Theorem nnmulcld 9362

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 9334	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088   · cmul 8190  ℕcn 9313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-1rid 8292  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314

This theorem is used by:  qbtwnre  10707  bcval  11208  bcm1k  11219  bcp1n  11220  permnn  11231  cvg1nlemcxze  11769  cvg1nlemf  11770  cvg1nlemcau  11771  cvg1nlemres  11772  trireciplem  12291  efaddlem  12465  eftlub  12481  eirraplem  12568  modmulconst  12614  lcmval  12865  nnmaxpwlemxy  12972  nnmaxpwlemparts  12976  sqpweven  12979  2sqpwodd  12980  crth  13030  phimullem  13031  modprm0  13061  pcqmul  13110  pcaddlem  13146  pcbc  13158  oddprmdvds  13161  pockthlem  13163  pockthg  13164  4sqlem13m  13210  4sqlem14  13211  4sqlem17  13214  4sqlem18  13215  evenennn  13341  zprmlogbaplem3  16234  log2tlbndlog2  16237  log2ublem2  16239  log2ublog2  16241  mpodvdsmulf1o  16301  fsumdvdsmul  16302  sgmmul  16307  chtublem  16312  bcmono  16321  bposlem3  16330  bposlem5  16332  gausslemma2dlem1a  16399  lgseisenlem2  16412  lgseisenlem4  16414  lgsquadlemsfi  16416  lgsquadlem2  16419  lgsquadlem3  16420  lgsquad2lem2  16423  2sqlem6  16461