Theorem nnmulcld 9234

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 9206	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028   · cmul 8080  ℕcn 9185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-1rid 8182  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9186

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10562  bcval  11057  bcm1k  11068  bcp1n  11069  permnn  11079  cvg1nlemcxze  11605  cvg1nlemf  11606  cvg1nlemcau  11607  cvg1nlemres  11608  trireciplem  12124  efaddlem  12298  eftlub  12314  eirraplem  12401  modmulconst  12447  lcmval  12698  oddpwdclemxy  12804  oddpwdclemdc  12808  sqpweven  12810  2sqpwodd  12811  crth  12859  phimullem  12860  modprm0  12890  pcqmul  12939  pcaddlem  12975  pcbc  12987  oddprmdvds  12990  pockthlem  12992  pockthg  12993  4sqlem13m  13039  4sqlem14  13040  4sqlem17  13043  4sqlem18  13044  evenennn  13077  mpodvdsmulf1o  15787  fsumdvdsmul  15788  sgmmul  15793  gausslemma2dlem1a  15860  lgseisenlem2  15873  lgseisenlem4  15875  lgsquadlemsfi  15877  lgsquadlem2  15880  lgsquadlem3  15881  lgsquad2lem2  15884  2sqlem6  15922