Theorem eluzel2 9600

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9598	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		frel 5409	. . . 4 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → Rel ℤ≥)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel ℤ≥
4		relelfvdm 5587	. . 3 ⊢ ((Rel ℤ≥ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	3, 4	mpan 424	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6	1	fdmi 5412	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
7	5, 6	eleqtrdi 2286	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  𝒫 cpw 3602  dom cdm 4660  Rel wrel 4665  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  ℤcz 9320  ℤ_≥cuz 9595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-neg 8195  df-z 9321  df-uz 9596

This theorem is referenced by:  eluz2  9601  uztrn  9612  uzneg  9614  uzss  9616  uz11  9618  eluzadd  9624  uzm1  9626  uzin  9628  uzind4  9656  elfz5  10086  elfzel1  10093  eluzfz1  10100  fzsplit2  10119  fzopth  10130  fzpred  10139  fzpreddisj  10140  fzdifsuc  10150  uzsplit  10161  uzdisj  10162  elfzp12  10168  fzm1  10169  uznfz  10172  nn0disj  10207  fzolb  10223  fzoss2  10242  fzouzdisj  10250  ige2m2fzo  10268  elfzonelfzo  10300  frec2uzrand  10479  frecfzen2  10501  seq3p1  10539  seqp1cd  10544  seq3clss  10545  seq3feq2  10550  seqfveqg  10552  seq3fveq  10553  seq3shft2  10555  seqshft2g  10556  ser3mono  10561  seq3split  10562  seqsplitg  10563  seq3caopr3  10565  seqcaopr3g  10566  seq3caopr2  10567  seq3f1olemp  10589  seq3f1oleml  10590  seq3f1o  10591  seqf1oglem2a  10592  seqf1oglem1  10593  seqf1oglem2  10594  seqf1og  10595  seq3id3  10598  seq3id  10599  seq3homo  10601  seq3z  10602  seqhomog  10604  seqfeq4g  10605  seq3distr  10606  ser3ge0  10610  ser3le  10611  leexp2a  10666  hashfz  10895  hashfzo  10896  hashfzp1  10898  seq3coll  10916  rexanuz2  11138  cau4  11263  clim2ser  11483  clim2ser2  11484  climserle  11491  fsum3cvg  11524  fsum3cvg2  11540  fsumsersdc  11541  fsum3ser  11543  fsumm1  11562  fsum1p  11564  telfsumo  11612  fsumparts  11616  cvgcmpub  11622  isumsplit  11637  cvgratnnlemmn  11671  clim2prod  11685  clim2divap  11686  prodfrecap  11692  prodfdivap  11693  ntrivcvgap  11694  fproddccvg  11718  fprodm1  11744  fprodabs  11762  fprodeq0  11763  uzwodc  12177  pcaddlem  12480  fngsum  12974  igsumvalx  12975  gsumfzval  12977  gsumval2  12983  gsumfzz  13070  gsumfzconst  13414  gsumfzfsumlemm  14086  inffz  15632