Theorem fmpttd 5640

Description: Version of fmptd 5639 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		eqid 2165	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 5639	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136   ↦ cmpt 4043  ⟶wf 5184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5641  ctmlemr  7073  ctssdclemn0  7075  ctssdc  7078  infnninf  7088  nnnninf  7090  ismkvnex  7119  fsumf1o  11331  isumss  11332  fisumss  11333  fsumcl2lem  11339  fsumadd  11347  isumclim3  11364  isummulc2  11367  fsummulc2  11389  isumshft  11431  prodfdivap  11488  fprodf1o  11529  prodssdc  11530  fprodssdc  11531  fprodmul  11532  tgrest  12809  resttopon  12811  rest0  12819  cnpfval  12835  txcnp  12911  uptx  12914  cnmpt11  12923  bdxmet  13141  cncfmptc  13222  cncfmptid  13223  cdivcncfap  13227  mulcncf  13231  limcmpted  13272  dvfgg  13297  dvcnp2cntop  13303  dvmulxxbr  13306  dvcjbr  13312  dvexp  13315  dvrecap  13317  dvmptclx  13320  dvmptaddx  13321  dvmptmulx  13322  dvmptcjx  13326  dvef  13328  subctctexmid  13881  nninffeq  13900  iswomni0  13930  dceqnconst  13938  dcapnconst  13939