Theorem eluzel2 9625

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9623	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		frel 5415	. . . 4 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → Rel ℤ≥)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel ℤ≥
4		relelfvdm 5593	. . 3 ⊢ ((Rel ℤ≥ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	3, 4	mpan 424	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6	1	fdmi 5418	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
7	5, 6	eleqtrdi 2289	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  𝒫 cpw 3606  dom cdm 4664  Rel wrel 4669  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  ℤcz 9345  ℤ_≥cuz 9620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-neg 8219  df-z 9346  df-uz 9621

This theorem is referenced by:  eluz2  9626  uztrn  9637  uzneg  9639  uzss  9641  uz11  9643  eluzadd  9649  uzm1  9651  uzin  9653  uzind4  9681  elfz5  10111  elfzel1  10118  eluzfz1  10125  fzsplit2  10144  fzopth  10155  fzpred  10164  fzpreddisj  10165  fzdifsuc  10175  uzsplit  10186  uzdisj  10187  elfzp12  10193  fzm1  10194  uznfz  10197  nn0disj  10232  fzolb  10248  fzoss2  10267  fzouzdisj  10275  ige2m2fzo  10293  elfzonelfzo  10325  frec2uzrand  10516  frecfzen2  10538  seq3p1  10576  seqp1cd  10581  seq3clss  10582  seq3feq2  10587  seqfveqg  10589  seq3fveq  10590  seq3shft2  10592  seqshft2g  10593  ser3mono  10598  seq3split  10599  seqsplitg  10600  seq3caopr3  10602  seqcaopr3g  10603  seq3caopr2  10604  seq3f1olemp  10626  seq3f1oleml  10627  seq3f1o  10628  seqf1oglem2a  10629  seqf1oglem1  10630  seqf1oglem2  10631  seqf1og  10632  seq3id3  10635  seq3id  10636  seq3homo  10638  seq3z  10639  seqhomog  10641  seqfeq4g  10642  seq3distr  10643  ser3ge0  10647  ser3le  10648  leexp2a  10703  hashfz  10932  hashfzo  10933  hashfzp1  10935  seq3coll  10953  rexanuz2  11175  cau4  11300  clim2ser  11521  clim2ser2  11522  climserle  11529  fsum3cvg  11562  fsum3cvg2  11578  fsumsersdc  11579  fsum3ser  11581  fsumm1  11600  fsum1p  11602  telfsumo  11650  fsumparts  11654  cvgcmpub  11660  isumsplit  11675  cvgratnnlemmn  11709  clim2prod  11723  clim2divap  11724  prodfrecap  11730  prodfdivap  11731  ntrivcvgap  11732  fproddccvg  11756  fprodm1  11782  fprodabs  11800  fprodeq0  11801  uzwodc  12231  pcaddlem  12535  fngsum  13092  igsumvalx  13093  gsumfzval  13095  gsumval2  13101  gsumfzz  13199  gsumfzconst  13549  gsumfzfsumlemm  14221  inffz  15829