Theorem fmpttd 5671

Description: Version of fmptd 5670 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		eqid 2177	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 5670	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148   ↦ cmpt 4064  ⟶wf 5212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224

This theorem is referenced by:  fmpt3d  5672  ctmlemr  7106  ctssdclemn0  7108  ctssdc  7111  infnninf  7121  nnnninf  7123  ismkvnex  7152  fsumf1o  11397  isumss  11398  fisumss  11399  fsumcl2lem  11405  fsumadd  11413  isumclim3  11430  isummulc2  11433  fsummulc2  11455  isumshft  11497  prodfdivap  11554  fprodf1o  11595  prodssdc  11596  fprodssdc  11597  fprodmul  11598  srglmhm  13174  srgrmhm  13175  tgrest  13639  resttopon  13641  rest0  13649  cnpfval  13665  txcnp  13741  uptx  13744  cnmpt11  13753  bdxmet  13971  cncfmptc  14052  cncfmptid  14053  cdivcncfap  14057  mulcncf  14061  limcmpted  14102  dvfgg  14127  dvcnp2cntop  14133  dvmulxxbr  14136  dvcjbr  14142  dvexp  14145  dvrecap  14147  dvmptclx  14150  dvmptaddx  14151  dvmptmulx  14152  dvmptcjx  14156  dvef  14158  subctctexmid  14720  nninffeq  14739  iswomni0  14769  dceqnconst  14777  dcapnconst  14778