Theorem djulclb 7048

Description: Left biconditional closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djulclb	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ 𝐴 ↔ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)))

Proof of Theorem djulclb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djulcl 7044	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
2		1n0 6427	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ≠ ∅
3	2	necomi 2432	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ≠ 1o
4		0ex 4127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	elsn 3607	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ {1o} ↔ ∅ = 1o)
6	3, 5	nemtbir 2436	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o}
7	6	intnanr 930	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (∅ ∈ {1o} ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)
8		opelxp 4653	. . . . . . 7 ⊢ (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵) ↔ (∅ ∈ {1o} ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
9	7, 8	mtbir 671	. . . . . 6 ⊢ ¬ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵)
10		elex 2748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
11		opexg 4225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ V)
12	4, 11	mpan 424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ V)
13		opeq2 3777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ⟨∅, 𝑥⟩ = ⟨∅, 𝐶⟩)
14		df-inl 7040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ inl = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨∅, 𝑥⟩)
15	13, 14	fvmptg 5588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ V) → (inl‘𝐶) = ⟨∅, 𝐶⟩)
16	10, 12, 15	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (inl‘𝐶) = ⟨∅, 𝐶⟩)
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (inl‘𝐶) = ⟨∅, 𝐶⟩)
18		df-dju 7031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
19	18	eleq2i 2244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ (inl‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
20	19	biimpi 120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (inl‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
21	20	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (inl‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
22	17, 21	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
23		elun 3276	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ↔ (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵)))
24	22, 23	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵)))
25	24	orcomd 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵) ∨ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)))
26	25	ord 724	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (¬ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)))
27	9, 26	mpi 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴))
28		opelxp 4653	. . . . 5 ⊢ (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
29	27, 28	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (∅ ∈ {∅} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
30	29	simprd 114	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐴)
31	30	ex 115	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ((inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐴))
32	1, 31	impbid2 143	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ 𝐴 ↔ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   ∪ cun 3127  ∅c0 3422  {csn 3591  ⟨cop 3594   × cxp 4621  ‘cfv 5212  1_oc1o 6404   ⊔ cdju 7030  inlcinl 7038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-suc 4368  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-1o 6411  df-dju 7031  df-inl 7040

This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7195