Theorem eluzel2 9926

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9924	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		frel 5538	. . . 4 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → Rel ℤ≥)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel ℤ≥
4		relelfvdm 5727	. . 3 ⊢ ((Rel ℤ≥ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	3, 4	mpan 428	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6	1	fdmi 5541	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
7	5, 6	eleqtrdi 2331	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  𝒫 cpw 3688  dom cdm 4774  Rel wrel 4779  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-neg 8500  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by:  eluz2  9927  uztrn  9939  uzneg  9941  uzss  9943  uz11  9945  eluzadd  9951  uzm1  9953  uzin  9955  uzind4  9988  elfz5  10420  elfzel1  10427  eluzfz1  10435  fzsplit2  10455  fzopth  10467  fzpred  10477  fzpreddisj  10478  fzdifsuc  10488  uzsplit  10499  uzdisj  10500  elfzp12  10506  fzm1  10507  uznfz  10510  nn0disj  10545  fzolb  10561  fzoss2  10581  fzouzdisj  10589  fzoun  10590  ige2m2fzo  10616  elfzonelfzo  10648  frec2uzrand  10842  frecfzen2  10864  seq3p1  10902  seqp1cd  10907  seq3clss  10908  seq3feq2  10913  seqfveqg  10915  seq3fveq  10916  seq3shft2  10918  seqshft2g  10919  ser3mono  10924  seq3split  10925  seqsplitg  10926  seq3caopr3  10928  seqcaopr3g  10929  seq3caopr2  10930  seq3f1olemp  10952  seq3f1oleml  10953  seq3f1o  10954  seqf1oglem2a  10955  seqf1oglem1  10956  seqf1oglem2  10957  seqf1og  10958  seq3id3  10961  seq3id  10962  seq3homo  10964  seq3z  10965  seqhomog  10967  seqfeq4g  10968  seq3distr  10969  ser3ge0  10973  ser3le  10974  leexp2a  11029  hashfz  11262  hashfzo  11263  hashfzp1  11265  seq3coll  11294  rexanuz2  11757  cau4  11882  clim2ser  12103  clim2ser2  12104  climserle  12111  fsum3cvg  12145  fsum3cvg2  12161  fsumsersdc  12162  fsum3ser  12164  fsumm1  12183  fsum1p  12185  telfsumo  12233  fsumparts  12237  cvgcmpub  12243  isumsplit  12258  cvgratnnlemmn  12292  clim2prod  12306  clim2divap  12307  prodfrecap  12313  prodfdivap  12314  ntrivcvgap  12315  fproddccvg  12339  fprodm1  12365  fprodabs  12383  fprodeq0  12384  uzwodc  12814  pcaddlem  13118  fngzsum  13708  gzsumvalx  13709  gzsumfzval  13711  gzsumval2  13714  gzsumconst  14143  gzsumshift  14149  logfac  15995  inffz  17122