Theorem fmpttd 5717

Description: Version of fmptd 5716 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		eqid 2196	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 5716	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   ↦ cmpt 4094  ⟶wf 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5718  pw2f1odclem  6895  ctmlemr  7174  ctssdclemn0  7176  ctssdc  7179  infnninf  7190  nnnninf  7192  ismkvnex  7221  seqf1og  10613  fsumf1o  11555  isumss  11556  fisumss  11557  fsumcl2lem  11563  fsumadd  11571  isumclim3  11588  isummulc2  11591  fsummulc2  11613  isumshft  11655  prodfdivap  11712  fprodf1o  11753  prodssdc  11754  fprodssdc  11755  fprodmul  11756  gsumfzz  13127  gsumfzmptfidmadd  13469  gsumfzconst  13471  gsumfzmhm2  13474  srglmhm  13549  srgrmhm  13550  ringlghm  13617  ringrghm  13618  gsumfzfsumlemm  14143  expghmap  14163  fczpsrbag  14225  tgrest  14405  resttopon  14407  rest0  14415  cnpfval  14431  txcnp  14507  uptx  14510  cnmpt11  14519  bdxmet  14737  cncfmptc  14832  cncfmptid  14833  cdivcncfap  14840  mulcncf  14844  maxcncf  14851  mincncf  14852  ivthreinc  14881  hovercncf  14882  limcmpted  14899  dvfgg  14924  dvcnp2cntop  14935  dvmulxxbr  14938  dvcjbr  14944  dvexp  14947  dvrecap  14949  dvmptclx  14954  dvmptaddx  14955  dvmptmulx  14956  dvmptcjx  14960  dvef  14963  elply2  14971  plyf  14973  elplyd  14977  dvply2g  15002  lgseisenlem3  15313  lgseisenlem4  15314  subctctexmid  15645  nninffeq  15664  iswomni0  15695  dceqnconst  15704  dcapnconst  15705