Theorem caucvgrelemcau 10991

Description: Lemma for caucvgre 10992. Converting the Cauchy condition. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgre.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
caucvgre.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
caucvgrelemcau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝑟,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐹(𝑟)

Proof of Theorem caucvgrelemcau

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
2	1	nnred 8934	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
3		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
4	3	nnred 8934	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
5		ltle 8047	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑘 → 𝑛 ≤ 𝑘))
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 → 𝑛 ≤ 𝑘))
7		eluznn 9602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ))
9		nnz 9274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
10		eluz1 9534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)))
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)))
12		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘) → 𝑛 ≤ 𝑘)
13	11, 12	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → 𝑛 ≤ 𝑘))
14	8, 13	jcad 307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)))
15		nnz 9274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
16	15	anim1i 340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘))
17	16, 11	imbitrrid 156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)))
18	14, 17	impbid 129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)))
19	18	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)))
20	19	biimpar 297	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
21		caucvgre.cau	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
22	21	r19.21bi 2565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
23	22	r19.21bi 2565	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
24	20, 23	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
25	24	expr 375	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ≤ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)))))
26	6, 25	syld 45	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)))))
27		ltxrlt 8025	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑘 ↔ 𝑛 <ℝ 𝑘))
28	2, 4, 27	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 ↔ 𝑛 <ℝ 𝑘))
29		caucvgre.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
30	29	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
31	30, 1	ffvelcdmd 5654	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
32	30, 3	ffvelcdmd 5654	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
33	1	nnrecred 8968	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
34	32, 33	readdcld 7989	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
35		ltxrlt 8025	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
37		nnap0 8950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 # 0)
38	1, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 # 0)
39		caucvgrelemrec 10990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 # 0) → (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1) = (1 / 𝑛))
40	2, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1) = (1 / 𝑛))
41	40	oveq2d 5893	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) = ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)))
42	41	breq2d 4017	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ↔ (𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
43	36, 42	bitr4d 191	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1))))
44	31, 33	readdcld 7989	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
45		ltxrlt 8025	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
46	32, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
47	40	oveq2d 5893	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) = ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)))
48	47	breq2d 4017	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
49	46, 48	bitr4d 191	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1))))
50	43, 49	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))) ↔ ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
51	26, 28, 50	3imtr3d 202	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
52	51	ralrimiva 2550	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
53	52	ralrimiva 2550	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   class class class wbr 4005  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218  ℩crio 5832  (class class class)co 5877  ℝcr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   <_ℝ cltrr 7817   · cmul 7818   < clt 7994   ≤ cle 7995   # cap 8540   / cdiv 8631  ℕcn 8921  ℤcz 9255  ℤ_≥cuz 9530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-z 9256  df-uz 9531

This theorem is referenced by:  caucvgre  10992