Theorem nnmulcld 9155

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 9127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6000   · cmul 8000  ℕcn 9106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-1rid 8102  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003  df-inn 9107

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10471  bcval  10966  bcm1k  10977  bcp1n  10978  permnn  10988  cvg1nlemcxze  11488  cvg1nlemf  11489  cvg1nlemcau  11490  cvg1nlemres  11491  trireciplem  12006  efaddlem  12180  eftlub  12196  eirraplem  12283  modmulconst  12329  lcmval  12580  oddpwdclemxy  12686  oddpwdclemdc  12690  sqpweven  12692  2sqpwodd  12693  crth  12741  phimullem  12742  modprm0  12772  pcqmul  12821  pcaddlem  12857  pcbc  12869  oddprmdvds  12872  pockthlem  12874  pockthg  12875  4sqlem13m  12921  4sqlem14  12922  4sqlem17  12925  4sqlem18  12926  evenennn  12959  mpodvdsmulf1o  15658  fsumdvdsmul  15659  sgmmul  15664  gausslemma2dlem1a  15731  lgseisenlem2  15744  lgseisenlem4  15746  lgsquadlemsfi  15748  lgsquadlem2  15751  lgsquadlem3  15752  lgsquad2lem2  15755  2sqlem6  15793