Theorem nnmulcld 9039

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 9011	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5922   · cmul 7884  ℕcn 8990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-1rid 7986  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10346  bcval  10841  bcm1k  10852  bcp1n  10853  permnn  10863  cvg1nlemcxze  11147  cvg1nlemf  11148  cvg1nlemcau  11149  cvg1nlemres  11150  trireciplem  11665  efaddlem  11839  eftlub  11855  eirraplem  11942  modmulconst  11988  lcmval  12231  oddpwdclemxy  12337  oddpwdclemdc  12341  sqpweven  12343  2sqpwodd  12344  crth  12392  phimullem  12393  modprm0  12423  pcqmul  12472  pcaddlem  12508  pcbc  12520  oddprmdvds  12523  pockthlem  12525  pockthg  12526  4sqlem13m  12572  4sqlem14  12573  4sqlem17  12576  4sqlem18  12577  evenennn  12610  mpodvdsmulf1o  15226  fsumdvdsmul  15227  sgmmul  15232  gausslemma2dlem1a  15299  lgseisenlem2  15312  lgseisenlem4  15314  lgsquadlemsfi  15316  lgsquadlem2  15319  lgsquadlem3  15320  lgsquad2lem2  15323  2sqlem6  15361