Theorem eluzel2 9688

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9686	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		frel 5450	. . . 4 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → Rel ℤ≥)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel ℤ≥
4		relelfvdm 5631	. . 3 ⊢ ((Rel ℤ≥ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	3, 4	mpan 424	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6	1	fdmi 5453	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
7	5, 6	eleqtrdi 2300	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2178  𝒫 cpw 3626  dom cdm 4693  Rel wrel 4698  ⟶wf 5286  ‘cfv 5290  ℤcz 9407  ℤ_≥cuz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-neg 8281  df-z 9408  df-uz 9684

This theorem is referenced by:  eluz2  9689  uztrn  9700  uzneg  9702  uzss  9704  uz11  9706  eluzadd  9712  uzm1  9714  uzin  9716  uzind4  9744  elfz5  10174  elfzel1  10181  eluzfz1  10188  fzsplit2  10207  fzopth  10218  fzpred  10227  fzpreddisj  10228  fzdifsuc  10238  uzsplit  10249  uzdisj  10250  elfzp12  10256  fzm1  10257  uznfz  10260  nn0disj  10295  fzolb  10311  fzoss2  10331  fzouzdisj  10339  fzoun  10340  ige2m2fzo  10364  elfzonelfzo  10396  frec2uzrand  10587  frecfzen2  10609  seq3p1  10647  seqp1cd  10652  seq3clss  10653  seq3feq2  10658  seqfveqg  10660  seq3fveq  10661  seq3shft2  10663  seqshft2g  10664  ser3mono  10669  seq3split  10670  seqsplitg  10671  seq3caopr3  10673  seqcaopr3g  10674  seq3caopr2  10675  seq3f1olemp  10697  seq3f1oleml  10698  seq3f1o  10699  seqf1oglem2a  10700  seqf1oglem1  10701  seqf1oglem2  10702  seqf1og  10703  seq3id3  10706  seq3id  10707  seq3homo  10709  seq3z  10710  seqhomog  10712  seqfeq4g  10713  seq3distr  10714  ser3ge0  10718  ser3le  10719  leexp2a  10774  hashfz  11003  hashfzo  11004  hashfzp1  11006  seq3coll  11024  rexanuz2  11417  cau4  11542  clim2ser  11763  clim2ser2  11764  climserle  11771  fsum3cvg  11804  fsum3cvg2  11820  fsumsersdc  11821  fsum3ser  11823  fsumm1  11842  fsum1p  11844  telfsumo  11892  fsumparts  11896  cvgcmpub  11902  isumsplit  11917  cvgratnnlemmn  11951  clim2prod  11965  clim2divap  11966  prodfrecap  11972  prodfdivap  11973  ntrivcvgap  11974  fproddccvg  11998  fprodm1  12024  fprodabs  12042  fprodeq0  12043  uzwodc  12473  pcaddlem  12777  fngsum  13335  igsumvalx  13336  gsumfzval  13338  gsumval2  13344  gsumfzz  13442  gsumfzconst  13792  gsumfzfsumlemm  14464  inffz  16213