ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  djulclb GIF version

Theorem djulclb 6726
Description: Left biconditional closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
djulclb (𝐶𝑉 → (𝐶𝐴 ↔ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)))

Proof of Theorem djulclb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djulcl 6722 . 2 (𝐶𝐴 → (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵))
2 1n0 6179 . . . . . . . . . 10 1𝑜 ≠ ∅
32necomi 2340 . . . . . . . . 9 ∅ ≠ 1𝑜
4 0ex 3958 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
54elsn 3457 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ {1𝑜} ↔ ∅ = 1𝑜)
63, 5nemtbir 2344 . . . . . . . 8 ¬ ∅ ∈ {1𝑜}
76intnanr 877 . . . . . . 7 ¬ (∅ ∈ {1𝑜} ∧ 𝐶𝐵)
8 opelxp 4457 . . . . . . 7 (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1𝑜} × 𝐵) ↔ (∅ ∈ {1𝑜} ∧ 𝐶𝐵))
97, 8mtbir 631 . . . . . 6 ¬ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1𝑜} × 𝐵)
10 elex 2630 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶𝑉𝐶 ∈ V)
11 opexg 4046 . . . . . . . . . . . . 13 ((∅ ∈ V ∧ 𝐶𝑉) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ V)
124, 11mpan 415 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶𝑉 → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ V)
13 opeq2 3618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐶 → ⟨∅, 𝑥⟩ = ⟨∅, 𝐶⟩)
14 df-inl 6718 . . . . . . . . . . . . 13 inl = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨∅, 𝑥⟩)
1513, 14fvmptg 5364 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ V ∧ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ V) → (inl‘𝐶) = ⟨∅, 𝐶⟩)
1610, 12, 15syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝑉 → (inl‘𝐶) = ⟨∅, 𝐶⟩)
1716adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)) → (inl‘𝐶) = ⟨∅, 𝐶⟩)
18 df-dju 6710 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1𝑜} × 𝐵))
1918eleq2i 2154 . . . . . . . . . . . 12 ((inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵) ↔ (inl‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1𝑜} × 𝐵)))
2019biimpi 118 . . . . . . . . . . 11 ((inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵) → (inl‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1𝑜} × 𝐵)))
2120adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)) → (inl‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1𝑜} × 𝐵)))
2217, 21eqeltrrd 2165 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1𝑜} × 𝐵)))
23 elun 3139 . . . . . . . . 9 (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1𝑜} × 𝐵)) ↔ (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1𝑜} × 𝐵)))
2422, 23sylib 120 . . . . . . . 8 ((𝐶𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)) → (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1𝑜} × 𝐵)))
2524orcomd 683 . . . . . . 7 ((𝐶𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)) → (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1𝑜} × 𝐵) ∨ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)))
2625ord 678 . . . . . 6 ((𝐶𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)) → (¬ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1𝑜} × 𝐵) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)))
279, 26mpi 15 . . . . 5 ((𝐶𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴))
28 opelxp 4457 . . . . 5 (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝐶𝐴))
2927, 28sylib 120 . . . 4 ((𝐶𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)) → (∅ ∈ {∅} ∧ 𝐶𝐴))
3029simprd 112 . . 3 ((𝐶𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶𝐴)
3130ex 113 . 2 (𝐶𝑉 → ((inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵) → 𝐶𝐴))
321, 31impbid2 141 1 (𝐶𝑉 → (𝐶𝐴 ↔ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664   = wceq 1289  wcel 1438  Vcvv 2619  cun 2995  c0 3284  {csn 3441  cop 3444   × cxp 4426  cfv 5002  1𝑜c1o 6156  cdju 6709  inlcinl 6716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-suc 4189  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-1o 6163  df-dju 6710  df-inl 6718
This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  6807
  Copyright terms: Public domain W3C validator