ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmulcld GIF version

Theorem nnmulcld 8442
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnmulcld (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnmulcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 nnmulcl 8415 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
41, 2, 3syl2anc 403 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1438  (class class class)co 5634   · cmul 7334  cn 8394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-1rid 7431  ax-cnre 7435
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-iota 4967  df-fv 5010  df-ov 5637  df-inn 8395
This theorem is referenced by:  qbtwnre  9633  bcval  10122  bcm1k  10133  bcp1n  10134  permnn  10144  cvg1nlemcxze  10380  cvg1nlemf  10381  cvg1nlemcau  10382  cvg1nlemres  10383  trireciplem  10855  modmulconst  10921  lcmval  11138  oddpwdclemxy  11240  oddpwdclemdc  11244  sqpweven  11246  2sqpwodd  11247  crth  11293  phimullem  11294  evenennn  11299
  Copyright terms: Public domain W3C validator