![]() |
Intuitionistic Logic Explorer Theorem List (p. 103 of 149) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > ILE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Theorem | elfzodifsumelfzo 10201 | If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.) |
โข ((๐ โ (0...๐) โง ๐ โ (0...๐)) โ (๐ผ โ (0..^(๐ โ ๐)) โ (๐ผ + ๐) โ (0..^๐))) | ||
Theorem | elfzom1elp1fzo 10202 | Membership of an integer incremented by one in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jan-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ผ โ (0..^(๐ โ 1))) โ (๐ผ + 1) โ (0..^๐)) | ||
Theorem | elfzom1elfzo 10203 | Membership in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Jun-2018.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ผ โ (0..^(๐ โ 1))) โ ๐ผ โ (0..^๐)) | ||
Theorem | fzval3 10204 | Expressing a closed integer range as a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) |
โข (๐ โ โค โ (๐...๐) = (๐..^(๐ + 1))) | ||
Theorem | fzosn 10205 | Expressing a singleton as a half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) |
โข (๐ด โ โค โ (๐ด..^(๐ด + 1)) = {๐ด}) | ||
Theorem | elfzomin 10206 | Membership of an integer in the smallest open range of integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) |
โข (๐ โ โค โ ๐ โ (๐..^(๐ + 1))) | ||
Theorem | zpnn0elfzo 10207 | Membership of an integer increased by a nonnegative integer in a half- open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โ0) โ (๐ + ๐) โ (๐..^((๐ + ๐) + 1))) | ||
Theorem | zpnn0elfzo1 10208 | Membership of an integer increased by a nonnegative integer in a half- open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โ0) โ (๐ + ๐) โ (๐..^(๐ + (๐ + 1)))) | ||
Theorem | fzosplitsnm1 10209 | Removing a singleton from a half-open integer range at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ (โคโฅโ(๐ด + 1))) โ (๐ด..^๐ต) = ((๐ด..^(๐ต โ 1)) โช {(๐ต โ 1)})) | ||
Theorem | elfzonlteqm1 10210 | If an element of a half-open integer range is not less than the upper bound of the range decreased by 1, it must be equal to the upper bound of the range decreased by 1. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.) |
โข ((๐ด โ (0..^๐ต) โง ยฌ ๐ด < (๐ต โ 1)) โ ๐ด = (๐ต โ 1)) | ||
Theorem | fzonn0p1 10211 | A nonnegative integer is element of the half-open range of nonnegative integers with the element increased by one as an upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.) |
โข (๐ โ โ0 โ ๐ โ (0..^(๐ + 1))) | ||
Theorem | fzossfzop1 10212 | A half-open range of nonnegative integers is a subset of a half-open range of nonnegative integers with the upper bound increased by one. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.) |
โข (๐ โ โ0 โ (0..^๐) โ (0..^(๐ + 1))) | ||
Theorem | fzonn0p1p1 10213 | If a nonnegative integer is element of a half-open range of nonnegative integers, increasing this integer by one results in an element of a half- open range of nonnegative integers with the upper bound increased by one. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.) |
โข (๐ผ โ (0..^๐) โ (๐ผ + 1) โ (0..^(๐ + 1))) | ||
Theorem | elfzom1p1elfzo 10214 | Increasing an element of a half-open range of nonnegative integers by 1 results in an element of the half-open range of nonnegative integers with an upper bound increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (0..^(๐ โ 1))) โ (๐ + 1) โ (0..^๐)) | ||
Theorem | fzo0ssnn0 10215 | Half-open integer ranges starting with 0 are subsets of NN0. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.) |
โข (0..^๐) โ โ0 | ||
Theorem | fzo01 10216 | Expressing the singleton of 0 as a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) |
โข (0..^1) = {0} | ||
Theorem | fzo12sn 10217 | A 1-based half-open integer interval up to, but not including, 2 is a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.) |
โข (1..^2) = {1} | ||
