Theorem nnmulcld 9286

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 9258	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050   · cmul 8132  ℕcn 9237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-1rid 8234  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-inn 9238

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10616  bcval  11111  bcm1k  11122  bcp1n  11123  permnn  11134  cvg1nlemcxze  11667  cvg1nlemf  11668  cvg1nlemcau  11669  cvg1nlemres  11670  trireciplem  12186  efaddlem  12360  eftlub  12376  eirraplem  12463  modmulconst  12509  lcmval  12760  oddpwdclemxy  12866  oddpwdclemdc  12870  sqpweven  12872  2sqpwodd  12873  crth  12921  phimullem  12922  modprm0  12952  pcqmul  13001  pcaddlem  13037  pcbc  13049  oddprmdvds  13052  pockthlem  13054  pockthg  13055  4sqlem13m  13101  4sqlem14  13102  4sqlem17  13105  4sqlem18  13106  evenennn  13144  mpodvdsmulf1o  15858  fsumdvdsmul  15859  sgmmul  15864  gausslemma2dlem1a  15931  lgseisenlem2  15944  lgseisenlem4  15946  lgsquadlemsfi  15948  lgsquadlem2  15951  lgsquadlem3  15952  lgsquad2lem2  15955  2sqlem6  15993