Theorem eluzel2 9471

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9469	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		frel 5342	. . . 4 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → Rel ℤ≥)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel ℤ≥
4		relelfvdm 5518	. . 3 ⊢ ((Rel ℤ≥ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	3, 4	mpan 421	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6	1	fdmi 5345	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
7	5, 6	eleqtrdi 2259	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  𝒫 cpw 3559  dom cdm 4604  Rel wrel 4609  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-neg 8072  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by:  eluz2  9472  uztrn  9482  uzneg  9484  uzss  9486  uz11  9488  eluzadd  9494  uzm1  9496  uzin  9498  uzind4  9526  elfz5  9952  elfzel1  9959  eluzfz1  9966  fzsplit2  9985  fzopth  9996  fzpred  10005  fzpreddisj  10006  fzdifsuc  10016  uzsplit  10027  uzdisj  10028  elfzp12  10034  fzm1  10035  uznfz  10038  nn0disj  10073  fzolb  10088  fzoss2  10107  fzouzdisj  10115  ige2m2fzo  10133  elfzonelfzo  10165  frec2uzrand  10340  frecfzen2  10362  seq3p1  10397  seqp1cd  10401  seq3clss  10402  seq3feq2  10405  seq3fveq  10406  seq3shft2  10408  ser3mono  10413  seq3split  10414  seq3caopr3  10416  seq3caopr2  10417  seq3f1olemp  10437  seq3f1oleml  10438  seq3f1o  10439  seq3id3  10442  seq3id  10443  seq3homo  10445  seq3z  10446  seq3distr  10448  ser3ge0  10452  ser3le  10453  leexp2a  10508  hashfz  10734  hashfzo  10735  hashfzp1  10737  seq3coll  10755  rexanuz2  10933  cau4  11058  clim2ser  11278  clim2ser2  11279  climserle  11286  fsum3cvg  11319  fsum3cvg2  11335  fsumsersdc  11336  fsum3ser  11338  fsumm1  11357  fsum1p  11359  telfsumo  11407  fsumparts  11411  cvgcmpub  11417  isumsplit  11432  cvgratnnlemmn  11466  clim2prod  11480  clim2divap  11481  prodfrecap  11487  prodfdivap  11488  ntrivcvgap  11489  fproddccvg  11513  fprodm1  11539  fprodabs  11557  fprodeq0  11558  uzwodc  11970  pcaddlem  12270  inffz  13948