Theorem blcomps 14521

Description: Commute the arguments to the ball function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
blcomps	⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝑃 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)))

Proof of Theorem blcomps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbl2ps 14517	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
2		elbl3ps 14519	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝑃 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
3	2	ancom2s 566	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
4	1, 3	bitr4d 191	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝑃 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4025  ‘cfv 5242  (class class class)co 5906  ℝ^*cxr 8039   < clt 8040  PsMetcpsmet 13995  ballcbl 13998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1re 7952  ax-addrcl 7955  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-pre-ltirr 7970  ax-pre-apti 7973

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-if 3554  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-id 4318  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-fv 5250  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-1st 6180  df-2nd 6181  df-map 6691  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-xr 8044  df-ltxr 8045  df-le 8046  df-xadd 9825  df-psmet 14003  df-bl 14006

This theorem is referenced by: (None)