Theorem | fzo0to2pr 10218 | A half-open integer range from 0 to 2 is an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) |
โข (0..^2) = {0, 1} | ||
Theorem | fzo0to3tp 10219 | A half-open integer range from 0 to 3 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.) |
โข (0..^3) = {0, 1, 2} | ||
Theorem | fzo0to42pr 10220 | A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.) |
โข (0..^4) = ({0, 1} โช {2, 3}) | ||
Theorem | fzo0sn0fzo1 10221 | A half-open range of nonnegative integers is the union of the singleton set containing 0 and a half-open range of positive integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-May-2018.) |
โข (๐ โ โ โ (0..^๐) = ({0} โช (1..^๐))) | ||
Theorem | fzoend 10222 | The endpoint of a half-open integer range. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.) |
โข (๐ด โ (๐ด..^๐ต) โ (๐ต โ 1) โ (๐ด..^๐ต)) | ||
Theorem | fzo0end 10223 | The endpoint of a zero-based half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.) |
โข (๐ต โ โ โ (๐ต โ 1) โ (0..^๐ต)) | ||
Theorem | ssfzo12 10224 | Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) |
โข ((๐พ โ โค โง ๐ฟ โ โค โง ๐พ < ๐ฟ) โ ((๐พ..^๐ฟ) โ (๐..^๐) โ (๐ โค ๐พ โง ๐ฟ โค ๐))) | ||
Theorem | ssfzo12bi 10225 | Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2018.) |
โข (((๐พ โ โค โง ๐ฟ โ โค) โง (๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐พ < ๐ฟ) โ ((๐พ..^๐ฟ) โ (๐..^๐) โ (๐ โค ๐พ โง ๐ฟ โค ๐))) | ||
Theorem | ubmelm1fzo 10226 | The result of subtracting 1 and an integer of a half-open range of nonnegative integers from the upper bound of this range is contained in this range. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.) |
โข (๐พ โ (0..^๐) โ ((๐ โ ๐พ) โ 1) โ (0..^๐)) | ||
Theorem | fzofzp1 10227 | If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) |
โข (๐ถ โ (๐ด..^๐ต) โ (๐ถ + 1) โ (๐ด...๐ต)) | ||
Theorem | fzofzp1b 10228 | If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) |
โข (๐ถ โ (โคโฅโ๐ด) โ (๐ถ โ (๐ด..^๐ต) โ (๐ถ + 1) โ (๐ด...๐ต))) | ||
Theorem | elfzom1b 10229 | An integer is a member of a 1-based finite set of sequential integers iff its predecessor is a member of the corresponding 0-based set. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) |
โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โ (1..^๐) โ (๐พ โ 1) โ (0..^(๐ โ 1)))) | ||
Theorem | elfzonelfzo 10230 | If an element of a half-open integer range is not contained in the lower subrange, it must be in the upper subrange. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.) |
โข (๐ โ โค โ ((๐พ โ (๐..^๐ ) โง ยฌ ๐พ โ (๐..^๐)) โ ๐พ โ (๐..^๐ ))) | ||
Theorem | elfzomelpfzo 10231 | An integer increased by another integer is an element of a half-open integer range if and only if the integer is contained in the half-open integer range with bounds decreased by the other integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.) |
โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ โ โค โง ๐ฟ โ โค)) โ (๐พ โ ((๐ โ ๐ฟ)..^(๐ โ ๐ฟ)) โ (๐พ + ๐ฟ) โ (๐..^๐))) | ||
Theorem | peano2fzor 10232 | A Peano-postulate-like theorem for downward closure of a half-open integer range. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) |
โข ((๐พ โ (โคโฅโ๐) โง (๐พ + 1) โ (๐..^๐)) โ ๐พ โ (๐..^๐)) | ||
Theorem | fzosplitsn 10233 | Extending a half-open range by a singleton on the end. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) |
โข (๐ต โ (โคโฅโ๐ด) โ (๐ด..^(๐ต + 1)) = ((๐ด..^๐ต) โช {๐ต})) | ||
Theorem | fzosplitprm1 10234 | Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ด < ๐ต) โ (๐ด..^(๐ต + 1)) = ((๐ด..^(๐ต โ 1)) โช {(๐ต โ 1), ๐ต})) | ||
Theorem | fzosplitsni 10235 | Membership in a half-open range extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) |
โข (๐ต โ (โคโฅโ๐ด) โ (๐ถ โ (๐ด..^(๐ต + 1)) โ (๐ถ โ (๐ด..^๐ต) โจ ๐ถ = ๐ต))) | ||
Theorem | fzisfzounsn 10236 | A finite interval of integers as union of a half-open integer range and a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.) |
