Theorem eluzel2 9760

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9758	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		frel 5487	. . . 4 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → Rel ℤ≥)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel ℤ≥
4		relelfvdm 5671	. . 3 ⊢ ((Rel ℤ≥ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	3, 4	mpan 424	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6	1	fdmi 5490	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
7	5, 6	eleqtrdi 2324	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  𝒫 cpw 3652  dom cdm 4725  Rel wrel 4730  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-neg 8353  df-z 9480  df-uz 9756

This theorem is referenced by:  eluz2  9761  uztrn  9773  uzneg  9775  uzss  9777  uz11  9779  eluzadd  9785  uzm1  9787  uzin  9789  uzind4  9822  elfz5  10252  elfzel1  10259  eluzfz1  10266  fzsplit2  10285  fzopth  10296  fzpred  10305  fzpreddisj  10306  fzdifsuc  10316  uzsplit  10327  uzdisj  10328  elfzp12  10334  fzm1  10335  uznfz  10338  nn0disj  10373  fzolb  10389  fzoss2  10409  fzouzdisj  10417  fzoun  10418  ige2m2fzo  10444  elfzonelfzo  10476  frec2uzrand  10668  frecfzen2  10690  seq3p1  10728  seqp1cd  10733  seq3clss  10734  seq3feq2  10739  seqfveqg  10741  seq3fveq  10742  seq3shft2  10744  seqshft2g  10745  ser3mono  10750  seq3split  10751  seqsplitg  10752  seq3caopr3  10754  seqcaopr3g  10755  seq3caopr2  10756  seq3f1olemp  10778  seq3f1oleml  10779  seq3f1o  10780  seqf1oglem2a  10781  seqf1oglem1  10782  seqf1oglem2  10783  seqf1og  10784  seq3id3  10787  seq3id  10788  seq3homo  10790  seq3z  10791  seqhomog  10793  seqfeq4g  10794  seq3distr  10795  ser3ge0  10799  ser3le  10800  leexp2a  10855  hashfz  11086  hashfzo  11087  hashfzp1  11089  seq3coll  11107  rexanuz2  11569  cau4  11694  clim2ser  11915  clim2ser2  11916  climserle  11923  fsum3cvg  11957  fsum3cvg2  11973  fsumsersdc  11974  fsum3ser  11976  fsumm1  11995  fsum1p  11997  telfsumo  12045  fsumparts  12049  cvgcmpub  12055  isumsplit  12070  cvgratnnlemmn  12104  clim2prod  12118  clim2divap  12119  prodfrecap  12125  prodfdivap  12126  ntrivcvgap  12127  fproddccvg  12151  fprodm1  12177  fprodabs  12195  fprodeq0  12196  uzwodc  12626  pcaddlem  12930  fngsum  13489  igsumvalx  13490  gsumfzval  13492  gsumval2  13498  gsumfzz  13596  gsumfzconst  13946  gsumfzfsumlemm  14620  inffz  16728  gsumgfsumlem  16735