Theorem eluzel2 9532

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9530	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		frel 5370	. . . 4 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → Rel ℤ≥)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel ℤ≥
4		relelfvdm 5547	. . 3 ⊢ ((Rel ℤ≥ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	3, 4	mpan 424	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6	1	fdmi 5373	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
7	5, 6	eleqtrdi 2270	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  𝒫 cpw 3575  dom cdm 4626  Rel wrel 4631  ⟶wf 5212  ‘cfv 5216  ℤcz 9252  ℤ_≥cuz 9527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-neg 8130  df-z 9253  df-uz 9528

This theorem is referenced by:  eluz2  9533  uztrn  9543  uzneg  9545  uzss  9547  uz11  9549  eluzadd  9555  uzm1  9557  uzin  9559  uzind4  9587  elfz5  10016  elfzel1  10023  eluzfz1  10030  fzsplit2  10049  fzopth  10060  fzpred  10069  fzpreddisj  10070  fzdifsuc  10080  uzsplit  10091  uzdisj  10092  elfzp12  10098  fzm1  10099  uznfz  10102  nn0disj  10137  fzolb  10152  fzoss2  10171  fzouzdisj  10179  ige2m2fzo  10197  elfzonelfzo  10229  frec2uzrand  10404  frecfzen2  10426  seq3p1  10461  seqp1cd  10465  seq3clss  10466  seq3feq2  10469  seq3fveq  10470  seq3shft2  10472  ser3mono  10477  seq3split  10478  seq3caopr3  10480  seq3caopr2  10481  seq3f1olemp  10501  seq3f1oleml  10502  seq3f1o  10503  seq3id3  10506  seq3id  10507  seq3homo  10509  seq3z  10510  seq3distr  10512  ser3ge0  10516  ser3le  10517  leexp2a  10572  hashfz  10800  hashfzo  10801  hashfzp1  10803  seq3coll  10821  rexanuz2  10999  cau4  11124  clim2ser  11344  clim2ser2  11345  climserle  11352  fsum3cvg  11385  fsum3cvg2  11401  fsumsersdc  11402  fsum3ser  11404  fsumm1  11423  fsum1p  11425  telfsumo  11473  fsumparts  11477  cvgcmpub  11483  isumsplit  11498  cvgratnnlemmn  11532  clim2prod  11546  clim2divap  11547  prodfrecap  11553  prodfdivap  11554  ntrivcvgap  11555  fproddccvg  11579  fprodm1  11605  fprodabs  11623  fprodeq0  11624  uzwodc  12037  pcaddlem  12337  inffz  14789