โข (๐ต โ (โคโฅโ๐ด) โ (๐ด...๐ต) = ((๐ด..^๐ต) โช {๐ต})) | ||
Theorem | fzostep1 10237 | Two possibilities for a number one greater than a number in a half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) |
โข (๐ด โ (๐ต..^๐ถ) โ ((๐ด + 1) โ (๐ต..^๐ถ) โจ (๐ด + 1) = ๐ถ)) | ||
Theorem | fzoshftral 10238* | Shift the scanning order inside of a quantification over a half-open integer range, analogous to fzshftral 10108. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐พ โ โค) โ (โ๐ โ (๐..^๐)๐ โ โ๐ โ ((๐ + ๐พ)..^(๐ + ๐พ))[(๐ โ ๐พ) / ๐]๐)) | ||
Theorem | fzind2 10239* | Induction on the integers from ๐ to ๐ inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. Version of fzind 9368 using integer range definitions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2016.) |
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐พ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ (โคโฅโ๐) โ ๐) & โข (๐ฆ โ (๐..^๐) โ (๐ โ ๐)) โ โข (๐พ โ (๐...๐) โ ๐) | ||
Theorem | exfzdc 10240* | Decidability of the existence of an integer defined by a decidable proposition. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2022.) |
โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ โ (๐...๐)) โ DECID ๐) โ โข (๐ โ DECID โ๐ โ (๐...๐)๐) | ||
Theorem | fvinim0ffz 10241 | The function values for the borders of a finite interval of integers, which is the domain of the function, are not in the image of the interior of the interval iff the intersection of the images of the interior and the borders is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 5-Feb-2021.) |
โข ((๐น:(0...๐พ)โถ๐ โง ๐พ โ โ0) โ (((๐น โ {0, ๐พ}) โฉ (๐น โ (1..^๐พ))) = โ โ ((๐นโ0) โ (๐น โ (1..^๐พ)) โง (๐นโ๐พ) โ (๐น โ (1..^๐พ))))) | ||
Theorem | subfzo0 10242 | The difference between two elements in a half-open range of nonnegative integers is greater than the negation of the upper bound and less than the upper bound of the range. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.) |
โข ((๐ผ โ (0..^๐) โง ๐ฝ โ (0..^๐)) โ (-๐ < (๐ผ โ ๐ฝ) โง (๐ผ โ ๐ฝ) < ๐)) | ||
Theorem | qtri3or 10243 | Rational trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2021.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ < ๐ โจ ๐ = ๐ โจ ๐ < ๐)) | ||
Theorem | qletric 10244 | Rational trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2021.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด โค ๐ต โจ ๐ต โค ๐ด)) | ||
Theorem | qlelttric 10245 | Rational trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Oct-2021.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด โค ๐ต โจ ๐ต < ๐ด)) | ||
Theorem | qltnle 10246 | 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด < ๐ต โ ยฌ ๐ต โค ๐ด)) | ||
Theorem | qdceq 10247 | Equality of rationals is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2021.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ DECID ๐ด = ๐ต) | ||
Theorem | exbtwnzlemstep 10248* | Lemma for exbtwnzlemex 10250. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.) |
โข (๐ โ ๐พ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ โค) โ (๐ โค ๐ด โจ ๐ด < ๐)) โ โข ((๐ โง โ๐ โ โค (๐ โค ๐ด โง ๐ด < (๐ + (๐พ + 1)))) โ โ๐ โ โค (๐ โค ๐ด โง ๐ด < (๐ + ๐พ))) | ||
Theorem | exbtwnzlemshrink 10249* | Lemma for exbtwnzlemex 10250. Shrinking the range around ๐ด. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.) |
โข (๐ โ ๐ฝ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ โค) โ (๐ โค ๐ด โจ ๐ด < ๐)) โ โข ((๐ โง โ๐ โ โค (๐ โค ๐ด โง ๐ด < (๐ + ๐ฝ))) โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ โค ๐ด โง ๐ด < (๐ฅ + 1))) | ||
Theorem | exbtwnzlemex 10250* |
Existence of an integer so that a given real number is between the
integer and its successor. The real number must satisfy the
๐
โค ๐ด โจ ๐ด < ๐ hypothesis. For example either a
rational number or
a number which is irrational (in the sense of being apart from any
rational number) will meet this condition.
