Theorem fmpttd 5857

Description: Version of fmptd 5856 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		eqid 2238	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 5856	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   ↦ cmpt 4190  ⟶wf 5371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5858  pw2f1odclem  7128  mapxpen  7142  2omap  7312  ctmlemr  7442  ctssdclemn0  7444  ctssdc  7447  infnninf  7458  nnnninf  7460  ismkvnex  7489  seqf1og  10941  ccatcl  11344  swrdclg  11405  swrdwrdsymbg  11419  fsumf1o  12140  isumss  12141  fisumss  12142  fsumcl2lem  12148  fsumadd  12156  isumclim3  12173  isummulc2  12176  fsummulc2  12198  isumshft  12240  prodfdivap  12297  fprodf1o  12338  prodssdc  12339  fprodssdc  12340  fprodmul  12341  gzsumconst  14126  gzsummhm2  14129  gsumsncmn  14139  gsumzfi  14141  gsummptfidmadd  14144  gsummhm2fi  14148  gsumconstcmn  14149  srglmhm  14280  srgrmhm  14281  ringlghm  14349  ringrghm  14350  gsumfsum  14906  expghmap  14925  fczpsrbag  15039  mplsubgfilemm  15072  tgrest  15253  resttopon  15255  rest0  15263  cnpfval  15279  txcnp  15355  uptx  15358  cnmpt11  15367  bdxmet  15585  cncfmptc  15680  cncfmptid  15681  cdivcncfap  15688  mulcncf  15692  maxcncf  15699  mincncf  15700  ivthreinc  15729  hovercncf  15730  limcmpted  15747  dvfgg  15772  dvcnp2cntop  15783  dvmulxxbr  15786  dvcjbr  15792  dvexp  15795  dvrecap  15797  dvmptclx  15802  dvmptaddx  15803  dvmptmulx  15804  dvmptcjx  15808  dvef  15811  elply2  15819  plyf  15821  elplyd  15825  dvply2g  15850  lgseisenlem3  16174  lgseisenlem4  16175  incistruhgr  16314  pw1map  17008  subctctexmid  17013  nninffeq  17037  iswomni0  17075  dceqnconst  17084  dcapnconst  17085