Theorem nnmulcld 9362

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 9334	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088   · cmul 8190  ℕcn 9313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-1rid 8292  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314

This theorem is used by:  qbtwnre  10708  bcval  11209  bcm1k  11220  bcp1n  11221  permnn  11232  cvg1nlemcxze  11770  cvg1nlemf  11771  cvg1nlemcau  11772  cvg1nlemres  11773  trireciplem  12292  efaddlem  12466  eftlub  12482  eirraplem  12569  modmulconst  12615  lcmval  12866  nnmaxpwlemxy  12973  nnmaxpwlemparts  12977  sqpweven  12980  2sqpwodd  12981  crth  13031  phimullem  13032  modprm0  13062  pcqmul  13111  pcaddlem  13147  pcbc  13159  oddprmdvds  13162  pockthlem  13164  pockthg  13165  4sqlem13m  13211  4sqlem14  13212  4sqlem17  13215  4sqlem18  13216  evenennn  13342  zprmlogbaplem3  16217  log2tlbndlog2  16220  log2ublem2  16222  log2ublog2  16224  mpodvdsmulf1o  16284  fsumdvdsmul  16285  sgmmul  16290  chtublem  16295  bcmono  16304  bposlem3  16313  bposlem5  16315  gausslemma2dlem1a  16382  lgseisenlem2  16395  lgseisenlem4  16397  lgsquadlemsfi  16399  lgsquadlem2  16402  lgsquadlem3  16403  lgsquad2lem2  16406  2sqlem6  16444