  14327  dvcjbr  14333  dvexp  14336  dvrecap  14338  dvmptclx  14341  dvmptaddx  14342  dvmptmulx  14343  dvmptcjx  14347  dvef  14349  subctctexmid  14912  nninffeq  14931  iswomni0  14961  dceqnconst  14970  dcapnconst  14971