Theorem djulclb 6948

Description: Left biconditional closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djulclb	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ 𝐴 ↔ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)))

Proof of Theorem djulclb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djulcl 6944	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
2		1n0 6337	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ≠ ∅
3	2	necomi 2394	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ≠ 1o
4		0ex 4063	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	elsn 3548	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ {1o} ↔ ∅ = 1o)
6	3, 5	nemtbir 2398	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o}
7	6	intnanr 916	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (∅ ∈ {1o} ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)
8		opelxp 4577	. . . . . . 7 ⊢ (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵) ↔ (∅ ∈ {1o} ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
9	7, 8	mtbir 661	. . . . . 6 ⊢ ¬ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵)
10		elex 2700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
11		opexg 4158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ V)
12	4, 11	mpan 421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ V)
13		opeq2 3714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ⟨∅, 𝑥⟩ = ⟨∅, 𝐶⟩)
14		df-inl 6940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ inl = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨∅, 𝑥⟩)
15	13, 14	fvmptg 5505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ V) → (inl‘𝐶) = ⟨∅, 𝐶⟩)
16	10, 12, 15	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (inl‘𝐶) = ⟨∅, 𝐶⟩)
17	16	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (inl‘𝐶) = ⟨∅, 𝐶⟩)
18		df-dju 6931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
19	18	eleq2i 2207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ (inl‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
20	19	biimpi 119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (inl‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
21	20	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (inl‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
22	17, 21	eqeltrrd 2218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
23		elun 3222	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ↔ (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵)))
24	22, 23	sylib 121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵)))
25	24	orcomd 719	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵) ∨ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)))
26	25	ord 714	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (¬ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)))
27	9, 26	mpi 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴))
28		opelxp 4577	. . . . 5 ⊢ (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
29	27, 28	sylib 121	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (∅ ∈ {∅} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
30	29	simprd 113	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐴)
31	30	ex 114	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ((inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐴))
32	1, 31	impbid2 142	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ 𝐴 ↔ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689   ∪ cun 3074  ∅c0 3368  {csn 3532  ⟨cop 3535   × cxp 4545  ‘cfv 5131  1_oc1o 6314   ⊔ cdju 6930  inlcinl 6938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-suc 4301  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-1o 6321  df-dju 6931  df-inl 6940

This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7075