Theorem nnmulcld 9180

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 9152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6011   · cmul 8025  ℕcn 9131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-mulcom 8121  ax-addass 8122  ax-mulass 8123  ax-distr 8124  ax-1rid 8127  ax-cnre 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-br 4085  df-iota 5282  df-fv 5330  df-ov 6014  df-inn 9132

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10504  bcval  10999  bcm1k  11010  bcp1n  11011  permnn  11021  cvg1nlemcxze  11530  cvg1nlemf  11531  cvg1nlemcau  11532  cvg1nlemres  11533  trireciplem  12048  efaddlem  12222  eftlub  12238  eirraplem  12325  modmulconst  12371  lcmval  12622  oddpwdclemxy  12728  oddpwdclemdc  12732  sqpweven  12734  2sqpwodd  12735  crth  12783  phimullem  12784  modprm0  12814  pcqmul  12863  pcaddlem  12899  pcbc  12911  oddprmdvds  12914  pockthlem  12916  pockthg  12917  4sqlem13m  12963  4sqlem14  12964  4sqlem17  12967  4sqlem18  12968  evenennn  13001  mpodvdsmulf1o  15701  fsumdvdsmul  15702  sgmmul  15707  gausslemma2dlem1a  15774  lgseisenlem2  15787  lgseisenlem4  15789  lgsquadlemsfi  15791  lgsquadlem2  15794  lgsquadlem3  15795  lgsquad2lem2  15798  2sqlem6  15836