Theorem fmpttd 5831

Description: Version of fmptd 5830 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		eqid 2232	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 5830	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2203   ↦ cmpt 4170  ⟶wf 5347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5832  pw2f1odclem  7086  mapxpen  7100  2omap  7268  ctmlemr  7398  ctssdclemn0  7400  ctssdc  7403  infnninf  7414  nnnninf  7416  ismkvnex  7445  seqf1og  10879  ccatcl  11274  swrdclg  11335  swrdwrdsymbg  11349  fsumf1o  12069  isumss  12070  fisumss  12071  fsumcl2lem  12077  fsumadd  12085  isumclim3  12102  isummulc2  12105  fsummulc2  12127  isumshft  12169  prodfdivap  12226  fprodf1o  12267  prodssdc  12268  fprodssdc  12269  fprodmul  12270  gsumfzz  13697  gsumfzmptfidmadd  14045  gsumfzconst  14047  gsumfzmhm2  14050  srglmhm  14126  srgrmhm  14127  ringlghm  14194  ringrghm  14195  gsumfzfsumlemm  14722  expghmap  14742  fczpsrbag  14807  mplsubgfilemm  14840  tgrest  15021  resttopon  15023  rest0  15031  cnpfval  15047  txcnp  15123  uptx  15126  cnmpt11  15135  bdxmet  15353  cncfmptc  15448  cncfmptid  15449  cdivcncfap  15456  mulcncf  15460  maxcncf  15467  mincncf  15468  ivthreinc  15497  hovercncf  15498  limcmpted  15515  dvfgg  15540  dvcnp2cntop  15551  dvmulxxbr  15554  dvcjbr  15560  dvexp  15563  dvrecap  15565  dvmptclx  15570  dvmptaddx  15571  dvmptmulx  15572  dvmptcjx  15576  dvef  15579  elply2  15587  plyf  15589  elplyd  15593  dvply2g  15618  lgseisenlem3  15932  lgseisenlem4  15933  incistruhgr  16072  pw1map  16756  subctctexmid  16761  nninffeq  16785  iswomni0  16823  dceqnconst  16832  dcapnconst  16833  gfsumsn  16853  gfsumz  16855