Theorem nnmulcld 9056

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 9028	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925   · cmul 7901  ℕcn 9007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-1rid 8003  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10363  bcval  10858  bcm1k  10869  bcp1n  10870  permnn  10880  cvg1nlemcxze  11164  cvg1nlemf  11165  cvg1nlemcau  11166  cvg1nlemres  11167  trireciplem  11682  efaddlem  11856  eftlub  11872  eirraplem  11959  modmulconst  12005  lcmval  12256  oddpwdclemxy  12362  oddpwdclemdc  12366  sqpweven  12368  2sqpwodd  12369  crth  12417  phimullem  12418  modprm0  12448  pcqmul  12497  pcaddlem  12533  pcbc  12545  oddprmdvds  12548  pockthlem  12550  pockthg  12551  4sqlem13m  12597  4sqlem14  12598  4sqlem17  12601  4sqlem18  12602  evenennn  12635  mpodvdsmulf1o  15310  fsumdvdsmul  15311  sgmmul  15316  gausslemma2dlem1a  15383  lgseisenlem2  15396  lgseisenlem4  15398  lgsquadlemsfi  15400  lgsquadlem2  15403  lgsquadlem3  15404  lgsquad2lem2  15407  2sqlem6  15445