Theorem eluzel2 9750

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9748	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		frel 5484	. . . 4 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → Rel ℤ≥)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel ℤ≥
4		relelfvdm 5667	. . 3 ⊢ ((Rel ℤ≥ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	3, 4	mpan 424	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6	1	fdmi 5487	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
7	5, 6	eleqtrdi 2322	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  𝒫 cpw 3650  dom cdm 4723  Rel wrel 4728  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-ov 6016  df-neg 8343  df-z 9470  df-uz 9746

This theorem is referenced by:  eluz2  9751  uztrn  9763  uzneg  9765  uzss  9767  uz11  9769  eluzadd  9775  uzm1  9777  uzin  9779  uzind4  9812  elfz5  10242  elfzel1  10249  eluzfz1  10256  fzsplit2  10275  fzopth  10286  fzpred  10295  fzpreddisj  10296  fzdifsuc  10306  uzsplit  10317  uzdisj  10318  elfzp12  10324  fzm1  10325  uznfz  10328  nn0disj  10363  fzolb  10379  fzoss2  10399  fzouzdisj  10407  fzoun  10408  ige2m2fzo  10433  elfzonelfzo  10465  frec2uzrand  10657  frecfzen2  10679  seq3p1  10717  seqp1cd  10722  seq3clss  10723  seq3feq2  10728  seqfveqg  10730  seq3fveq  10731  seq3shft2  10733  seqshft2g  10734  ser3mono  10739  seq3split  10740  seqsplitg  10741  seq3caopr3  10743  seqcaopr3g  10744  seq3caopr2  10745  seq3f1olemp  10767  seq3f1oleml  10768  seq3f1o  10769  seqf1oglem2a  10770  seqf1oglem1  10771  seqf1oglem2  10772  seqf1og  10773  seq3id3  10776  seq3id  10777  seq3homo  10779  seq3z  10780  seqhomog  10782  seqfeq4g  10783  seq3distr  10784  ser3ge0  10788  ser3le  10789  leexp2a  10844  hashfz  11075  hashfzo  11076  hashfzp1  11078  seq3coll  11096  rexanuz2  11542  cau4  11667  clim2ser  11888  clim2ser2  11889  climserle  11896  fsum3cvg  11929  fsum3cvg2  11945  fsumsersdc  11946  fsum3ser  11948  fsumm1  11967  fsum1p  11969  telfsumo  12017  fsumparts  12021  cvgcmpub  12027  isumsplit  12042  cvgratnnlemmn  12076  clim2prod  12090  clim2divap  12091  prodfrecap  12097  prodfdivap  12098  ntrivcvgap  12099  fproddccvg  12123  fprodm1  12149  fprodabs  12167  fprodeq0  12168  uzwodc  12598  pcaddlem  12902  fngsum  13461  igsumvalx  13462  gsumfzval  13464  gsumval2  13470  gsumfzz  13568  gsumfzconst  13918  gsumfzfsumlemm  14591  inffz  16612