Theorem eluzel2 9652

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9650	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		frel 5429	. . . 4 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → Rel ℤ≥)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel ℤ≥
4		relelfvdm 5607	. . 3 ⊢ ((Rel ℤ≥ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	3, 4	mpan 424	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6	1	fdmi 5432	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
7	5, 6	eleqtrdi 2297	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  𝒫 cpw 3615  dom cdm 4674  Rel wrel 4679  ⟶wf 5266  ‘cfv 5270  ℤcz 9371  ℤ_≥cuz 9647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-ov 5946  df-neg 8245  df-z 9372  df-uz 9648

This theorem is referenced by:  eluz2  9653  uztrn  9664  uzneg  9666  uzss  9668  uz11  9670  eluzadd  9676  uzm1  9678  uzin  9680  uzind4  9708  elfz5  10138  elfzel1  10145  eluzfz1  10152  fzsplit2  10171  fzopth  10182  fzpred  10191  fzpreddisj  10192  fzdifsuc  10202  uzsplit  10213  uzdisj  10214  elfzp12  10220  fzm1  10221  uznfz  10224  nn0disj  10259  fzolb  10275  fzoss2  10294  fzouzdisj  10302  ige2m2fzo  10325  elfzonelfzo  10357  frec2uzrand  10548  frecfzen2  10570  seq3p1  10608  seqp1cd  10613  seq3clss  10614  seq3feq2  10619  seqfveqg  10621  seq3fveq  10622  seq3shft2  10624  seqshft2g  10625  ser3mono  10630  seq3split  10631  seqsplitg  10632  seq3caopr3  10634  seqcaopr3g  10635  seq3caopr2  10636  seq3f1olemp  10658  seq3f1oleml  10659  seq3f1o  10660  seqf1oglem2a  10661  seqf1oglem1  10662  seqf1oglem2  10663  seqf1og  10664  seq3id3  10667  seq3id  10668  seq3homo  10670  seq3z  10671  seqhomog  10673  seqfeq4g  10674  seq3distr  10675  ser3ge0  10679  ser3le  10680  leexp2a  10735  hashfz  10964  hashfzo  10965  hashfzp1  10967  seq3coll  10985  rexanuz2  11273  cau4  11398  clim2ser  11619  clim2ser2  11620  climserle  11627  fsum3cvg  11660  fsum3cvg2  11676  fsumsersdc  11677  fsum3ser  11679  fsumm1  11698  fsum1p  11700  telfsumo  11748  fsumparts  11752  cvgcmpub  11758  isumsplit  11773  cvgratnnlemmn  11807  clim2prod  11821  clim2divap  11822  prodfrecap  11828  prodfdivap  11829  ntrivcvgap  11830  fproddccvg  11854  fprodm1  11880  fprodabs  11898  fprodeq0  11899  uzwodc  12329  pcaddlem  12633  fngsum  13191  igsumvalx  13192  gsumfzval  13194  gsumval2  13200  gsumfzz  13298  gsumfzconst  13648  gsumfzfsumlemm  14320  inffz  15973