Theorem eluzel2 9738

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9736	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		frel 5478	. . . 4 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → Rel ℤ≥)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel ℤ≥
4		relelfvdm 5661	. . 3 ⊢ ((Rel ℤ≥ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	3, 4	mpan 424	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6	1	fdmi 5481	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
7	5, 6	eleqtrdi 2322	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  𝒫 cpw 3649  dom cdm 4719  Rel wrel 4724  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  ℤcz 9457  ℤ_≥cuz 9733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6010  df-neg 8331  df-z 9458  df-uz 9734

This theorem is referenced by:  eluz2  9739  uztrn  9751  uzneg  9753  uzss  9755  uz11  9757  eluzadd  9763  uzm1  9765  uzin  9767  uzind4  9795  elfz5  10225  elfzel1  10232  eluzfz1  10239  fzsplit2  10258  fzopth  10269  fzpred  10278  fzpreddisj  10279  fzdifsuc  10289  uzsplit  10300  uzdisj  10301  elfzp12  10307  fzm1  10308  uznfz  10311  nn0disj  10346  fzolb  10362  fzoss2  10382  fzouzdisj  10390  fzoun  10391  ige2m2fzo  10416  elfzonelfzo  10448  frec2uzrand  10639  frecfzen2  10661  seq3p1  10699  seqp1cd  10704  seq3clss  10705  seq3feq2  10710  seqfveqg  10712  seq3fveq  10713  seq3shft2  10715  seqshft2g  10716  ser3mono  10721  seq3split  10722  seqsplitg  10723  seq3caopr3  10725  seqcaopr3g  10726  seq3caopr2  10727  seq3f1olemp  10749  seq3f1oleml  10750  seq3f1o  10751  seqf1oglem2a  10752  seqf1oglem1  10753  seqf1oglem2  10754  seqf1og  10755  seq3id3  10758  seq3id  10759  seq3homo  10761  seq3z  10762  seqhomog  10764  seqfeq4g  10765  seq3distr  10766  ser3ge0  10770  ser3le  10771  leexp2a  10826  hashfz  11056  hashfzo  11057  hashfzp1  11059  seq3coll  11077  rexanuz2  11517  cau4  11642  clim2ser  11863  clim2ser2  11864  climserle  11871  fsum3cvg  11904  fsum3cvg2  11920  fsumsersdc  11921  fsum3ser  11923  fsumm1  11942  fsum1p  11944  telfsumo  11992  fsumparts  11996  cvgcmpub  12002  isumsplit  12017  cvgratnnlemmn  12051  clim2prod  12065  clim2divap  12066  prodfrecap  12072  prodfdivap  12073  ntrivcvgap  12074  fproddccvg  12098  fprodm1  12124  fprodabs  12142  fprodeq0  12143  uzwodc  12573  pcaddlem  12877  fngsum  13436  igsumvalx  13437  gsumfzval  13439  gsumval2  13445  gsumfzz  13543  gsumfzconst  13893  gsumfzfsumlemm  14566  inffz  16500