The proof starts by finding two integers which are less than and greater than ๐ด. Then this range can be shrunk by choosing an integer in between the endpoints of the range and then deciding which half of the range to keep based on the ๐ โค ๐ด โจ ๐ด < ๐ hypothesis, and iterating until the range consists of two consecutive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข ((๐ โง ๐ โ โค) โ (๐ โค ๐ด โจ ๐ด < ๐)) โ โข (๐ โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ โค ๐ด โง ๐ด < (๐ฅ + 1))) | ||
Theorem | exbtwnz 10251* | If a real number is between an integer and its successor, there is a unique greatest integer less than or equal to the real number. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.) |
โข (๐ โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ โค ๐ด โง ๐ด < (๐ฅ + 1))) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) โ โข (๐ โ โ!๐ฅ โ โค (๐ฅ โค ๐ด โง ๐ด < (๐ฅ + 1))) | ||
Theorem | qbtwnz 10252* | There is a unique greatest integer less than or equal to a rational number. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.) |
โข (๐ด โ โ โ โ!๐ฅ โ โค (๐ฅ โค ๐ด โง ๐ด < (๐ฅ + 1))) | ||
Theorem | rebtwn2zlemstep 10253* | Lemma for rebtwn2z 10255. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2021.) |
โข ((๐พ โ (โคโฅโ2) โง ๐ด โ โ โง โ๐ โ โค (๐ < ๐ด โง ๐ด < (๐ + (๐พ + 1)))) โ โ๐ โ โค (๐ < ๐ด โง ๐ด < (๐ + ๐พ))) | ||
Theorem | rebtwn2zlemshrink 10254* | Lemma for rebtwn2z 10255. Shrinking the range around the given real number. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2021.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ฝ โ (โคโฅโ2) โง โ๐ โ โค (๐ < ๐ด โง ๐ด < (๐ + ๐ฝ))) โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ < ๐ด โง ๐ด < (๐ฅ + 2))) | ||
Theorem | rebtwn2z 10255* |
A real number can be bounded by integers above and below which are two
apart.
The proof starts by finding two integers which are less than and greater than the given real number. Then this range can be shrunk by choosing an integer in between the endpoints of the range and then deciding which half of the range to keep based on weak linearity, and iterating until the range consists of integers which are two apart. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2021.) |
โข (๐ด โ โ โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ < ๐ด โง ๐ด < (๐ฅ + 2))) | ||
Theorem | qbtwnrelemcalc 10256 | Lemma for qbtwnre 10257. Calculations involved in showing the constructed rational number is less than ๐ต. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2021.) |
โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ < (๐ด ยท (2 ยท ๐))) & โข (๐ โ (1 / ๐) < (๐ต โ ๐ด)) โ โข (๐ โ ((๐ + 2) / (2 ยท ๐)) < ๐ต) | ||
Theorem | qbtwnre 10257* | The rational numbers are dense in โ: any two real numbers have a rational between them. Exercise 6 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด < ๐ต) โ โ๐ฅ โ โ (๐ด < ๐ฅ โง ๐ฅ < ๐ต)) | ||
Theorem | qbtwnxr 10258* | The rational numbers are dense in โ*: any two extended real numbers have a rational between them. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) |
โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ด < ๐ต) โ โ๐ฅ โ โ (๐ด < ๐ฅ โง ๐ฅ < ๐ต)) | ||
Theorem | qavgle 10259 | The average of two rational numbers is less than or equal to at least one of them. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Nov-2021.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (((๐ด + ๐ต) / 2) โค ๐ด โจ ((๐ด + ๐ต) / 2) โค ๐ต)) | ||
Theorem | ioo0 10260 | An empty open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) |
โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ*) โ ((๐ด(,)๐ต) = โ โ ๐ต โค ๐ด)) | ||
Theorem | ioom 10261* | An open interval of extended reals is inhabited iff the lower argument is less than the upper argument. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2021.) |
โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ*) โ (โ๐ฅ ๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต) โ ๐ด < ๐ต)) | ||
Theorem | ico0 10262 | An empty open interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.) |
โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ*) โ ((๐ด[,)๐ต) = โ โ ๐ต โค ๐ด)) | ||
Theorem | ioc0 10263 | An empty open interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.) |
โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ*) โ ((๐ด(,]๐ต) = โ โ ๐ต โค ๐ด)) | ||
Theorem | dfrp2 10264 | Alternate definition of the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2020.) |
โข โ+ = (0(,)+โ) | ||
Theorem | elicod 10265 | Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ*) & โข (๐ โ ๐ต โ โ*) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ*) & โข (๐ โ ๐ด โค ๐ถ) & โข (๐ โ ๐ถ < ๐ต) โ โข (๐ โ ๐ถ โ (๐ด[,)๐ต)) | ||
Theorem | icogelb 10266 | An element of a left-closed right-open interval is greater than or equal to its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) |
โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ (๐ด[,)๐ต)) โ ๐ด โค ๐ถ) | ||
Theorem | elicore 10267 | A member of a left-closed right-open interval of reals is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ (๐ด[,)๐ต)) โ ๐ถ โ โ) | ||
Syntax | cfl 10268 | Extend class notation with floor (greatest integer) function. |
class โ | ||
Syntax | cceil 10269 | Extend class notation to include the ceiling function. |
class โ | ||
Definition | df-fl 10270* |
Define the floor (greatest integer less than or equal to) function. See
flval 10272 for its value, flqlelt 10276 for its basic property, and flqcl 10273 for
its closure. For example, (โโ(3 / 2)) =
1 while
(โโ-(3 / 2)) = -2 (ex-fl 14480).
