Theorem nnmulcld 9191

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 9163	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017   · cmul 8036  ℕcn 9142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-1rid 8138  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10515  bcval  11010  bcm1k  11021  bcp1n  11022  permnn  11032  cvg1nlemcxze  11542  cvg1nlemf  11543  cvg1nlemcau  11544  cvg1nlemres  11545  trireciplem  12060  efaddlem  12234  eftlub  12250  eirraplem  12337  modmulconst  12383  lcmval  12634  oddpwdclemxy  12740  oddpwdclemdc  12744  sqpweven  12746  2sqpwodd  12747  crth  12795  phimullem  12796  modprm0  12826  pcqmul  12875  pcaddlem  12911  pcbc  12923  oddprmdvds  12926  pockthlem  12928  pockthg  12929  4sqlem13m  12975  4sqlem14  12976  4sqlem17  12979  4sqlem18  12980  evenennn  13013  mpodvdsmulf1o  15713  fsumdvdsmul  15714  sgmmul  15719  gausslemma2dlem1a  15786  lgseisenlem2  15799  lgseisenlem4  15801  lgsquadlemsfi  15803  lgsquadlem2  15806  lgsquadlem3  15807  lgsquad2lem2  15810  2sqlem6  15848