Theorem fmpttd 5795

Description: Version of fmptd 5794 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		eqid 2229	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 5794	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   ↦ cmpt 4145  ⟶wf 5317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5796  pw2f1odclem  7008  ctmlemr  7291  ctssdclemn0  7293  ctssdc  7296  infnninf  7307  nnnninf  7309  ismkvnex  7338  seqf1og  10760  ccatcl  11146  swrdclg  11203  swrdwrdsymbg  11217  fsumf1o  11922  isumss  11923  fisumss  11924  fsumcl2lem  11930  fsumadd  11938  isumclim3  11955  isummulc2  11958  fsummulc2  11980  isumshft  12022  prodfdivap  12079  fprodf1o  12120  prodssdc  12121  fprodssdc  12122  fprodmul  12123  gsumfzz  13549  gsumfzmptfidmadd  13897  gsumfzconst  13899  gsumfzmhm2  13902  srglmhm  13977  srgrmhm  13978  ringlghm  14045  ringrghm  14046  gsumfzfsumlemm  14572  expghmap  14592  fczpsrbag  14656  mplsubgfilemm  14683  tgrest  14864  resttopon  14866  rest0  14874  cnpfval  14890  txcnp  14966  uptx  14969  cnmpt11  14978  bdxmet  15196  cncfmptc  15291  cncfmptid  15292  cdivcncfap  15299  mulcncf  15303  maxcncf  15310  mincncf  15311  ivthreinc  15340  hovercncf  15341  limcmpted  15358  dvfgg  15383  dvcnp2cntop  15394  dvmulxxbr  15397  dvcjbr  15403  dvexp  15406  dvrecap  15408  dvmptclx  15413  dvmptaddx  15414  dvmptmulx  15415  dvmptcjx  15419  dvef  15422  elply2  15430  plyf  15432  elplyd  15436  dvply2g  15461  lgseisenlem3  15772  lgseisenlem4  15773  incistruhgr  15911  2omap  16472  pw1map  16474  subctctexmid  16479  nninffeq  16500  iswomni0  16533  dceqnconst  16542  dcapnconst  16543