Theorem fmpttd 5792

Description: Version of fmptd 5791 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		eqid 2229	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 5791	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   ↦ cmpt 4145  ⟶wf 5314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5793  pw2f1odclem  7003  ctmlemr  7283  ctssdclemn0  7285  ctssdc  7288  infnninf  7299  nnnninf  7301  ismkvnex  7330  seqf1og  10751  ccatcl  11136  swrdclg  11190  swrdwrdsymbg  11204  fsumf1o  11909  isumss  11910  fisumss  11911  fsumcl2lem  11917  fsumadd  11925  isumclim3  11942  isummulc2  11945  fsummulc2  11967  isumshft  12009  prodfdivap  12066  fprodf1o  12107  prodssdc  12108  fprodssdc  12109  fprodmul  12110  gsumfzz  13536  gsumfzmptfidmadd  13884  gsumfzconst  13886  gsumfzmhm2  13889  srglmhm  13964  srgrmhm  13965  ringlghm  14032  ringrghm  14033  gsumfzfsumlemm  14559  expghmap  14579  fczpsrbag  14643  mplsubgfilemm  14670  tgrest  14851  resttopon  14853  rest0  14861  cnpfval  14877  txcnp  14953  uptx  14956  cnmpt11  14965  bdxmet  15183  cncfmptc  15278  cncfmptid  15279  cdivcncfap  15286  mulcncf  15290  maxcncf  15297  mincncf  15298  ivthreinc  15327  hovercncf  15328  limcmpted  15345  dvfgg  15370  dvcnp2cntop  15381  dvmulxxbr  15384  dvcjbr  15390  dvexp  15393  dvrecap  15395  dvmptclx  15400  dvmptaddx  15401  dvmptmulx  15402  dvmptcjx  15406  dvef  15409  elply2  15417  plyf  15419  elplyd  15423  dvply2g  15448  lgseisenlem3  15759  lgseisenlem4  15760  incistruhgr  15898  2omap  16388  pw1map  16390  subctctexmid  16395  nninffeq  16416  iswomni0  16449  dceqnconst  16458  dcapnconst  16459