Theorem fmpttd 5763

Description: Version of fmptd 5762 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		eqid 2209	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 5762	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2180   ↦ cmpt 4124  ⟶wf 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5764  pw2f1odclem  6963  ctmlemr  7243  ctssdclemn0  7245  ctssdc  7248  infnninf  7259  nnnninf  7261  ismkvnex  7290  seqf1og  10710  ccatcl  11094  swrdclg  11148  swrdwrdsymbg  11162  fsumf1o  11867  isumss  11868  fisumss  11869  fsumcl2lem  11875  fsumadd  11883  isumclim3  11900  isummulc2  11903  fsummulc2  11925  isumshft  11967  prodfdivap  12024  fprodf1o  12065  prodssdc  12066  fprodssdc  12067  fprodmul  12068  gsumfzz  13494  gsumfzmptfidmadd  13842  gsumfzconst  13844  gsumfzmhm2  13847  srglmhm  13922  srgrmhm  13923  ringlghm  13990  ringrghm  13991  gsumfzfsumlemm  14516  expghmap  14536  fczpsrbag  14600  mplsubgfilemm  14627  tgrest  14808  resttopon  14810  rest0  14818  cnpfval  14834  txcnp  14910  uptx  14913  cnmpt11  14922  bdxmet  15140  cncfmptc  15235  cncfmptid  15236  cdivcncfap  15243  mulcncf  15247  maxcncf  15254  mincncf  15255  ivthreinc  15284  hovercncf  15285  limcmpted  15302  dvfgg  15327  dvcnp2cntop  15338  dvmulxxbr  15341  dvcjbr  15347  dvexp  15350  dvrecap  15352  dvmptclx  15357  dvmptaddx  15358  dvmptmulx  15359  dvmptcjx  15363  dvef  15366  elply2  15374  plyf  15376  elplyd  15380  dvply2g  15405  lgseisenlem3  15716  lgseisenlem4  15717  incistruhgr  15855  2omap  16270  pw1map  16272  subctctexmid  16277  nninffeq  16297  iswomni0  16330  dceqnconst  16339  dcapnconst  16340