Theorem eluzel2 9597

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9595	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		frel 5408	. . . 4 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → Rel ℤ≥)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel ℤ≥
4		relelfvdm 5586	. . 3 ⊢ ((Rel ℤ≥ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	3, 4	mpan 424	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6	1	fdmi 5411	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
7	5, 6	eleqtrdi 2286	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  𝒫 cpw 3601  dom cdm 4659  Rel wrel 4664  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-neg 8193  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by:  eluz2  9598  uztrn  9609  uzneg  9611  uzss  9613  uz11  9615  eluzadd  9621  uzm1  9623  uzin  9625  uzind4  9653  elfz5  10083  elfzel1  10090  eluzfz1  10097  fzsplit2  10116  fzopth  10127  fzpred  10136  fzpreddisj  10137  fzdifsuc  10147  uzsplit  10158  uzdisj  10159  elfzp12  10165  fzm1  10166  uznfz  10169  nn0disj  10204  fzolb  10220  fzoss2  10239  fzouzdisj  10247  ige2m2fzo  10265  elfzonelfzo  10297  frec2uzrand  10476  frecfzen2  10498  seq3p1  10536  seqp1cd  10541  seq3clss  10542  seq3feq2  10547  seqfveqg  10549  seq3fveq  10550  seq3shft2  10552  seqshft2g  10553  ser3mono  10558  seq3split  10559  seqsplitg  10560  seq3caopr3  10562  seqcaopr3g  10563  seq3caopr2  10564  seq3f1olemp  10586  seq3f1oleml  10587  seq3f1o  10588  seqf1oglem2a  10589  seqf1oglem1  10590  seqf1oglem2  10591  seqf1og  10592  seq3id3  10595  seq3id  10596  seq3homo  10598  seq3z  10599  seqhomog  10601  seqfeq4g  10602  seq3distr  10603  ser3ge0  10607  ser3le  10608  leexp2a  10663  hashfz  10892  hashfzo  10893  hashfzp1  10895  seq3coll  10913  rexanuz2  11135  cau4  11260  clim2ser  11480  clim2ser2  11481  climserle  11488  fsum3cvg  11521  fsum3cvg2  11537  fsumsersdc  11538  fsum3ser  11540  fsumm1  11559  fsum1p  11561  telfsumo  11609  fsumparts  11613  cvgcmpub  11619  isumsplit  11634  cvgratnnlemmn  11668  clim2prod  11682  clim2divap  11683  prodfrecap  11689  prodfdivap  11690  ntrivcvgap  11691  fproddccvg  11715  fprodm1  11741  fprodabs  11759  fprodeq0  11760  uzwodc  12174  pcaddlem  12477  fngsum  12971  igsumvalx  12972  gsumfzval  12974  gsumval2  12980  gsumfzz  13067  gsumfzconst  13411  gsumfzfsumlemm  14075  inffz  15562