Theorem nnmulcld 9170

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 9142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007   · cmul 8015  ℕcn 9121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-1rid 8117  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9122

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10488  bcval  10983  bcm1k  10994  bcp1n  10995  permnn  11005  cvg1nlemcxze  11508  cvg1nlemf  11509  cvg1nlemcau  11510  cvg1nlemres  11511  trireciplem  12026  efaddlem  12200  eftlub  12216  eirraplem  12303  modmulconst  12349  lcmval  12600  oddpwdclemxy  12706  oddpwdclemdc  12710  sqpweven  12712  2sqpwodd  12713  crth  12761  phimullem  12762  modprm0  12792  pcqmul  12841  pcaddlem  12877  pcbc  12889  oddprmdvds  12892  pockthlem  12894  pockthg  12895  4sqlem13m  12941  4sqlem14  12942  4sqlem17  12945  4sqlem18  12946  evenennn  12979  mpodvdsmulf1o  15679  fsumdvdsmul  15680  sgmmul  15685  gausslemma2dlem1a  15752  lgseisenlem2  15765  lgseisenlem4  15767  lgsquadlemsfi  15769  lgsquadlem2  15772  lgsquadlem3  15773  lgsquad2lem2  15776  2sqlem6  15814