Theorem nnmulcld 9058

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 9030	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925   · cmul 7903  ℕcn 9009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-1rid 8005  ax-cnre 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9010

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10365  bcval  10860  bcm1k  10871  bcp1n  10872  permnn  10882  cvg1nlemcxze  11166  cvg1nlemf  11167  cvg1nlemcau  11168  cvg1nlemres  11169  trireciplem  11684  efaddlem  11858  eftlub  11874  eirraplem  11961  modmulconst  12007  lcmval  12258  oddpwdclemxy  12364  oddpwdclemdc  12368  sqpweven  12370  2sqpwodd  12371  crth  12419  phimullem  12420  modprm0  12450  pcqmul  12499  pcaddlem  12535  pcbc  12547  oddprmdvds  12550  pockthlem  12552  pockthg  12553  4sqlem13m  12599  4sqlem14  12600  4sqlem17  12603  4sqlem18  12604  evenennn  12637  mpodvdsmulf1o  15334  fsumdvdsmul  15335  sgmmul  15340  gausslemma2dlem1a  15407  lgseisenlem2  15420  lgseisenlem4  15422  lgsquadlemsfi  15424  lgsquadlem2  15427  lgsquadlem3  15428  lgsquad2lem2  15431  2sqlem6  15469