ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elioo2 GIF version

Theorem elioo2 9672
Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
elioo2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval2 9666 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
21eleq2d 2187 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)}))
3 breq2 3903 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥𝐴 < 𝐶))
4 breq1 3902 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵𝐶 < 𝐵))
53, 4anbi12d 464 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
65elrab 2813 . . 3 (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
7 3anass 951 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
86, 7bitr4i 186 . 2 (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
92, 8syl6bb 195 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465  {crab 2397   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  cr 7587  *cxr 7767   < clt 7768  (,)cioo 9639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-ioo 9643
This theorem is referenced by:  eliooord  9679  elioopnf  9718  elioomnf  9719  bl2ioo  12638  dedekindicc  12707  sin0pilem2  12790  pilem3  12791  sincosq1sgn  12834  sincosq2sgn  12835  sincosq3sgn  12836  sincosq4sgn  12837  sinq12gt0  12838  cosq14gt0  12840  cosq23lt0  12841  coseq0q4123  12842  coseq00topi  12843  coseq0negpitopi  12844  sincos6thpi  12850  cosordlem  12857  cos02pilt1  12859  taupi  13166
  Copyright terms: Public domain W3C validator