ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgrelemcau GIF version

Theorem caucvgrelemcau 11007
Description: Lemma for caucvgre 11008. Converting the Cauchy condition. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgre.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
caucvgre.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
caucvgrelemcau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝑟,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐹(𝑟)

Proof of Theorem caucvgrelemcau
StepHypRef Expression
1 simplr 528 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
21nnred 8950 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
3 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
43nnred 8950 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
5 ltle 8063 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑘𝑛𝑘))
62, 4, 5syl2anc 411 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘𝑛𝑘))
7 eluznn 9618 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
87ex 115 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ))
9 nnz 9290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
10 eluz1 9550 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘)))
119, 10syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘)))
12 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘) → 𝑛𝑘)
1311, 12biimtrdi 163 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑛𝑘))
148, 13jcad 307 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)))
15 nnz 9290 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
1615anim1i 340 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘))
1716, 11imbitrrid 156 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)))
1814, 17impbid 129 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)))
1918adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)))
2019biimpar 297 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑛))
21 caucvgre.cau . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2221r19.21bi 2578 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2322r19.21bi 2578 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2420, 23syldan 282 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2524expr 375 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)))))
266, 25syld 45 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)))))
27 ltxrlt 8041 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑘𝑛 < 𝑘))
282, 4, 27syl2anc 411 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘𝑛 < 𝑘))
29 caucvgre.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
3029ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
3130, 1ffvelcdmd 5668 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3230, 3ffvelcdmd 5668 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
331nnrecred 8984 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3432, 33readdcld 8005 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
35 ltxrlt 8041 . . . . . . 7 (((𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛))))
3631, 34, 35syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛))))
37 nnap0 8966 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 # 0)
381, 37syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 # 0)
39 caucvgrelemrec 11006 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 # 0) → (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1) = (1 / 𝑛))
402, 38, 39syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1) = (1 / 𝑛))
4140oveq2d 5907 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) = ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)))
4241breq2d 4030 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛))))
4336, 42bitr4d 191 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1))))
4431, 33readdcld 8005 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
45 ltxrlt 8041 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
4632, 44, 45syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
4740oveq2d 5907 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) = ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)))
4847breq2d 4030 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
4946, 48bitr4d 191 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1))))
5043, 49anbi12d 473 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))) ↔ ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
5126, 28, 503imtr3d 202 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
5251ralrimiva 2563 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
5352ralrimiva 2563 1 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468   class class class wbr 4018  wf 5227  cfv 5231  crio 5846  (class class class)co 5891  cr 7828  0cc0 7829  1c1 7830   + caddc 7832   < cltrr 7833   · cmul 7834   < clt 8010  cle 8011   # cap 8556   / cdiv 8647  cn 8937  cz 9271  cuz 9546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-z 9272  df-uz 9547
This theorem is referenced by:  caucvgre  11008
  Copyright terms: Public domain W3C validator