Theorem fmpttd 5798

Description: Version of fmptd 5797 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		eqid 2229	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 5797	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   ↦ cmpt 4148  ⟶wf 5320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5799  pw2f1odclem  7015  ctmlemr  7301  ctssdclemn0  7303  ctssdc  7306  infnninf  7317  nnnninf  7319  ismkvnex  7348  seqf1og  10776  ccatcl  11163  swrdclg  11224  swrdwrdsymbg  11238  fsumf1o  11944  isumss  11945  fisumss  11946  fsumcl2lem  11952  fsumadd  11960  isumclim3  11977  isummulc2  11980  fsummulc2  12002  isumshft  12044  prodfdivap  12101  fprodf1o  12142  prodssdc  12143  fprodssdc  12144  fprodmul  12145  gsumfzz  13571  gsumfzmptfidmadd  13919  gsumfzconst  13921  gsumfzmhm2  13924  srglmhm  13999  srgrmhm  14000  ringlghm  14067  ringrghm  14068  gsumfzfsumlemm  14594  expghmap  14614  fczpsrbag  14678  mplsubgfilemm  14705  tgrest  14886  resttopon  14888  rest0  14896  cnpfval  14912  txcnp  14988  uptx  14991  cnmpt11  15000  bdxmet  15218  cncfmptc  15313  cncfmptid  15314  cdivcncfap  15321  mulcncf  15325  maxcncf  15332  mincncf  15333  ivthreinc  15362  hovercncf  15363  limcmpted  15380  dvfgg  15405  dvcnp2cntop  15416  dvmulxxbr  15419  dvcjbr  15425  dvexp  15428  dvrecap  15430  dvmptclx  15435  dvmptaddx  15436  dvmptmulx  15437  dvmptcjx  15441  dvef  15444  elply2  15452  plyf  15454  elplyd  15458  dvply2g  15483  lgseisenlem3  15794  lgseisenlem4  15795  incistruhgr  15934  2omap  16544  pw1map  16546  subctctexmid  16551  nninffeq  16572  iswomni0  16605  dceqnconst  16614  dcapnconst  16615