Although we define this on real numbers so that notations are similar to the Metamath Proof Explorer, in the absence of excluded middle few theorems will be possible for all real numbers. Imagine a real number which is around 2.99995 or 3.00001 . In order to determine whether its floor is 2 or 3, it would be necessary to compute the number to arbitrary precision. The term "floor" was coined by Ken Iverson. He also invented a mathematical notation for floor, consisting of an L-shaped left bracket and its reflection as a right bracket. In APL, the left-bracket alone is used, and we borrow this idea. (Thanks to Paul Chapman for this information.) (Contributed by NM, 14-Nov-2004.) |
โข โ = (๐ฅ โ โ โฆ (โฉ๐ฆ โ โค (๐ฆ โค ๐ฅ โง ๐ฅ < (๐ฆ + 1)))) | ||
Definition | df-ceil 10271 |
The ceiling (least integer greater than or equal to) function. Defined in
ISO 80000-2:2009(E) operation 2-9.18 and the "NIST Digital Library of
Mathematical Functions" , front introduction, "Common Notations
and
Definitions" section at http://dlmf.nist.gov/front/introduction#Sx4.
See ceilqval 10306 for its value, ceilqge 10310 and ceilqm1lt 10312 for its basic
properties, and ceilqcl 10308 for its closure. For example,
(โโ(3 / 2)) = 2 while (โโ-(3 / 2)) = -1
(ex-ceil 14481).
As described in df-fl 10270 most theorems are only for rationals, not reals. The symbol โ is inspired by the gamma shaped left bracket of the usual notation. (Contributed by David A. Wheeler, 19-May-2015.) |
โข โ = (๐ฅ โ โ โฆ -(โโ-๐ฅ)) | ||
Theorem | flval 10272* | Value of the floor (greatest integer) function. The floor of ๐ด is the (unique) integer less than or equal to ๐ด whose successor is strictly greater than ๐ด. (Contributed by NM, 14-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Nov-2013.) |
โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = (โฉ๐ฅ โ โค (๐ฅ โค ๐ด โง ๐ด < (๐ฅ + 1)))) | ||
Theorem | flqcl 10273 | The floor (greatest integer) function yields an integer when applied to a rational (closure law). For a similar closure law for real numbers apart from any integer, see flapcl 10275. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.) |
โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) โ โค) | ||
Theorem | apbtwnz 10274* | There is a unique greatest integer less than or equal to a real number which is apart from all integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.) |
โข ((๐ด โ โ โง โ๐ โ โค ๐ด # ๐) โ โ!๐ฅ โ โค (๐ฅ โค ๐ด โง ๐ด < (๐ฅ + 1))) | ||
Theorem | flapcl 10275* | The floor (greatest integer) function yields an integer when applied to a real number apart from any integer. For example, an irrational number (see for example sqrt2irrap 12180) would satisfy this condition. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.) |
โข ((๐ด โ โ โง โ๐ โ โค ๐ด # ๐) โ (โโ๐ด) โ โค) | ||
Theorem | flqlelt 10276 | A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.) |
โข (๐ด โ โ โ ((โโ๐ด) โค ๐ด โง ๐ด < ((โโ๐ด) + 1))) | ||
Theorem | flqcld 10277 | The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) โ โข (๐ โ (โโ๐ด) โ โค) | ||
Theorem | flqle 10278 | A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.) |
โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) โค ๐ด) | ||
Theorem | flqltp1 10279 | A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.) |
โข (๐ด โ โ โ ๐ด < ((โโ๐ด) + 1)) | ||
Theorem | qfraclt1 10280 | The fractional part of a rational number is less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.) |
โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ (โโ๐ด)) < 1) | ||
Theorem | qfracge0 10281 | The fractional part of a rational number is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.) |
