Theorem nnmulcld 9182

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 9154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013   · cmul 8027  ℕcn 9133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-1rid 8129  ax-cnre 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-inn 9134

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10506  bcval  11001  bcm1k  11012  bcp1n  11013  permnn  11023  cvg1nlemcxze  11533  cvg1nlemf  11534  cvg1nlemcau  11535  cvg1nlemres  11536  trireciplem  12051  efaddlem  12225  eftlub  12241  eirraplem  12328  modmulconst  12374  lcmval  12625  oddpwdclemxy  12731  oddpwdclemdc  12735  sqpweven  12737  2sqpwodd  12738  crth  12786  phimullem  12787  modprm0  12817  pcqmul  12866  pcaddlem  12902  pcbc  12914  oddprmdvds  12917  pockthlem  12919  pockthg  12920  4sqlem13m  12966  4sqlem14  12967  4sqlem17  12970  4sqlem18  12971  evenennn  13004  mpodvdsmulf1o  15704  fsumdvdsmul  15705  sgmmul  15710  gausslemma2dlem1a  15777  lgseisenlem2  15790  lgseisenlem4  15792  lgsquadlemsfi  15794  lgsquadlem2  15797  lgsquadlem3  15798  lgsquad2lem2  15801  2sqlem6  15839