ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blcomps GIF version

Theorem blcomps 14280
Description: Commute the arguments to the ball function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
blcomps (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ 𝑃 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅)))

Proof of Theorem blcomps
StepHypRef Expression
1 elbl2ps 14276 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
2 elbl3ps 14278 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
32ancom2s 566 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
41, 3bitr4d 191 1 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ 𝑃 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  β€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  β„*cxr 8009   < clt 8010  PsMetcpsmet 13809  ballcbl 13812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1re 7923  ax-addrcl 7926  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-apti 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-map 6668  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-xadd 9791  df-psmet 13817  df-bl 13820
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator