Theorem elbl3ps 14351

Description: Membership in a ball, with reversed distance function arguments. (Contributed by NM, 10-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elbl3ps	⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))

Proof of Theorem elbl3ps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbl2ps 14349	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
2		psmetsym 14286	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝑃))
3	2	3expb 1206	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝑃))
4	3	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝑃))
5	4	breq1d 4028	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃𝐷𝐴) < 𝑅 ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))
6	1, 5	bitrd 188	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  (class class class)co 5896  ℝ^*cxr 8021   < clt 8022  PsMetcpsmet 13848  ballcbl 13851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1re 7935  ax-addrcl 7938  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-apti 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-map 6676  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-xadd 9803  df-psmet 13856  df-bl 13859

This theorem is referenced by:  blcomps  14353