Theorem fmpttd 5863

Description: Version of fmptd 5862 with inlined definition. Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.) (Proof shortened by BJ, 16-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpttd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpttd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem fmpttd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpttd.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		eqid 2238	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fmptd 5862	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   ↦ cmpt 4192  ⟶wf 5373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385

This theorem is used by:  fmpt3d  5864  pw2f1odclem  7134  mapxpen  7148  2omap  7318  ctmlemr  7448  ctssdclemn0  7450  ctssdc  7453  infnninf  7464  nnnninf  7466  ismkvnex  7495  seqf1og  10960  ccatcl  11363  swrdclg  11424  swrdwrdsymbg  11438  fsumf1o  12159  isumss  12160  fisumss  12161  fsumcl2lem  12167  fsumadd  12175  isumclim3  12192  isummulc2  12195  fsummulc2  12217  isumshft  12259  prodfdivap  12316  fprodf1o  12357  prodssdc  12358  fprodssdc  12359  fprodmul  12360  gzsumconst  14145  gzsummhm2  14148  gsumsncmn  14158  gsumzfi  14160  gsummptfidmadd  14163  gsummhm2fi  14167  gsumconstcmn  14168  srglmhm  14299  srgrmhm  14300  ringlghm  14368  ringrghm  14369  gsumfsum  14925  expghmap  14944  fczpsrbag  15058  mplsubgfilemm  15091  tgrest  15272  resttopon  15274  rest0  15282  cnpfval  15298  txcnp  15374  uptx  15377  cnmpt11  15386  bdxmet  15604  cncfmptc  15699  cncfmptid  15700  cdivcncfap  15707  mulcncf  15711  maxcncf  15718  mincncf  15719  ivthreinc  15748  hovercncf  15749  limcmpted  15766  dvfgg  15791  dvcnp2cntop  15802  dvmulxxbr  15805  dvcjbr  15811  dvexp  15814  dvrecap  15816  dvmptclx  15821  dvmptaddx  15822  dvmptmulx  15823  dvmptcjx  15827  dvef  15830  elply2  15838  plyf  15840  elplyd  15844  dvply2g  15869  lgseisenlem3  16203  lgseisenlem4  16204  incistruhgr  16343  pw1map  17037  subctctexmid  17042  nninffeq  17075  iswomni0  17113  dceqnconst  17122  dcapnconst  17123