Theorem nnmulcld 9192

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 9164	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018   · cmul 8037  ℕcn 9143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-1rid 8139  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10517  bcval  11012  bcm1k  11023  bcp1n  11024  permnn  11034  cvg1nlemcxze  11547  cvg1nlemf  11548  cvg1nlemcau  11549  cvg1nlemres  11550  trireciplem  12066  efaddlem  12240  eftlub  12256  eirraplem  12343  modmulconst  12389  lcmval  12640  oddpwdclemxy  12746  oddpwdclemdc  12750  sqpweven  12752  2sqpwodd  12753  crth  12801  phimullem  12802  modprm0  12832  pcqmul  12881  pcaddlem  12917  pcbc  12929  oddprmdvds  12932  pockthlem  12934  pockthg  12935  4sqlem13m  12981  4sqlem14  12982  4sqlem17  12985  4sqlem18  12986  evenennn  13019  mpodvdsmulf1o  15720  fsumdvdsmul  15721  sgmmul  15726  gausslemma2dlem1a  15793  lgseisenlem2  15806  lgseisenlem4  15808  lgsquadlemsfi  15810  lgsquadlem2  15813  lgsquadlem3  15814  lgsquad2lem2  15817  2sqlem6  15855