Theorem eluzel2 9608

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9606	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		frel 5413	. . . 4 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → Rel ℤ≥)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel ℤ≥
4		relelfvdm 5591	. . 3 ⊢ ((Rel ℤ≥ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	3, 4	mpan 424	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6	1	fdmi 5416	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
7	5, 6	eleqtrdi 2289	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  𝒫 cpw 3606  dom cdm 4664  Rel wrel 4669  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  ℤcz 9328  ℤ_≥cuz 9603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5926  df-neg 8202  df-z 9329  df-uz 9604

This theorem is referenced by:  eluz2  9609  uztrn  9620  uzneg  9622  uzss  9624  uz11  9626  eluzadd  9632  uzm1  9634  uzin  9636  uzind4  9664  elfz5  10094  elfzel1  10101  eluzfz1  10108  fzsplit2  10127  fzopth  10138  fzpred  10147  fzpreddisj  10148  fzdifsuc  10158  uzsplit  10169  uzdisj  10170  elfzp12  10176  fzm1  10177  uznfz  10180  nn0disj  10215  fzolb  10231  fzoss2  10250  fzouzdisj  10258  ige2m2fzo  10276  elfzonelfzo  10308  frec2uzrand  10499  frecfzen2  10521  seq3p1  10559  seqp1cd  10564  seq3clss  10565  seq3feq2  10570  seqfveqg  10572  seq3fveq  10573  seq3shft2  10575  seqshft2g  10576  ser3mono  10581  seq3split  10582  seqsplitg  10583  seq3caopr3  10585  seqcaopr3g  10586  seq3caopr2  10587  seq3f1olemp  10609  seq3f1oleml  10610  seq3f1o  10611  seqf1oglem2a  10612  seqf1oglem1  10613  seqf1oglem2  10614  seqf1og  10615  seq3id3  10618  seq3id  10619  seq3homo  10621  seq3z  10622  seqhomog  10624  seqfeq4g  10625  seq3distr  10626  ser3ge0  10630  ser3le  10631  leexp2a  10686  hashfz  10915  hashfzo  10916  hashfzp1  10918  seq3coll  10936  rexanuz2  11158  cau4  11283  clim2ser  11504  clim2ser2  11505  climserle  11512  fsum3cvg  11545  fsum3cvg2  11561  fsumsersdc  11562  fsum3ser  11564  fsumm1  11583  fsum1p  11585  telfsumo  11633  fsumparts  11637  cvgcmpub  11643  isumsplit  11658  cvgratnnlemmn  11692  clim2prod  11706  clim2divap  11707  prodfrecap  11713  prodfdivap  11714  ntrivcvgap  11715  fproddccvg  11739  fprodm1  11765  fprodabs  11783  fprodeq0  11784  uzwodc  12214  pcaddlem  12518  fngsum  13041  igsumvalx  13042  gsumfzval  13044  gsumval2  13050  gsumfzz  13137  gsumfzconst  13481  gsumfzfsumlemm  14153  inffz  15726