Theorem nnmulcld 9356

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 9328	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085   · cmul 8185  ℕcn 9307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-1rid 8287  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9308

This theorem is used by:  qbtwnre  10702  bcval  11203  bcm1k  11214  bcp1n  11215  permnn  11226  cvg1nlemcxze  11764  cvg1nlemf  11765  cvg1nlemcau  11766  cvg1nlemres  11767  trireciplem  12286  efaddlem  12460  eftlub  12476  eirraplem  12563  modmulconst  12609  lcmval  12860  nnmaxpwlemxy  12967  nnmaxpwlemparts  12971  sqpweven  12974  2sqpwodd  12975  crth  13025  phimullem  13026  modprm0  13056  pcqmul  13105  pcaddlem  13141  pcbc  13153  oddprmdvds  13156  pockthlem  13158  pockthg  13159  4sqlem13m  13205  4sqlem14  13206  4sqlem17  13209  4sqlem18  13210  evenennn  13336  zprmlogbaplem3  16178  log2tlbndlog2  16181  log2ublem2  16183  log2ublog2  16185  mpodvdsmulf1o  16245  fsumdvdsmul  16246  sgmmul  16251  chtublem  16256  bcmono  16265  bposlem3  16274  bposlem5  16276  gausslemma2dlem1a  16343  lgseisenlem2  16356  lgseisenlem4  16358  lgsquadlemsfi  16360  lgsquadlem2  16363  lgsquadlem3  16364  lgsquad2lem2  16367  2sqlem6  16405