Theorem caucvgrelemcau 10784

Description: Lemma for caucvgre 10785. Converting the Cauchy condition. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgre.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
caucvgre.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
caucvgrelemcau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝑟,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐹(𝑟)

Proof of Theorem caucvgrelemcau

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
2	1	nnred 8757	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
3		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
4	3	nnred 8757	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
5		ltle 7875	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑘 → 𝑛 ≤ 𝑘))
6	2, 4, 5	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 → 𝑛 ≤ 𝑘))
7		eluznn 9421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	ex 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ))
9		nnz 9097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
10		eluz1 9354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)))
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)))
12		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘) → 𝑛 ≤ 𝑘)
13	11, 12	syl6bi 162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → 𝑛 ≤ 𝑘))
14	8, 13	jcad 305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)))
15		nnz 9097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
16	15	anim1i 338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘))
17	16, 11	syl5ibr 155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)))
18	14, 17	impbid 128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)))
19	18	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)))
20	19	biimpar 295	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
21		caucvgre.cau	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
22	21	r19.21bi 2523	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
23	22	r19.21bi 2523	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
24	20, 23	syldan 280	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ 𝑘)) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
25	24	expr 373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ≤ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)))))
26	6, 25	syld 45	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)))))
27		ltxrlt 7854	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑘 ↔ 𝑛 <ℝ 𝑘))
28	2, 4, 27	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 ↔ 𝑛 <ℝ 𝑘))
29		caucvgre.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
30	29	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
31	30, 1	ffvelrnd 5564	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
32	30, 3	ffvelrnd 5564	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
33	1	nnrecred 8791	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
34	32, 33	readdcld 7819	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
35		ltxrlt 7854	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
36	31, 34, 35	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
37		nnap0 8773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 # 0)
38	1, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 # 0)
39		caucvgrelemrec 10783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 # 0) → (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1) = (1 / 𝑛))
40	2, 38, 39	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1) = (1 / 𝑛))
41	40	oveq2d 5798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) = ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)))
42	41	breq2d 3949	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ↔ (𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛))))
43	36, 42	bitr4d 190	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1))))
44	31, 33	readdcld 7819	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
45		ltxrlt 7854	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
46	32, 44, 45	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
47	40	oveq2d 5798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) = ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)))
48	47	breq2d 3949	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
49	46, 48	bitr4d 190	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1))))
50	43, 49	anbi12d 465	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (1 / 𝑛))) ↔ ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
51	26, 28, 50	3imtr3d 201	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
52	51	ralrimiva 2508	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
53	52	ralrimiva 2508	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417   class class class wbr 3937  ⟶wf 5127  ‘cfv 5131  ℩crio 5737  (class class class)co 5782  ℝcr 7643  0cc0 7644  1c1 7645   + caddc 7647   <_ℝ cltrr 7648   · cmul 7649   < clt 7824   ≤ cle 7825   # cap 8367   / cdiv 8456  ℕcn 8744  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  caucvgre  10785