Theorem eluzel2 9623

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 9621	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		frel 5415	. . . 4 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → Rel ℤ≥)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel ℤ≥
4		relelfvdm 5593	. . 3 ⊢ ((Rel ℤ≥ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	3, 4	mpan 424	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6	1	fdmi 5418	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
7	5, 6	eleqtrdi 2289	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  𝒫 cpw 3606  dom cdm 4664  Rel wrel 4669  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-neg 8217  df-z 9344  df-uz 9619

This theorem is referenced by:  eluz2  9624  uztrn  9635  uzneg  9637  uzss  9639  uz11  9641  eluzadd  9647  uzm1  9649  uzin  9651  uzind4  9679  elfz5  10109  elfzel1  10116  eluzfz1  10123  fzsplit2  10142  fzopth  10153  fzpred  10162  fzpreddisj  10163  fzdifsuc  10173  uzsplit  10184  uzdisj  10185  elfzp12  10191  fzm1  10192  uznfz  10195  nn0disj  10230  fzolb  10246  fzoss2  10265  fzouzdisj  10273  ige2m2fzo  10291  elfzonelfzo  10323  frec2uzrand  10514  frecfzen2  10536  seq3p1  10574  seqp1cd  10579  seq3clss  10580  seq3feq2  10585  seqfveqg  10587  seq3fveq  10588  seq3shft2  10590  seqshft2g  10591  ser3mono  10596  seq3split  10597  seqsplitg  10598  seq3caopr3  10600  seqcaopr3g  10601  seq3caopr2  10602  seq3f1olemp  10624  seq3f1oleml  10625  seq3f1o  10626  seqf1oglem2a  10627  seqf1oglem1  10628  seqf1oglem2  10629  seqf1og  10630  seq3id3  10633  seq3id  10634  seq3homo  10636  seq3z  10637  seqhomog  10639  seqfeq4g  10640  seq3distr  10641  ser3ge0  10645  ser3le  10646  leexp2a  10701  hashfz  10930  hashfzo  10931  hashfzp1  10933  seq3coll  10951  rexanuz2  11173  cau4  11298  clim2ser  11519  clim2ser2  11520  climserle  11527  fsum3cvg  11560  fsum3cvg2  11576  fsumsersdc  11577  fsum3ser  11579  fsumm1  11598  fsum1p  11600  telfsumo  11648  fsumparts  11652  cvgcmpub  11658  isumsplit  11673  cvgratnnlemmn  11707  clim2prod  11721  clim2divap  11722  prodfrecap  11728  prodfdivap  11729  ntrivcvgap  11730  fproddccvg  11754  fprodm1  11780  fprodabs  11798  fprodeq0  11799  uzwodc  12229  pcaddlem  12533  fngsum  13090  igsumvalx  13091  gsumfzval  13093  gsumval2  13099  gsumfzz  13197  gsumfzconst  13547  gsumfzfsumlemm  14219  inffz  15803