ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgrelemcau GIF version

Theorem caucvgrelemcau 10544
Description: Lemma for caucvgre 10545. Converting the Cauchy condition. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgre.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
caucvgre.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
caucvgrelemcau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝑟,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐹(𝑟)

Proof of Theorem caucvgrelemcau
StepHypRef Expression
1 simplr 498 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
21nnred 8533 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
3 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
43nnred 8533 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
5 ltle 7669 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑘𝑛𝑘))
62, 4, 5syl2anc 404 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘𝑛𝑘))
7 eluznn 9186 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
87ex 114 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ))
9 nnz 8867 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
10 eluz1 9122 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘)))
119, 10syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘)))
12 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘) → 𝑛𝑘)
1311, 12syl6bi 162 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑛𝑘))
148, 13jcad 302 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)))
15 nnz 8867 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
1615anim1i 334 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘))
1716, 11syl5ibr 155 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)))
1814, 17impbid 128 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)))
1918adantl 272 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)))
2019biimpar 292 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑛))
21 caucvgre.cau . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2221r19.21bi 2473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2322r19.21bi 2473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2420, 23syldan 277 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2524expr 368 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)))))
266, 25syld 45 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)))))
27 ltxrlt 7649 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑘𝑛 < 𝑘))
282, 4, 27syl2anc 404 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘𝑛 < 𝑘))
29 caucvgre.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
3029ad2antrr 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
3130, 1ffvelrnd 5474 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3230, 3ffvelrnd 5474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
331nnrecred 8567 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3432, 33readdcld 7614 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
35 ltxrlt 7649 . . . . . . 7 (((𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛))))
3631, 34, 35syl2anc 404 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛))))
37 nnap0 8549 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 # 0)
381, 37syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 # 0)
39 caucvgrelemrec 10543 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 # 0) → (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1) = (1 / 𝑛))
402, 38, 39syl2anc 404 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1) = (1 / 𝑛))
4140oveq2d 5706 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) = ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)))
4241breq2d 3879 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛))))
4336, 42bitr4d 190 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1))))
4431, 33readdcld 7614 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
45 ltxrlt 7649 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
4632, 44, 45syl2anc 404 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
4740oveq2d 5706 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) = ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)))
4847breq2d 3879 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
4946, 48bitr4d 190 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1))))
5043, 49anbi12d 458 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))) ↔ ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
5126, 28, 503imtr3d 201 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
5251ralrimiva 2458 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
5352ralrimiva 2458 1 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1296  wcel 1445  wral 2370   class class class wbr 3867  wf 5045  cfv 5049  crio 5645  (class class class)co 5690  cr 7446  0cc0 7447  1c1 7448   + caddc 7450   < cltrr 7451   · cmul 7452   < clt 7619  cle 7620   # cap 8155   / cdiv 8236  cn 8520  cz 8848  cuz 9118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-z 8849  df-uz 9119
This theorem is referenced by:  caucvgre  10545
  Copyright terms: Public domain W3C validator