Theorem nnmulcld 9303

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 9275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058   · cmul 8148  ℕcn 9254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-1rid 8250  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10640  bcval  11136  bcm1k  11147  bcp1n  11148  permnn  11159  cvg1nlemcxze  11692  cvg1nlemf  11693  cvg1nlemcau  11694  cvg1nlemres  11695  trireciplem  12211  efaddlem  12385  eftlub  12401  eirraplem  12488  modmulconst  12534  lcmval  12785  oddpwdclemxy  12891  oddpwdclemdc  12895  sqpweven  12897  2sqpwodd  12898  crth  12946  phimullem  12947  modprm0  12977  pcqmul  13026  pcaddlem  13062  pcbc  13074  oddprmdvds  13077  pockthlem  13079  pockthg  13080  4sqlem13m  13126  4sqlem14  13127  4sqlem17  13130  4sqlem18  13131  evenennn  13228  mpodvdsmulf1o  15984  fsumdvdsmul  15985  sgmmul  15990  gausslemma2dlem1a  16057  lgseisenlem2  16070  lgseisenlem4  16072  lgsquadlemsfi  16074  lgsquadlem2  16077  lgsquadlem3  16078  lgsquad2lem2  16081  2sqlem6  16119