โข (๐ด โ โ โ 0 โค (๐ด โ (โโ๐ด))) | ||
Theorem | flqge 10282 | The floor function value is the greatest integer less than or equal to its argument. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โค) โ (๐ต โค ๐ด โ ๐ต โค (โโ๐ด))) | ||
Theorem | flqlt 10283 | The floor function value is less than the next integer. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โค) โ (๐ด < ๐ต โ (โโ๐ด) < ๐ต)) | ||
Theorem | flid 10284 | An integer is its own floor. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) |
โข (๐ด โ โค โ (โโ๐ด) = ๐ด) | ||
Theorem | flqidm 10285 | The floor function is idempotent. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.) |
โข (๐ด โ โ โ (โโ(โโ๐ด)) = (โโ๐ด)) | ||
Theorem | flqidz 10286 | A rational number equals its floor iff it is an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.) |
โข (๐ด โ โ โ ((โโ๐ด) = ๐ด โ ๐ด โ โค)) | ||
Theorem | flqltnz 10287 | If A is not an integer, then the floor of A is less than A. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.) |
โข ((๐ด โ โ โง ยฌ ๐ด โ โค) โ (โโ๐ด) < ๐ด) | ||
Theorem | flqwordi 10288 | Ordering relationship for the greatest integer function. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โค ๐ต) โ (โโ๐ด) โค (โโ๐ต)) | ||
Theorem | flqword2 10289 | Ordering relationship for the greatest integer function. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โค ๐ต) โ (โโ๐ต) โ (โคโฅโ(โโ๐ด))) | ||
Theorem | flqbi 10290 | A condition equivalent to floor. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โค) โ ((โโ๐ด) = ๐ต โ (๐ต โค ๐ด โง ๐ด < (๐ต + 1)))) | ||
Theorem | flqbi2 10291 | A condition equivalent to floor. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐น โ โ) โ ((โโ(๐ + ๐น)) = ๐ โ (0 โค ๐น โง ๐น < 1))) | ||
Theorem | adddivflid 10292 | The floor of a sum of an integer and a fraction is equal to the integer iff the denominator of the fraction is less than the numerator. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ0 โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต < ๐ถ โ (โโ(๐ด + (๐ต / ๐ถ))) = ๐ด)) | ||
Theorem | flqge0nn0 10293 | The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.) |
โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (โโ๐ด) โ โ0) | ||
Theorem | flqge1nn 10294 | The floor of a number greater than or equal to 1 is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.) |
โข ((๐ด โ โ โง 1 โค ๐ด) โ (โโ๐ด) โ โ) | ||
Theorem | fldivnn0 10295 | The floor function of a division of a nonnegative integer by a positive integer is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.) |
โข ((๐พ โ โ0 โง ๐ฟ โ โ) โ (โโ(๐พ / ๐ฟ)) โ โ0) | ||
Theorem | divfl0 10296 | The floor of a fraction is 0 iff the denominator is less than the numerator. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ) โ (๐ด < ๐ต โ (โโ(๐ด / ๐ต)) = 0)) | ||
Theorem | flqaddz 10297 | An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โค) โ (โโ(๐ด + ๐)) = ((โโ๐ด) + ๐)) | ||
Theorem | flqzadd 10298 | An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ด โ โ) โ (โโ(๐ + ๐ด)) = (๐ + (โโ๐ด))) | ||
Theorem | flqmulnn0 10299 | Move a nonnegative integer in and out of a floor. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.) |
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ด โ โ) โ (๐ ยท (โโ๐ด)) โค (โโ(๐ ยท ๐ด))) | ||
Theorem | btwnzge0 10300 | A real bounded between an integer and its successor is nonnegative iff the integer is nonnegative. Second half of Lemma 13-4.1 of [Gleason] p. 217. (Contributed by NM, 12-Mar-2005.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ โค) โง (๐ โค ๐ด โง ๐ด < (๐ + 1))) โ (0 โค ๐ด โ 0 โค ๐)) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |