Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  djulclb GIF version

Theorem djulclb 6985
 Description: Left biconditional closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
djulclb (𝐶𝑉 → (𝐶𝐴 ↔ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)))

Proof of Theorem djulclb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djulcl 6981 . 2 (𝐶𝐴 → (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵))
2 1n0 6369 . . . . . . . . . 10 1o ≠ ∅
32necomi 2409 . . . . . . . . 9 ∅ ≠ 1o
4 0ex 4087 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
54elsn 3572 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ {1o} ↔ ∅ = 1o)
63, 5nemtbir 2413 . . . . . . . 8 ¬ ∅ ∈ {1o}
76intnanr 916 . . . . . . 7 ¬ (∅ ∈ {1o} ∧ 𝐶𝐵)
8 opelxp 4609 . . . . . . 7 (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵) ↔ (∅ ∈ {1o} ∧ 𝐶𝐵))
97, 8mtbir 661 . . . . . 6 ¬ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵)
10 elex 2720 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶𝑉𝐶 ∈ V)
11 opexg 4183 . . . . . . . . . . . . 13 ((∅ ∈ V ∧ 𝐶𝑉) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ V)
124, 11mpan 421 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶𝑉 → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ V)
13 opeq2 3738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐶 → ⟨∅, 𝑥⟩ = ⟨∅, 𝐶⟩)
14 df-inl 6977 . . . . . . . . . . . . 13 inl = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨∅, 𝑥⟩)
1513, 14fvmptg 5537 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ V ∧ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ V) → (inl‘𝐶) = ⟨∅, 𝐶⟩)
1610, 12, 15syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝑉 → (inl‘𝐶) = ⟨∅, 𝐶⟩)
1716adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)) → (inl‘𝐶) = ⟨∅, 𝐶⟩)
18 df-dju 6968 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
1918eleq2i 2221 . . . . . . . . . . . 12 ((inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵) ↔ (inl‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
2019biimpi 119 . . . . . . . . . . 11 ((inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵) → (inl‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
2120adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)) → (inl‘𝐶) ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
2217, 21eqeltrrd 2232 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
23 elun 3244 . . . . . . . . 9 (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ↔ (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵)))
2422, 23sylib 121 . . . . . . . 8 ((𝐶𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)) → (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵)))
2524orcomd 719 . . . . . . 7 ((𝐶𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)) → (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵) ∨ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)))
2625ord 714 . . . . . 6 ((𝐶𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)) → (¬ ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)))
279, 26mpi 15 . . . . 5 ((𝐶𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴))
28 opelxp 4609 . . . . 5 (⟨∅, 𝐶⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝐶𝐴))
2927, 28sylib 121 . . . 4 ((𝐶𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)) → (∅ ∈ {∅} ∧ 𝐶𝐴))
3029simprd 113 . . 3 ((𝐶𝑉 ∧ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶𝐴)
3130ex 114 . 2 (𝐶𝑉 → ((inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵) → 𝐶𝐴))
321, 31impbid2 142 1 (𝐶𝑉 → (𝐶𝐴 ↔ (inl‘𝐶) ∈ (𝐴𝐵)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  Vcvv 2709   ∪ cun 3096  ∅c0 3390  {csn 3556  ⟨cop 3559   × cxp 4577  ‘cfv 5163  1oc1o 6346   ⊔ cdju 6967  inlcinl 6975 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-suc 4326  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-1o 6353  df-dju 6968  df-inl 6977 This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7116
 Copyright terms: Public domain W3C validator