Theorem nnmulcld 9084

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 9056	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5943   · cmul 7929  ℕcn 9035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-1rid 8031  ax-cnre 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-iota 5231  df-fv 5278  df-ov 5946  df-inn 9036

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10397  bcval  10892  bcm1k  10903  bcp1n  10904  permnn  10914  cvg1nlemcxze  11264  cvg1nlemf  11265  cvg1nlemcau  11266  cvg1nlemres  11267  trireciplem  11782  efaddlem  11956  eftlub  11972  eirraplem  12059  modmulconst  12105  lcmval  12356  oddpwdclemxy  12462  oddpwdclemdc  12466  sqpweven  12468  2sqpwodd  12469  crth  12517  phimullem  12518  modprm0  12548  pcqmul  12597  pcaddlem  12633  pcbc  12645  oddprmdvds  12648  pockthlem  12650  pockthg  12651  4sqlem13m  12697  4sqlem14  12698  4sqlem17  12701  4sqlem18  12702  evenennn  12735  mpodvdsmulf1o  15433  fsumdvdsmul  15434  sgmmul  15439  gausslemma2dlem1a  15506  lgseisenlem2  15519  lgseisenlem4  15521  lgsquadlemsfi  15523  lgsquadlem2  15526  lgsquadlem3  15527  lgsquad2lem2  15530  2sqlem6  15568