Theorem nnmulcld 9355

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 9327	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085   · cmul 8184  ℕcn 9306

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-1rid 8286  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9307

This theorem is used by:  qbtwnre  10701  bcval  11201  bcm1k  11212  bcp1n  11213  permnn  11224  cvg1nlemcxze  11762  cvg1nlemf  11763  cvg1nlemcau  11764  cvg1nlemres  11765  trireciplem  12283  efaddlem  12457  eftlub  12473  eirraplem  12560  modmulconst  12606  lcmval  12857  nnmaxpwlemxy  12964  nnmaxpwlemparts  12968  sqpweven  12971  2sqpwodd  12972  crth  13022  phimullem  13023  modprm0  13053  pcqmul  13102  pcaddlem  13138  pcbc  13150  oddprmdvds  13153  pockthlem  13155  pockthg  13156  4sqlem13m  13202  4sqlem14  13203  4sqlem17  13206  4sqlem18  13207  evenennn  13333  zprmlogbaplem3  16136  log2tlbndlog2  16139  log2ublem2  16141  log2ublog2  16143  mpodvdsmulf1o  16185  fsumdvdsmul  16186  sgmmul  16191  bcmono  16202  bposlem3  16211  bposlem5  16213  gausslemma2dlem1a  16275  lgseisenlem2  16288  lgseisenlem4  16290  lgsquadlemsfi  16292  lgsquadlem2  16295  lgsquadlem3  16296  lgsquad2lem2  16299  2sqlem6  16337