Theorem nnmulcld 9332

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 9304	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6075   · cmul 8174  ℕcn 9283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-1rid 8276  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10669  bcval  11165  bcm1k  11176  bcp1n  11177  permnn  11188  cvg1nlemcxze  11726  cvg1nlemf  11727  cvg1nlemcau  11728  cvg1nlemres  11729  trireciplem  12245  efaddlem  12419  eftlub  12435  eirraplem  12522  modmulconst  12568  lcmval  12819  oddpwdclemxy  12925  oddpwdclemdc  12929  sqpweven  12931  2sqpwodd  12932  crth  12980  phimullem  12981  modprm0  13011  pcqmul  13060  pcaddlem  13096  pcbc  13108  oddprmdvds  13111  pockthlem  13113  pockthg  13114  4sqlem13m  13160  4sqlem14  13161  4sqlem17  13164  4sqlem18  13165  evenennn  13262  mpodvdsmulf1o  16018  fsumdvdsmul  16019  sgmmul  16024  gausslemma2dlem1a  16091  lgseisenlem2  16104  lgseisenlem4  16106  lgsquadlemsfi  16108  lgsquadlem2  16111  lgsquadlem3  16112  lgsquad2lem2  16115  2sqlem6  16153