Theorem eluzel2 9905

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9903	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		frel 5533	. . . 4 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → Rel ℤ≥)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel ℤ≥
4		relelfvdm 5722	. . 3 ⊢ ((Rel ℤ≥ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	3, 4	mpan 428	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6	1	fdmi 5536	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
7	5, 6	eleqtrdi 2331	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  𝒫 cpw 3685  dom cdm 4769  Rel wrel 4774  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-neg 8490  df-z 9624  df-uz 9901

This theorem is referenced by:  eluz2  9906  uztrn  9918  uzneg  9920  uzss  9922  uz11  9924  eluzadd  9930  uzm1  9932  uzin  9934  uzind4  9967  elfz5  10399  elfzel1  10406  eluzfz1  10414  fzsplit2  10433  fzopth  10445  fzpred  10455  fzpreddisj  10456  fzdifsuc  10466  uzsplit  10477  uzdisj  10478  elfzp12  10484  fzm1  10485  uznfz  10488  nn0disj  10523  fzolb  10539  fzoss2  10559  fzouzdisj  10567  fzoun  10568  ige2m2fzo  10594  elfzonelfzo  10626  frec2uzrand  10820  frecfzen2  10842  seq3p1  10880  seqp1cd  10885  seq3clss  10886  seq3feq2  10891  seqfveqg  10893  seq3fveq  10894  seq3shft2  10896  seqshft2g  10897  ser3mono  10902  seq3split  10903  seqsplitg  10904  seq3caopr3  10906  seqcaopr3g  10907  seq3caopr2  10908  seq3f1olemp  10930  seq3f1oleml  10931  seq3f1o  10932  seqf1oglem2a  10933  seqf1oglem1  10934  seqf1oglem2  10935  seqf1og  10936  seq3id3  10939  seq3id  10940  seq3homo  10942  seq3z  10943  seqhomog  10945  seqfeq4g  10946  seq3distr  10947  ser3ge0  10951  ser3le  10952  leexp2a  11007  hashfz  11240  hashfzo  11241  hashfzp1  11243  seq3coll  11272  rexanuz2  11735  cau4  11860  clim2ser  12081  clim2ser2  12082  climserle  12089  fsum3cvg  12123  fsum3cvg2  12139  fsumsersdc  12140  fsum3ser  12142  fsumm1  12161  fsum1p  12163  telfsumo  12211  fsumparts  12215  cvgcmpub  12221  isumsplit  12236  cvgratnnlemmn  12270  clim2prod  12284  clim2divap  12285  prodfrecap  12291  prodfdivap  12292  ntrivcvgap  12293  fproddccvg  12317  fprodm1  12343  fprodabs  12361  fprodeq0  12362  uzwodc  12792  pcaddlem  13096  fngzsum  13685  gzsumvalx  13686  gzsumfzval  13688  gzsumval2  13691  gzsumconst  14120  gzsumshift  14126  logfac  15918  inffz  17027